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1Modèles-FicheExpert-17juin2020Modèles17juin2020RésuméLesmodèlesditscompartimentaux,décritspardeséquationsdifférentielles,ontétéà labasedebiendesanalysesrécentesdelapandémiedecovid-19.Ilspeuventêtrepréciséspourprendreencomptediversesdonnéesdelamaladie(hétérogénéitédespopulations,possiblesaisonnalité).Demanièregénérale,aprèstraitementstatistiquedes donnéesmédicales,lacalibrationdes paramètrespermeta uxmodèlesmathématiquesdeprédireetdecontrôlerlapropagationdel'épidémie.Pourdépasserleslimitationsdecesmodèlesquisup posentde grandespopulations,de smodèlesquipre nnenten comptedesaspectsgéographiquesetaléatoiresontétédéveloppésplusrécemment.Lesmodèlesmathématiquessontlargementut ilisésda nslessciencesd el'ingénieur,lamécanique,laphysiqueoulachimie.L'efficacitédessimulationsnumériquesenfontunenjeumajeurdanscessciences.Qu'enest-ildudomainedelapropagationd'épidémies?1- ModèlesetprédictionL'idéedequantifierl'effetd'uneépidémien'estpasnouvelle;dansunMémoirecélèbrede1760,DanielBernoullianalyse"lamortalitécauséeparlapetitevéroleetlesavantagesdel'inoculationpourlaprévenir".Leformalismeaprogresséetaconduitauxmodèlescompartimentauxquioccupentaujourd'huiuneplacecentraledanslacompréhensiondesdonnées,laprévisionetlecontrôledel'épidémiedecovid-19.SIR:prédireavecpeudedonnées.Decesmodèlescompartimentaux,leplussimple,quidécritenparticulierl'initiationdel'épidémie,prendencomptel'évolutiondunombred'individussainsS(t),nonimmunisés,lesinfectantsI(t)(lesinfectésisolésnecomptentpasici)etunepopulationretiréeR(t)(rétablisetimmunisésoudécédés).Onutilisealorsdeuxparamètres:β,quidésigneletauxdecontacts(infectantpassantlevirusà unindividusain)etÏ„I,la duréedu stadeinfec tant.Unefois lesystèmeadime nsionné(onparled oncdeproportionsetS(0)=1)onobtient:í µí µí µí µ=-í µí µí µSainsí µí µí µí µ=í µí µí µ-í µÏ„/Infectantsí µí µí µí µ=1Ï„/í µRetirésLesparamètresβetÏ„/dusystèmeSIRsecalibrentfacilementà partirdedeuxnombres,lenombredereproductionR0=βτIreprésentantlenombredemaladesqu'uninfectantproduira(ildoitêtreinférieurà 1
3Modèles-FicheExpert-17juin2020L'accèsauxparamètresdetelsmodèlesaétéunenjeucritiquepuisqu'ilsontétéutiliséspourdéfinirdifférentstypesdescénariosdesortiedeconfinement.Récemment,ilsontaussiétéutiliséspourestimerl'impactdel'hétérogénéitésurl'immunitédegroupe,M.G.M.Gomesetal.Saisonnalité.LapossiblesaisonnalitédeSARS-CoV-2estactuellementenvisagéeavecdescrisesjusqu'en2022,voirepirejusqu'en2024(S.M.Kissleretal.Science368,2020).Lapriseencomptedelasaisonnalitésetraduitparuncoefficientβ(t)périodiquedepériodeunan.2- Donnéesetcalibration:unenjeumajeurUnmodèlemathématiqued'épidémieestuneabstractionquirendcomptedeladiffusiondel'infectionens'appuyant,à unmom entdonné,su rdeshypoth èsesrefl étantnotreco mpréhensiondesprincipa uxmécanismesenjeu.Unefoislemodèlemathématiqueconstruit,lafiabilitédesprédictionsdépenddelaqualitédescoefficientsestimés,eux-mêmesdéduitsdesdonnéesdediffusiondel'épidémie.Deuxdifficultésseposentici,l'accèsauxdonnéesetlacalibrationdumodèle.Donnerdusensauxobservations:l'exempledunombredereproduction.L'accèsauxdonnéesposedenombreusesdifficultésqu inécessitentdiversesanalysesexpertes:accèsre streint,donnéesbrui tées,partiellesoufausses,commeonl'avusurlesEHPAD.Ici,l'InstitutPasteuretlesinstitutsdeSantéPubliqueIPLjouentévidemmentunrôlemajeuretréalisentlesanalysesstatistiquesnécessaires.Unexempleestladéterminationdunombredereproductionintroduitci-dessus.ValantR0danslaphaseinitiale,savaleurévolueavecladiminutionduréservoirdespersonnescontaminablesS(t)etlesmesuresdelimitationsdescontacts.L'estimationdesavaleurcouranteí µí µesttrèsdélicateetpeutêtreenvisagéedeplusieursfaçons.Partantd'unmodèlecompartimental,onpeutinférerleparamètreí µí µinstantanésurlabased'unéchantillonnagegénéralementjournalier.Plusdirectement,l'observationd'incidencez(t)desnouveauxcaspeutêtreconsidéréecommerésultantd'unedistributionaléatoirepoissonniennedeparamètreí µí µ í µ(í µ)í µ(í µ-í µ)í±§IJKmettantenjeulesincidencespasséesetunefonctionΦ(t)représentantladistributiondel'intervallesérielquimesureletempsséparantl'apparitiondesymptômesentreinfectantetinfecté.EnsupposantquesoitconnueladistributionΦ,l'estimationdeí µí µpeutalorsêtreeffectuéepartouteapproche,parexemplebayésienne,visantà maximiserlavraisemblanceattachéeaumodèle.Calibrationdumodèle.Lacalibrationdesparamètressurlesdonnéesestunproblèmequiseretrouvedansdenombreuxdomaines.Lesméthodesdemoindrescarrésetmaximumdevraisemblancesontd'unusagetrèsrépandu.Toutefois,ilaétémontréque,surunmodèleSEIRadaptéà lacovid-19,ladonnéejournalièredesnouveauxcasdanslaphaseexponentielledel'épidémienepermetpasdeprédirelepicépidémique.Mêmeenmettantenoeuvrelesméthodesdel'étatdel'artdelastatistique,onpouvaittrouverdesvariationsd'unfacteur4surlaprévisiondunombrededécès.Plusprécisément,ilsembleimpossibled'estimerparuneméthodeinférentielle(qu'ellesoitbayésienneoufréquentiste)unparamètreimportant,laproportiondemaladessymptomatiquesnon-comptabilisés.Pourcela,ilauraitfalludisposerdedonnéessupplémentaires,
4Modèles-FicheExpert-17juin2020commedestestssérologiquesdansdessous-ensemblesreprésentatifsdelapopulation,cequin'apaspuêtrefaitenFranceaumoisdemars.Devantladisparitédesdonnéesjournalières,certainsauteursontjugéplusfiabled'utiliserlenombred'hospitalisationsoudedécèsenhôpital.Sensibilitéauxparamètres.Sicertainsparamètrespeuventêtreobtenusparobservationmédicale,parexempleladuréedelatenceoud'infectiosité,etd'autresparlesméthodesstatistiques,ildemeureunedifficultécruciale.Lesmodèlesd'épidémiologiedécrivantdescroissancesexponentielles,lesparamètresdéterminantcettecroissance sonttrèssen sibles.Lavalidationdes conclusionsn écessitedoncquele sparamètresutilisés,dansleurintervalledevaleurspossibles,nechangentpassignificativementlerésultat.Validercesconclusionsreposedoncsurdesanalysesintensivesdesensibilité,cequiexpliquequel'utilisationdesmodèlescompartimentauxnécessitefinalementdestempsdecalculimportants.3- Rebond,mouvements,modèlessurréseauxContrôledel'épidémie.Unmodèlepermetaussidedéfinirlesmeilleursmoyensdecontrôlerlesystème.Parexemple,revenantaumodèleSIR,lesparamètresÏ„/sontpurementphysiologiquesetlesseulscontrôlessesituentauniveaudestauxdecontactsβetdesmouvementsdepopulations.Lesdifférentesmesuresdeconfinementoudéconfinementsetraduisentenvaleursdescoefficientsdesmatricesdecontactβij(t).Lecontrôleoptimalviseà choisircesmatricespourmaximiser,parexemple,leseffetssurl'économieetlebien-êtresocialaveclacontraintedegarderunnombred'infectéscompatibleaveclescapacitéshospitalières.CesquestionnementssemblentnouveauxdanslathéorieducontrôledesmodèlesSIRouSEIR,lestravauxportantjusqu'icisurlesstratégiesdevaccinationoudequarantaine.Souventévoqué,lerisquederebondmontrel'importancedusujet,voirFig.2.Modèlesgéographiquesetmouvementdepopulations.L'épidémiedeSARSde2002amontrél'importancedestransport sinternationauxdanslapropagat iondel'épidémie.LesmodèlesrégionauxdetypeSEIRinterconnectésprennentencomptecesmigrations(D.Bichara,Bull.Math.Biol.77,2015).Lorsquel'épidémiesepropageparunprocessuscontinudeconvection-diffusion,onestamenéà considérerdessystèmesd'équationsauxdérivéespartielles.Figure2-DeuxexemplesextrêmesdecontrôlesdusystèmeSIRendiminuantleparamètreí µ.Gauche:onobserveunrebondpouruncontrôletropcourtetlaproportiondepopulationinfectéerestedel'ordrede90%.Droite:uncontrôlepluslongmèneà l'immunitédegroupe.NousutilisonslesmêmescodescouleursetéchellesquelapourlaFigure1.Danslaphaseinitialedel'épidémie,lafortehétérogénéitéspatialeestcauséepardesimportationsaléatoiresdecasinfectieuxliéesauxdéplacementsetpardesévénementslocauxengendrantdescontactsaccrusdansdesenvironnementsconfinés,trèsfa vorablesà ladisséminationvirale.Pourpre ndreencomptecela,l'utilisationdemodèlesstochastiquesdynamiquesrégionauxcoupléssembleêtreunevoieplusprometteuse.
5Modèles-FicheExpert-17juin2020Eneffet,lorsquel'onmodéliseunerégionavecunetailledepopulation(N∼105à 106)quirestepetiteparrapportà lapopu lationtotaled'unpays(∼107à 109),lap opulation infectéeest faibleetl eseffetsstochastiquesapparaissentalorsque lesmodèlescompar timentauxci-dessussupposentdegr andespopulations.Lacombinaisondemodèlesprésentantdesfluctuationsimportantesrequiertleplussouventd'utiliserdesméthodesd'assimilationséquentielledesdonnéespourl'inférence.Lesdonnées,agrégéesà uneéchellerégionale,peuventêtreaffectéesd'erreursduesparexempleà deschangementsdeprotocoledetest,cequidonnelieuaposteriorià descorrectionsouredressements.Modèlesprobabilistessurréseaux.LesprocessusépidémiquessurdesgraphesinfinissontactuellementétudiésdanslecadredelathéoriedesprocessusdecontactinitialiséeparT.E.Harrisen1974.Chaquenoeuddugrapheestdansl'undesdeuxétatsinfectéousainetpassedemanièrealéatoiredupremierausecondavecuntauxconstant,etdusecondaupremieravecuntauxproportionnelaunombredevoisinsinfectés.Acôtédessimulationsinformatiques,ilexistedesrésultatsthéoriquessurl'existenced'unemesureinvariantemaximale(directementliéeà laprobabilitédesurviedel'épidémie)etsurl'existencedetransitionsdephases,cequisignifie ,danscer tainsc as,qu'ilfautuntauxd'infections uffisamment grandpourquel'épidémiesurvive.Surdesgraphesaléatoireshétérogènesinfinis,cesétudesconduisentà desrésultatssurprenants;parexemplequ'ilestpossiblequel'épidémiesurviveavecuneprobabilitépositivepourdesvaleursarbitrairementfaiblesdutauxd'infection,mêmeà partird'unseulnoeudinfecté.Leshétérogénéitésdugrapheontdoncunimpactmajeursurlapropagationdel'épidémie.Cetteapprochesedéveloppedansd'autresdomaines,commelesréseauxinformatiquespair-à -pairoùlesinteractionsentredeuxagentsjouentunrôlesimilaireà unerencontresain-infecté.ConclusionLagestiondelacrisedecovid-19amontrél'importancedesméthodesstatistiquespourl'analysededonnéesetdesm odèlescompar timentauxpourcomprendrel'étatdel 'épidémieetprédiresonévolution,enparticuliersurlecourtterme.Malgréleursdéfautsetparfoisleursimplicité,cesapprochesontpermisdefournirdesinformationsquantifiéesvisantà déterminerl'impactdesscénariosdesortiedeconfinement.Desmodélisationsbienplusrichesexistenttoutefoisquipermettrontsansdoute,lorsquetouteslesdonnéesserontanalysées,demieuxexpliquercettecriseetd'êtremieuxarméspourlaprochaine.CetteficheaétéconçueetrédigéeparlacelluledecriseCoronavirusdel'Académiedessciences.Crééeà l'initiativedePascaleCossart,Secrétaireperpétueldel'Académie,celle-ciréunitdesacadémiciensexpertsdudomaine:Jean-FrançoisBach,PierreCorvol,DominiqueCostagliola,PascaleCossart(coordinatrice),PatrickCouvreur,OlivierFaugeras, OlivierGascuel,DanielLouv ard,EricMoul ines,GeorgesPe lletier,BenoîtPerthame,FélixRey,PhilippeSansonetti,Alain-JacquesValleron.Lesinformationsquifigurentsurcetteficheontétéproduitescollectivementetsontsusceptiblesd'évoluer.Ellesserontéventuellementréactualiséesenfonctiondesavancéesdesconnaissancesscientifiques.
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] comment se propage une épidémie
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