Vecteurs et colinéarité. Angles orientés et trigonométrie
21 Feb 2017 2. On visualisera les solutions sur le cercle trigonométrique. cos 2x = 1. 2 ? cos 2x = cos ?. 3. Les solutions dans R sont donc ...
La Trigonométrie – 1ère spé maths
La Trigonométrie – 1ère spé maths. A) Les Angles orientés. 1) Le Radian. Définition : Soit ?deg un angle en degrés la mesure de ?rad en radians.
Angles orientés et trigonométrie I. Cercle trigonométrique radian
Alors chacun des nombres associés à x de la forme x+2k?
Chapitre 7 - Trigonométrie et angles orientés
Le radian noté rad
TRIGONOMÉTRIE
En effet : 3?. 4. + 4? = 19?. 4 . II. Mesure d'un angle orienté et mesure principale. 1) Cas d'angles orientés de norme 1.
Première S Chapitre 7 : Angles orientés. Trigonométrie. Année
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 sur lequel on définit un sens Les nombres l + 2k? sont les mesures en radians de l'angle orienté des ...
Chapitre 2 – Trigonométrie et angles orientés
Trigonométrie et angles orientés. 2.1 Cercle trigonométrique et mesure d'angle. Définition 2.1.1. 2.3 Fonction cosinus et sinus d'un angle orienté.
Première S Cours angles orientés - trigonométrie 1 I Repérage sur
Exemple : un angle plat (180°) mesure exactement ? radians soit environ 3
Mathématiques première S
24 June 2019 1 Angles orientés ... 2.6 Lignes trigonométrie dans le cercle . ... Angles remarquables sur le cercle trigonométrique dans l'intervalle ...
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Mathématiques 1ère C. Page 0 sur 45 dans le plan Angles inscrits
DERNIÈRE IMPRESSION LE24 juin 2019 à 10:40
Fonctions trigonométriques
Table des matières
1 Angles orientés2
1.1 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Angle défini sur l"ensemble des réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Angles remarquables sur le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Trigonométrie3
2.1 Dans le triangle rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4.1 Relations de symétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4.2 Relations de déphasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Lignes trigonométrie dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Fonctions sinus et cosinus7
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Courbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PAUL MILAN1PREMIÈRE SPÉCIALITÉ
TABLE DES MATIÈRES
1 Angles orientés
1.1 Le radian
Définition 1 :Le radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet correspond à un angle deπradian.On a alors la conversion : 180°=πrd
La mesure en degré de 1 radian vaut :
1 rd=180
π≈57°
Degré30°45°60°90°
Radianπ
6 4 3 2Remarque :Le radian est une grande
unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré. 1 rd O 11 -1 -1Le cercle unité est aussi appelé
cercle trigonométrique.1.2 Angle défini sur l"ensemble des réels
Définition 2 :On appelledla droite tangente au cercle unité en I. À un point M(1;x)ded, on associe un point M1par enroulement dedsur le cercle unité. Au réelx, on associe alors l"angle, en radian, formé par les points O, Iet M1 compté positivement ou négativement suivant le sens de la rotation. Le sens positif ou trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d"une montre.Si M1est un point du cercle d"anglex,
il est alors associé à tousx??Rtels que :x?=x+k×2π,k?Z.Réciproquement six,x??Rtels que
x ?=x+k×2π,k?Zalors,xetx? sont associés au même point M 1du cercle trigonométrique.On écrit alors :x?=x[2π]
OM x I M 1 x1 -11 2 3 4 5+ dPAUL MILAN2PREMIÈRE SPÉCIALITÉ
2. TRIGONOMÉTRIE
Exemple :-5π3=π3[2π]en effet,-5π3+2π=-5π+6π3=π31.3 Angles remarquables sur le cercle
Angles remarquables sur le cercle trigonométrique dans l"intervalle]-π;π] O?0 ?π6 π4 π3 π22π3
3π4
?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3 -π2 -2π3 -3π4 ?-5π62 Trigonométrie
2.1 Dans le triangle rectangle
Définition 3 :Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit les rapports suivants (qui ne dépendent que de la mesure des angles) : sin ?B=côté opposé hypoténuse=ACBC cos ?B=côté adjacent hypoténuse=ABBC tan ?B=côté opposé côté adjacent=ACABA BC côté adjacent hypoténuse côté opposé Remarque :Lorsque l"on veut connaître l"angle d"un sinus, cosinus ou tangente donnés, on utilise les fonctions réciproques : arcsin, arccos ouarctan.Exemple :Soit ABC rectangle en A tel
que : ?ABC=20° et AB = 6Calculer les longueurs BC et AC.
6A BC20°
tan20°=ACAB?AC=ABtan20°=6tan20°≈2,18
PAUL MILAN3PREMIÈRE SPÉCIALITÉ
TABLE DES MATIÈRES
Soit ABC rectangle en A tel que :
BC = 7 et AC = 3. Calculer l"angle?ABC.
sin ?ABC=ACBC=37?
ABC=arcsin3
7≈25,38°
37AC B
2.2 Définition
Définition 4 :M est le point du cercle trigonométrique associé au réelx cosx=abscisse du point M sinx=ordonnée du point M tanx=sinx cosxOn a alors :
-1?sinx?1 et-1?cosx?1
sin2x+cos2x=1
11 -1 -1x cosx sinxM O2.3 Tableau des angles remarquables
x0π 6 4 3 2 sinx01 2 ⎷2 2 ⎷3 21cosx1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tanx0 ⎷3
31⎷3∞
Démonstration :On calcule sinπ3et cosπ3à l"aide d"un triangle équilatéral. Soient le triangle équilatéral ABC de côté 1 et H le pied de la hauteur issue de A. D"après les propriétés de triangle équilatéral H=m[BC] AH2=AB2-BH2=1-1
4=34?AH=⎷
3 2 sin3=AHAB=⎷
32et cosπ3=BHAB=12B CA
H 311 2
PAUL MILAN4PREMIÈRE SPÉCIALITÉ
2. TRIGONOMÉTRIE
On calcule sinπ4à l"aide du carré ABCD de côté 1.Dans le triangle isocèle rectangle ABC.
AC2=AB2+BC2=1+1=2?BC=⎷
2 sin4=BCAC=1⎷2=⎷
22B CDA
4 1 À l"aide de l"angle complémentaire, on déduit les autres valeurs des lignes trigo- nométriques. Par exemple sin6=cos?π2-π6?
=cosπ3=12.2.4 Relations trigonométriques
2.4.1 Relations de symétrie
Avec l"angle opposé :
sin(-x) =-sinx cos(-x) = +cosxAvec l"angle supplémentaire :
sin(π-x) = +sinx cos(π-x) =-cosxAvec l"angle diamétralement opposé :
sin(π+x) =-sinx cos(π+x) =-cosx sinx -sinx cosx-cosx xπ-x -xπ+x11 O Remarque :La fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire.2.4.2 Relations de déphasage
Avec le complémentaire
sin?π 2-x? =cosx cos 2-x? =sinxAvec un déphasage d"un quart de tour
sin?π 2+x? =cosx cos 2+x? =-sinx sinx-sinx cosx xπ2-xπ2+x
11 OExemple :Simplifier :A=cos?
x+π2? -3cos? -π2-x? -4sin(π-x) A l"aide des formules de symétrie et de déphasage, on a :A=-sinx-3cos?π
2+x? -4sinx=-sinx+3sinx-4sinx=-2sinxPAUL MILAN5PREMIÈRE SPÉCIALITÉ
TABLE DES MATIÈRES
2.5 Équations trigonométriques
Résolution des équations dansR: cosx=aet sinx=aavec|a|?11) cosx=a?cosx=cosαavec
On détermineα?[0;π]tel queα=arccosaà l"aide du cercle unité. D"après les règles de symétrie :x=αoux=-α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de 2π cosx=a?x=α+2kπoux=-α+2kπ,k?Z Remarque :l"expressionx=α+2kπpeut s"écrirex=α[2π]Exemple :Résoudre dansR:⎷2cosx-1=0
2cosx-1=0?cosx=1⎷2=⎷
22?cosx=cosπ4
Les solutions dansRsont :?????x=π
4+2kπou
x=-π4+2kπ,k?Z
2) sinx=a?sinx=sinα
On détermineα??
2;π2?
tel queα=arcsinaà l"aide du cercle unité. D"après les règles de symétrie :x=αoux=π-α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de 2πExemple :Résoudre dansR: 2sinx-⎷3=0
2sinx-⎷
3=0?sinx=⎷3
2?sinx=sinπ3
Les solutions dansRsont :?????x=π
3+2kπou
x=π-π3+2kπ=2π3+2kπ,k?Z
Autre exemple
Résoudre dansRl"équation : cos2x=1
2 cos2x=12?cos2x=cosπ3
?2x=π3+2kπ
2x=-π
3+2kπ?x=π
6+kπ
x=-π6+kπ,k?Z
?π6 ?-π6 ?5π6 ?-5π6PAUL MILAN6PREMIÈRE SPÉCIALITÉ
3. FONCTIONS SINUS ET COSINUS
2.6 Lignes trigonométrie dans le cercle
0 1π21
-1 -π2-1π6π
4π32π3
3π 4 5π 6 5π 6 3π 4 2π3-π3-
4- 6 +12⎷
22⎷
32-12-⎷
2 2 3 212⎷
22⎷
3 2 1 2 2 2 -⎷3 23 Fonctions sinus et cosinus
3.1 Définition
Définition 5 :Les fonctions sinus et cosinus, notées sin et cos, sont les fonc- tions définies surRpar : sin :R-→[-1 ; 1] x?-→sinxcos :R-→[-1 ; 1] x?-→cosx Remarque :Comme à tout réelxon peut associer un angle, les fonctions sin et cos sont tout naturellement définies surR. Notation : on devrait en toute rigueur écrire sin(x)et non sinxmais l"usage pré- fère la notation sinxsans parenthèse, plus simple.3.2 Propriétés
Propriété 1 :Les fonctions sin et cos sont 2π-périodique : ?x?R, sin(x+2π) =sinxet cos(x+2π) =cosx Les fonctions sin et cos sont respectivement impaire et paire :quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] Angles orientés, Dérivées, Trigonométrie 1ère Mathématiques
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