[PDF] [PDF] Électromagnétisme John MARTIN 2019–2020 10 /

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´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-20201/177

´Electromagn´etisme

John MARTIN

I.P.N.A.S., bˆat. B15

T´el.: 04/366 28 64

email: jmartin@uliege.be

2019-2020

´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-20202/177

Table des mati`eres I

Pr´eambule6

Calcul vectoriel8

Scalaires et pseudoscalaires. Vecteurs polaires et axiaux18

Gradient21

D´eveloppement en s´erie de Taylor23

Circulation et flux d"un champ vectoriel24

Divergence27

Rotationnel28

Th´eor`emes de Gauss et de Stokes29

Laplacien31

Formulaire de calcul vectoriel32

Calcul int´egral et diff´erentiel34

Champs transverses et longitudinaux39

Champs centraux44

M´ecanique du point mat´eriel45

Ligne du temps46

Quelques citations...47

La charge ´electrique49

Loi de Coulomb51

Densit´e de charge52

Champ ´electrostatique et loi de Gauss53

Potentiel ´electrique56´Equation de Poisson60

?Fonction?delta de Dirac64´Electrostatique : l"essentiel68´Energie potentielle d"un dipˆole ´electrique74

´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-20203/177

Table des mati`eres II

Discontinuit´es du champ ´electrique78

Conducteurs79

Milieux di´electriques82

Champ magn´etique90

Loi de Biot et Savart95

Potentiel vecteur97

Loi d"Amp`ere98

Magn´etostatique : l"essentiel99´Electrostatique - magn´etostatique100

Force magn´etique101

D´eveloppement multipolaire magn´etostatique102

Dipˆole magn´etique103

Discontinuit´es du champ magn´etique105´Energie potentielle d"un dipˆole magn´etique106

Milieux magn´etiques107

Retour sur la loi de Gauss113

Loi d"induction de Faraday115

Inductance118´Energie magn´etique120

Loi d"Amp`ere-Maxwell121´Equations de Maxwell122

Potentiels ´electromagn´etiques128

Invariance de jauge129

Ondes ´electromagn´etiques131

Polarisations134

´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-20204/177

Table des mati`eres III

Spectre ´electromagn´etique138

Potentiels retard´es139

Th´eor`eme de Poynting140

Champs radiatifs143

Formule de Larmor149

Champs cr´e´es par une charge ponctuelle en MRU150

Bremsstrahlung et rayonnement synchrotron151

Principes de relativit´e152

Invariance des ´equations de Maxwell155

Formulation relativiste des ´equations de Maxwell158

Limites de l"´electrodynamique classique162

Moments dipolaires d"un ensemble de charges ponctuelles165

Jauge de Coulomb166

Modes d"une cavit´e ´electromagn´etique168

Dipˆole ´electrique ponctuel oscillant171

Maxima et minima d"intensit´e des champs172

Mouvement d"une particule charg´ee dans un champ ´electromagn´etique 174

Formulation lagrangienne176

Formulation hamiltonienne177

´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-20205/177

Organisation du cours

Livre de r´ef´erence :

Introduction to electrodynamics, D. J. Griffiths, Prentice Hall

Lectures avanc´ees :

The Feynman Lectures on Physics, R. P. Feynman, R. B. Leighton and

M. Sands, Addison-Wesley

Classical Electrodynamics, J. D. Jackson, John Wiley & Sons Th´eorie des champs, L. Landau & E. Lifchitz, ellipses Electricity and magnetism, E. M. Purcell, Berkeley PhysicsCourse

Organisation du cours :

30 h th´eorie, 15 h exercices

Cours les mardis et mercredis

Transparents et autres ressources disponibles sur eCampus Examen ´ecrit (th´eorie - 65 %, exercices - 35 %) en juin et en septembre Dispense partielle `a partir de 12/20 (d"une session `a l"autre mais pas d"une ann´ee `a l"autre) ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-20206/177

Pr´eambule

Le Syst`eme International des unit´es (SI)

Toutes les unit´es physiques peuvent s"exprimer `a partir des unit´es de base suivantes : le m`etre (m), le kilogramme (kg), la seconde (s), l"amp`ere(A), le kelvin (K), la mole (mol) et le candela (cd).

Grandeursymboleunit´e

LongueurL,l,?m

Massem,Mkg

Tempsts

ForceFN=kg.m.s-2

TravailWJ=kg.m2.s-2

PuissancePW=kg.m2.s-3

ChargeQ,qC=A.s

Densit´e de chargeρC.m-3=A.s.m-3

CourantIA(=C.s-1)

Densit´e de courantjA.m-2

Champ ´electriqueEV.m-1=m.kg.A-1.s-3

Potentiel ´electriqueVV=m2.kg.A-1.s-3

PolarisationPC.m-2=A.s.m-2

D´eplacement ´electriqueDC.m-2=A.s.m-2

Capacit´e ´electriqueCF=C.V-1=A2.s4.kg-1.m-2

Flux magn´etiqueΦWb=V.s=m2.kg.s-2.A-1

Induction magn´etiqueBT=Wb.m-2=kg.s-2.A-1

Magn´etisationMA.m-1

InductanceLH=Wb.A-1=m2.kg.s-2.A-2

´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-20207/177

Pr´eambule

Quelques constantes fondamentales

Grandeursymbolevaleurstatut

Vitesse de la lumi`ere

dans le videc2.99792458 108m.s-1exact Perm´eabilit´e du videμ01.00000000055(15) 4π10-7V.s.A-1.m-1 Permittivit´e du vide?08.8541878128(13) 10-12A.s.V-1.m-11 c2μ0

Charge de l"´electrone1.602176634 10-19Cexact

Masse de l"´electron au reposme9.1093837015(28) 10-31kg Rapportmasse protonmasse ´electronmp/me1836.152668(39)

Nombre d"AvogadroNA6.02214076 1023mol-1exact

Constante de FaradayF9.648533212...C.mol-1NAe, exact Rayon classique de l"´electronre2.817940325(28) 10-15me2

4π?0mec2

Constante de BoltzmannkB1.380649 10-23J.K-1exact

Constante de Planckh6.62607015 10-34J.sexact

Rayon de Bohra00.5291772083(19) 10-10mh2?0

πmee2

Remarques:14π?0?9 109A-1.s-1.V.m

c?3 108m.s-1 ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-20208/177

Calcul vectoriel

Vecteurs et alg`ebre vectorielle

Vecteur: entit´e g´eom´etrique intrins`eque d´efinie par unenorme, unedirection et unsens, et qui ob´eit aux r`egles de l"alg`ebre vectorielle :

Associativit´e :A+ (B+C) = (A+B) +C

Existence d"un neutre :A+0=0+A=A

Existence d"un oppos´e :A+ (-A) =A-A=0

Commutativit´e :A+B=B+A

Multiplication par un scalaire :mA= (mAx,mAy,mAz)Tavecm?R 2 3A -A AB A+B ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-20209/177

Calcul vectoriel

Coordonn´ees et composantes cart´esiennes

Coordonn´ees cart´esiennes du pointP:(xP,yP,zP) D´ecomposition du vecteurA=--→OPsur une base cart´esienne :

A=xPex+yPey+zPez=Axex+Ayey+Azez

Repr´esentation deAen termes de composantes cart´esiennes :

A= (Ax,Ay,Az)T

Il faut distinguer le vecteur (objet intrins`eque) de sa repr´esentation en termes de composantes (relatives)

Norme :|A|=A=?A2x+A2y+A2z

Vecteur unitaire de mˆemes direction

et sens queA:eA=A/A xyz exe ye z P A xA yA z A eA ?O ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202010/177

Calcul vectoriel

Produit scalaire

Produit scalaire entre deux vecteurs: scalaire

A·B=AxBx+AyBy+AzBz

A·B=ABcosθ

A·B=B·A

A·A=A2

A·ei=Ai(i=x,y,z)

invariant sous transformations orthogonales (changement de syst`emes d"axes orthonorm´es)xy ?A B Ay A xB y B x ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202011/177

Calcul vectoriel

Changement de syst`eme d"axes dansR3

Soit deux syst`emes d"axes cart´esiensSetS?qui peuvent diff´erer par des trans- lations, des rotations et des r´eflections (ou toute composition de celles-ci). Les composantes dansSetS?d"un mˆeme vecteurAv´erifient la loi vectorielle A i=? jMijAj?Ai=? jMjiA?j o`u la matriceM, dite de changement de base, est une matrice orthogonale (MTM=1?M-1=MT) d"´el´ementsMij=e?i·ej(i,j=x,y,z). xyz exe ye zO SS? A x? y?z? e? x e? ye? z O ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202012/177

Calcul vectoriel

Tenseur d"ordre 2 dansR3

Le concept de tenseur g´en´eralise celui de scalaire (tenseur d"ordre0) et de vecteur (tenseur d"ordre1). Un tenseurAd"ordre2est une application lin´eaire qui `a tout vecteurvfait correspondre un vecteur not´eA·v:

A:R3→R3:v?→A·v

A·(α1v1+α2v2) =α1A·v1+α2A·v2(α1,α2?R)

Un tenseur d"ordre2est un objet intrins`eque

qui admet une repr´esentation en termes de composantes (relatives `a une base orthonorm´ee{ex,ey,ez}) A ij= (A·ej)·ei, i,j=x,y,z Le "·" dans la notation "A·v" d´esigne l"op´eration de contraction, agissant selon (A·v)i= jAijvj pour fournir la composanteidu vecteur r´esultant de l"action deAsurv. Le tenseur particulier de composantesAij= (ek)i(e?)jest not´eek?e?o`u?est le produit tensoriel et v´erifie(ei?ej)·v=ei(ej·v). Tout tenseur d"ordre2peut se d´ecomposer sous la formeA=? i,jAijei?ej. ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202013/177

Calcul vectoriel

Tenseurs d"ordre 2 dansR3

Les composantesAijd"un tenseurAd"ordre2, relatives`a une base orthonorm´ee {ex,ey,ez}deR3et entrant dans le d´ecomposition A=? i,jA ijei?ejavecAij= (A·ej)·eioui,j=x,y,z d´efinissent une matrice de repr´esentation du tenseur

A↔((A

xxAxyAxz A yxAyyAyz A zxAzyAzz))

Exemples de tenseur d"ordre 2 en physique

tenseur d"inertie tenseur des contraintes tenseur de polarisabilit´e tenseur quadrupolaire ´electrique (voir slide 70) tenseur des contraintes de Maxwell (voir slide 141) ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202014/177

Calcul vectoriel

Loi tensorielle dansR3

Plus g´en´eralement, un tenseur d"ordrenest une application lin´eaire qui `a tout vecteur fait correspondre un tenseur d"ordren-1. Un tenseur d"ordrenest un objet math´ematique intrins`eque dont les3ncomposantes cart´esiennes (gran- deurs relatives), not´eesAi1i2...in(i1,i2...,in=x,y,z), se transforment lors d"un changement de syst`eme d"axes orthogonaux selon la loi tensorielle :

Scalaire ou tenseur d"ordre0(A) :A?=A

Vecteur ou tenseur d"ordre1(A) :A?i=?

jMijAj

Tenseur d"ordre2(A) :A?i1i2=?

j 1? j

2Mi1j1Mi2j2Aj1j2

Tenseur d"ordren(A) :

A i1i2...in=? j

1,j2,...jnMi1j1Mi2j2...MinjnAj1j2...jn

Il d´ecoule de la d´efinition d"un tenseur d"ordrenque ses composantes se trans- forment comme le produitAi1Bi2...Qindes composantes denvecteursA,B, ...,Q, car on a A i1B?i2...Q?in=? j

1,j2,...jnMi1j1Mi2j2...MinjnAj1Bj2...Qjn

´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202015/177

Calcul vectoriel

Produit vectoriel

Le produit vectorielA×Best un vecteur axial (ou pseudo-vecteur) de norme |A×B|=ABsinθ ´egale `a l"aire du parall´elogramme engendr´e parAetB, orthogonal `aAetBet dont le sens est donn´e par la r`egle de la main droite. En terme de composantes, nous avons (A×B)x=AyBz-AzBy (A×B)y=AzBx-AxBz (A×B)z=AxBy-AyBx xyz exeye z A B

A×BPropri´et´es

A×B?A,B

B×A=-A×B

A×B=??????e

xeyez A xAyAz B xByBz?????? ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202016/177

Calcul vectoriel

Produit vectoriel (suite)

Les composantes du produit vectorielA×Bpeuvent s"´ecrire sous la forme com- pacte (A×B)i=3? j,k=1ε ijkAjBk o`uεijkest le symbole de Levi-Civita -1si(i,j,k)est(3,2,1),(1,3,2)ou(2,1,3),

0sinon(i=jouj=kouk=i)

Identit´es utiles

3? i=1ε ijkεimn=δjmδkn-δjnδkm,3? i=13 j=1ε ijkεijn= 2δkn

Division vectorielle

A·B= 0?A×X=B?X=αA-A×B|A|2avecα?R

´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202017/177

Calcul vectoriel

Produits mixtes

Soit trois vecteursA,BetC. On d´efinit les produits suivants : Triple produit vectoriel:A×(B×C) =B(A·C)-C(A·B) Produit mixte :A·(B×C) = (A×B)·C= (C×A)·B =volume du parall´el´epip`ede engendr´e parA,B,C Le triple produit vectoriel est utilis´e dans la d´ecomposition d"un vecteur quel- conqueAdans la direction d"un vecteur unitairenet sa direction orthogonale

A= (A·n)n?

?n+n×(A×n)???? ?n ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202018/177 Scalaires et pseudoscalaires. Vecteurs polaires et axiaux Scalaires et pseudoscalaires. Vecteurs polaires et axiaux (?R3)

Scalaires et pseudoscalaires:

Si une formule pour d´eterminer un nombre dans un syst`eme d"axes donne le mˆeme nombre dans tout autre syst`eme d"axes reli´e par lacomposition de translations, rotations et r´eflections, alors le nombre d´efinit unscalaire. Si le nombre change de signe sous l"effet d"une r´eflection (det(M) =-1), alors il d´efinit unpseudoscalaire. Ex. : Le produit scalaire entre deux vecteurs (polaires) est un scalaire.

La norme d"un vecteur est un scalaire.

Le produit mixteA·(B×C)de trois vecteurs (polaires) est un pseudoscalaire.

Vecteurs polaires et axiaux

Si une formule pour d´eterminer un triplet de nombre(Ax,Ay,Az)dans un syst`eme d"axes donne le triplet oppos´e(-Ax,-Ay,-Az)sous l"effet d"une inversion pure (r→ -r,det(M) =-1), alors le triplet d´efinit un vecteur polaire. Si le triplet ne change pas de signe, il d´efinit un vecteuraxial(ou pseudovecteur). Ex. : Les vecteurs position, vitesse et acc´el´eration sont desvecteurs polaires. Le vecteur moment cin´etique (L=r×p) est un vecteur axial. ´Electromagn´etismeJohn MARTIN|2019-202019/177 Scalaires et pseudoscalaires. Vecteurs polaires et axiaux

Vecteurs et d´eriv´ees

D´eriv´ee d"un vecteur d´ependant d"une seule variablet dA(t) dt= limΔt→0A(t+ Δt)-A(t)Δt=?dAx(t)dt,dAy(t)dt,dAz(t)dt?

D´eriv´ee d"un produit de vecteurs

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