Quelques applications de la partie entière dun nombre réel
Introduction : On a besoin de rappeler la définition de la partie entière d'un nombre réel et le théorème « division euclidienne dans N » ainsi que sa
Introduction à la décomposition en éléments simples des fractions
Pour déterminer la partie entière d'une fraction rationnelle F = P. Q : • Si deg(F) < 0 alors la partie entière est le polynôme nul. • Si deg(F) ≥ 0
Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités
Partie entière. Inégalités. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr. * très facile ** facile *** difficulté
Continuité sur un intervalle.
Définition : La fonction partie entière est définie sur ℝ par x. E(x). E(x) étant le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x . E(23)=2. E(0
Déterminer la loi dune variable aléatoire fonction dune variable
la partie entière de x et on ... Remarquer que Y prend ses valeurs dans N puis
Ayoub et les maths
Attendez voir sévir mon stylo boutadeux. Car je m'en vais détruire une idée fausse ou deux. Énoncé : (temps conseillé : 45 min). Soit la fonction partie
Resultats Optimaux Sur Lexistence Dune Partie Entiere Dans Les
M. H. Mourgues et J. P. Ressayre [3] ont montre que tout corps reel clos admet une partie entire; nous montrons que ce resultat est optimal: pour tout entier p
À part entière : pour un véritable exercice du droit à légalité
L'engagement du gouvernement au regard de la participation sociale des personnes handica- pées n'est pas récent. Déjà en 2003 j'exprimais
Les nombres décimaux
tableau quelle est la partie entière et la partie décimale. Le nombre décimal La partie entière. La partie décimale. 10428. 7
MyPrepa
Sommation et partie entière des racines carrées. On note pour tout n ∈ N∗. Sn = n2−1. ∑ k=0. ⌊. √ k⌋. 1. On trouve après calculs : • S1 = 0. • S2 = 3. •
Introduction à la décomposition en éléments simples des fractions
2.1 Partie entière. Théorème 3 Soit F = P. Q? K(X). Il existe un unique polynôme E et une unique fraction rationnelle G telle que. F = E + G et deg(G) < 0.
Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités
Partie entière. Inégalités. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr. * très facile ** facile *** difficulté
Continuité sur un intervalle.
Proposition: La fonction partie entière n'est continue en aucune valeur p entier relatif. Démonstration : Montrons que E n'est pas continue en p . – Si x ? [
Chapitre 10 : Borne sup partie entière
https://www.faidherbe.org/~pcsimath/pcsi2/exoscolle/chap10.pdf
Quelques applications de la partie entière dun nombre réel
On a besoin de rappeler la définition de la partie entière d'un nombre réel IR l'unique entier n tel que x ? [n ; n+1[ s'appelle la partie entière de x.
Présentation de Matlab 1 Présentation générale 2 Premières
entier par un complexe sans problème. On peut extraire une partie de la matrice facilement : ... ceil(x) : partie entière supérieure de x.
Partie entière
Partie entière. BCPST 1C – Mme MOREL. 1 Définition. Définition 1 On appelle partie entière d'un nombre réel x et on note LxC
Chapitre n°1 : « Nombres entiers et décimaux. Comparaison »
Plus précisément 1 centime est égal à un centième d'euro. Définition. Dans un nombre décimal
MyPrepa
Sommation et partie entière des racines carrées On remarque que le nombre entier à l'intérieur de la somme est constant. Brouillon 1. Soit n ? N?.
Propriétés de R Partie Entière Exercice 1. ? “( Exercice 2. ? “ Exercice
7 nov. 2018 Khôlles - Classes prépa. Thierry Sageaux Lycée Gustave Eiffel. Partie Entière. Exercice 1. ? “(. Déterminez ?x? + ??x? pour x ? ...
[PDF] MSI 101 - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Exercice 8 Soit E(x) la partie entière de x Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : f : x ??
Partie entière : Cours et exercices corrigés - Progresser-en-maths
La partie entière est une fonction croissante Elle est continue par morceaux Elle est dérivable sur tout intervalle de la forme
[PDF] Quelques applications de la partie entière dun nombre réel
On a besoin de rappeler la définition de la partie entière d'un nombre réel et le théorème « division euclidienne dans N » ainsi que sa démonstration
[PDF] CHAPITRE 5 : FONCTION PARTIE ENTIÈRE
CHAPITRE 5 : FONCTION PARTIE ENTIÈRE SOLUTIONNAIRE-----------> EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 1- C 2- B Page 2 4 a) B b) D c) A d) C 5 a) D b) C c) A d) B
[PDF] Valeurs absolues Partie entière Inégalités - Exo7
Partie entière Inégalités Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté
[PDF] Partie entière limites et suites Ayoub et les maths
Soit la fonction partie entière définie sur ? On rappelle que pour tout réel ( ) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à
f1 Fonction Partie Entiere Cours PDF - Scribd
La fonction partie entière est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe l'entier relatif tel que ? ? + On note cette fonction
[PDF] ECE3 2009-2010 : Un an de maths - Normale Sup
25 jui 2010 · 1 6 2 Les fonctions partie entière et décimale héfinition ITF v— fon™tion p—rtie entière est définie sur R de l— f—çon suiv—nte X Ent(x) est
[PDF] Partie entière
Définition 1 On appelle partie entière d'un nombre réel x et on note LxC le plus grand entier inférieur ou égal à x exemples : L2 2C = 2 L?C = 3
Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0 (***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C. ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en (Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat : =n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit les =n2:Correction del"exer cice6 NSi l"un des réelsa,boucest strictement plus grand que 1, alors l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c), On a montré dans tous les cas que l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)est inférieur ou .Correction del"exer cice7 N1.Soit x2R. Alors,E(x)6x Soient (x;y)2R2. On aE(x)+E(y)6x+y. Ainsi,E(x)+E(y)est un entier relatif inférieur ou égal à x+y. CommeE(x+y)est le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx+y, on a doncE(x)+E(y)6 Finalement, on a dans tous les casE(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y).Correction del"exer cice8 Npest déterminé par l"encadrement : 10p6n<10p+1qui s"écrit encorep6lnnln10 p=E(log10(n)):Le nombre de chiffres d"un entiernen base 10 est doncE(log10(n))+1.Correction del"exer cice9 NSoientx2Retn2N. Pour 16k6n, on a :Correction del"exer cice10 N1.P ardéfinition d"un entier ,il y a nentiers entre 1 etn. Ensuite, pour tout entier naturelk, on a Le nombre des entiers pairs compris entre 0 etxest encore le nombre des entierskcompris au sens large Si xetysont respectivement le nombre de pièces de 10 centimes d"euros et le nombre de pièces de 20 centimes d"euros, le nombre cherché est le nombre de couples d"entiers naturels solutions de l"équationPour cela développer, puis majoreruk=Cknn
ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12 Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a
1+:::+1a
n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).
3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap; Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?
5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7. Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24
(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.
3.mg=x+y2
pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4. D"après 1), la mo yennearithmétique de
1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique. B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2
, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA 0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4
Pourn2N,(1+1n
)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12 12n<12
Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612
uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1: En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,
(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j! 16i;j6na
ia j=nå i=1a ia i+å 16i
16i
Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x
.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x 2=(x1)(x+1)x
2.f 1. Par suite,
8x>0;f(x)>f(1) =1+11
=2: On en déduit alors que
nå i=1a inå j=11a j>n+å 16i
Les deux membres extrêmes de cet encadrement tendent vers x2 quandntend vers+¥. D"après le théorème des gendarmes, on peut affirmer que 1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est
alors négatif ou nul. Ceci fournit 5 0>D0= (nå
k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.
Finalement, dans tous les cas,
j ånk=1akbkj6qå
nk=1a2kqå Retrouvons alors l"inégalité de l"exercice
4 . Puisque lesaksont strictement positifs, on peut écrire : nå i=1a i! nå i=11a i! nå i=1pa i2! nå i=1r1 a i2 nå i=1pa ir1 a i! 2
. Par suite, a(1a)b(1b)c(1c)614 3: Il est alors impossible que les trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)soient strictement plus grand que14 , leur produit étant dans ce cas strictement plus grand que 14 3. égal à
14 E(x+y).
Améliorons.E(x)6x1er cas.Six2[k;k+12
[ety2[l;l+12 [, alorsx+y2[k+l;k+l+1[et doncE(x+y) =k+l, puisE(x)+ E(y)+E(x+y) =k+l+k+l=2k+2l. D"autre part, 2x2[2k;2k+1[et 2y2[2l;2l+1[. Par suite,E(2x)+E(2y) =2k+2l. Dans ce cas,E(x)+E(y)+E(x+y) =E(2x)+E(2y). 2ème cas.Six2[k+12
;k+1[ety2[l;l+12 [, alorsx+y2[k+l+12 ;k+l+32 [et doncE(x+y) =k+lou k+l+1,puisE(x)+E(y)+E(x+y) =2k+2lou 2k+2l+1. D"autre part, 2x2[2k+1;2k+2[ et 2y2[2l;2l+1[. Par suite,E(2x)+E(2y) =2k+2l+1. Dans ce cas,E(x)+E(y)+E(x+y)6 E(2x)+E(2y).
3ème cas.Six2[k;k+12
[ety2[l+12 ;l+1[, on a de mêmeE(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). 4ème cas.Six2[k+12
;k+1[ety2[l+12 ;l+1[, on aE(x)+E(y)+E(x+y) =2k+2l+2=E(2x)+E(2y). E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n
26x+2x+:::+nxn
2=n(n+1)x2n2=(n+1)x2n;
et aussi, E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n
2>(x1)+(2x1)+:::+(nx1)n
2=n(n+1)x=2nn
2=(n+1)x2n1n
Finalement, pour tout naturel non nul,
(n+1)x2n1n 8x2R;limn!+¥E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n
2=x2 16k6x,16k6E(x):
Il y a doncE(x)entiers entre 1 etx.
7 2.Il y a n+1 entiers entre 0 etnetE(x)+1 entiers entre 0 etx.
3. Les entiers naturels pairs sont les entiers de la forme 2 k,k2N. Or, 062k6x,06k6x2
3 entre 0 etx.
De même,
062k+16x, 12
6k6x12
,06k6E(x12 Il y a doncE(x12
)+1=E(x+12 )entiers impairs entre 0 etx. 4. Il y a E(x3
)+1 multiples de 3 entre 0 etx. 5. Soient n2Net(x;y)2N2. On a
x+2y=n,x=n2y: Donc,(x;y)est solution si et seulement siy2Netn2y2Nou encore si et seulement si 062y6n. Il y a doncE(n2 )+1 couples solutions. 6. 10x+20y=1000 qui s"écrit encorex+2y=100. D"après 5), il y aE(1002
)+1=51 façons de payer 10 euros avec des pièces de 10 et 20 centimes d"euros. 7. Soient n2Net(x;y)2N2. On a
2x+3y=n,x=n3y2
Donc, (x;y)solution,x=n3y2 ety2Netn3y22N: Maintenant, commen3y= (ny)2yet que 2yest un entier pair,n3yest pair si et seulement si nyest pair ce qui revient à dire queya la parité den. Ainsi, (x;y)solution,x=n3y2 ety2Net 06y6n3 etya la parité den: 1er cas.Sinest pair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d"entiers pairsycompris au sens
large entre 0 et n3 . Il y aE(n6 ))+1=E(n+66 )tels entiers. 2ème cas.Sinest impair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d"entiers impairsycompris au
sens large entre 0 et n3 . Il y aE(n3quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
[PDF] la plus facile methode pour apprendre la langue arabe
[PDF] la plus facile méthode pour apprendre la langue arabe pdf
[PDF] la poste
[PDF] la poste 74500 évian les bains france
[PDF] la poste coronavirus
[PDF] la presse chapitre 6 vocabulaire 2
[PDF] la presse holt french 3
[PDF] la pression artérielle cours
[PDF] la pression artérielle cours bac
[PDF] la pression artérielle cours bac science
[PDF] la pression artérielle cours svt
[PDF] la renaissance dictee
[PDF] la seance d actu de la semaine notre dame
[PDF] la seance d actu de la semaine notre dame blessee