[PDF] LECTURAS COMPRENSIVAS COMPRENSIÓN LECTORA 1º

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Universite Laval

Faculte des sciences et de genie

Departement de mathematiques et de statistiqueSTT-2902

Automne 2012

Emmanuelle Reny-NolinCorrige - Serie 3

Regression lineaire simple

Exercice 1 - Densite europeenne

a)y=0,0001x+1,9583

102030405060708090

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

Population(millionsd'habitants)

Superficie(km2)

PopulationenfonctiondelasuperficieOn voit qu'il y a probablement une relation lineaire croissante entre la population et

la supercie. Par contre, il est clair que la variance n'est pas constante autour de la droite (les residus acheraient un entonnoir ouvert a droite). On peut donc ajuster un modele lineaire avec n'importe quelle methode d'estimation (calculer l'equation d'une droite), mais on ne peut pas associer de marge d'erreur aux estimations des moindres carres comme on le ferait si tous les postulats etaient respectes. Esti mationde la densit emo yennede la p opulationen Europ e: en calculan tla mo yennedes 27 densit es: 27P
i=1y i=xi27 = 166;28 hab/km2 Ce calcul donne un poids egal a chaque pays. C'est la moyenne des densites des pays d'Europe, donc c'est la densite moyenne par pays. Les petits pays, ayant souvent une grande densite, ont plus de poids dans ce calcul. ii) en calculan tla p opulationtotale d es27 pa ys,et en la divisan tpar la sup ercie totale des 27 pays : 27X
i=1y 27X
i=1x i= 112;95 hab/km2

Ce calcul donne un poids egal a chaque km

2de territoire. Les grands pays ont

plus de poids dans ce calcul. Cette formule ne tient pas compte des divisions1

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Emmanuelle Reny-Nolinpolitiques. Si l'Europe etait un pays, ce serait sa densite de population. Bien s^ur,

cette densite n'est pas homogene. iii) e nestiman tla p ented ela droite de r egressionaux moindres carr es: 27P
i=1x iyi27xy i=1x2i27x

2= 100;74 hab/km2

Ce calcul donne une estimation de l'augmentation moyenne de la population lorsque le territoire augmente d'un km

2. Cette estimation ne correspond pas exac-

tement a la valeur en a), car elle est calculee en minimisant l'erreur de prediction de la population a partir d'une supercie connue (les distances verticales par rap- port a la droite). Si la droite passait par 0 exactement, ce serait une facon d'envisager la densite "moyenne" (et on n'en est pas loin, puisque ^0= 1;96).A titre informatif, on peut forcer la droite de regression a passer par 0 (en minimisant la somme du carre des erreurs du modeleYi=1xi+"i), on obtient alors l'estimation suivante pour la pente : 27P
i=1x iyi27 i=1x2i= 106;84 Exercice 2 - Drill, baby, drill! (Comme disait Sarah Palin) XY=nP i=1(XiX)(YiY) i=1(XiYiXiYYiX+XY) i=1X iYiY i=1X i=1Y i+nXY i=1X iYiY(nX)X(nY) +nXY i=1X iYinXY

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Emmanuelle Reny-Nolinb)

XY=nP i=1(XiX)(YiY) i=1(XiX)YinP i=1(XiX)Y i=1(XiX)YiY i=1(XiX) i=1(XiX)YiY(0) i=1(XiX)Yi @S@

0= 0 sinP

i=1Y i=n^0+^1nP i=1X

On isole

^0et on obtient^

0=Y^1X.

@S@

1= 0 sinP

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