[PDF] 12. Matrices symétriques et matrices définies positives - Sections 6.4

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Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

12. Matrices sym´etriques et matrices

d´eifinies positives

Sections 6.4 et 6.5

MTH1007

J. Gu´erin, N. Lahrichi, S. Le Digabel

Polytechnique Montr´eal

H2023 (v3)

MTH1007: alg`ebre lin´eaire1/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives Plan

1. Matrices sym´etriques

2. Matrices d´eifinies positives

MTH1007: alg`ebre lin´eaire2/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

1. Matrices sym´etriques

2. Matrices d´eifinies positives

MTH1007: alg`ebre lin´eaire3/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Valeurs et vecteurs propres

SiAest une matrice sym´etrique alors ses valeurs propres sont r´eelles Les vecteurs propres d'une matrice sym´etrique qui correspondent `a des valeurs propres distinctes sont orthogonaux(preuve : exercice de TD 6.4.18) On peut donc choisir les vecteurs propres comme ´etant orthonormaux

MTH1007: alg`ebre lin´eaire4/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Vecteurs propres d'une matrice sym´etrique 2x2

Avec A=a b b c et ses deux valeurs propresλ1etλ2, on a les deux vecteurs propres x 1=b 1-a et x

2=λ2-c

b

MTH1007: alg`ebre lin´eaire5/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Valeurs propres et pivots

Les valeurs propres d'une matrice sont tr`es difff´erentes des pivots

Le seul lien est :

d´eterminant = produit des pivots = produit des valeurs propres Pour les matrices sym´etriques, les pivots et les valeurs propres ont le mˆeme signe

MTH1007: alg`ebre lin´eaire6/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Diagonalisation

SiA∈Rn×nest sym´etrique, elle est toujours diagonalisable sous la formeA=SΛS-1avecS,Λ∈Rn×n Λest la matrice diagonale des valeurs propres (r´eelles) La matrice des vecteurs propresScontient des vecteurs orthonormaux : C'est une matrice orthogonale que l'on notera

Qaifin d'avoir

(c'est le th ´eor`emesp ectral

MTH1007: alg`ebre lin´eaire7/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Th´eor`eme spectral

Une matriceAest sym´etrique si et seulement si elle peut ˆetre factoris´ee sous la forme o`uQest orthogonale etΛest la matrice diagonale des valeurs propres

MTH1007: alg`ebre lin´eaire8/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Exemple 1

Illustrer le th´eor`eme spectral avec

A=1 2 2 4

MTH1007: alg`ebre lin´eaire9/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives D´ecomposition en somme de matrices de projection

AvecA∈Rn×nsym´etrique, on a

q1q2...qn 1 2... n q q =λ1P1+λ2P2+...+λnPn vecteur propreqi,i∈ {1,2,...,n}MTH1007: alg`ebre lin´eaire10/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Exemple 2

Illustrer la d´ecomposition en somme de matrices de projection avec A=1 2 2 5

MTH1007: alg`ebre lin´eaire11/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

1. Matrices sym´etriques

2. Matrices d´eifinies positives

MTH1007: alg`ebre lin´eaire12/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

D´eifinitions

Une matricesym´etriqueAestd´eifinie positive(not´eA≻0) si toutes ses valeurs propres sont strictement positives

Une matrice sym´etrique peut ˆetre :

D´eifinie positive :A≻0

Semi-d´eifinie positive :A⪰0

D´eifinie n´egative :A≺0

Semi-d´eifinie n´egative :A⪯0

Non-d´eifinieMTH1007: alg`ebre lin´eaire13/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives Valeurs propres pour une matrice sym´etrique 2x2

SoitA=a b

b c une matrice sym´etrique de taille2×2 Aest d´eifinie positive si ses valeurs propres sont strictement positives Les valeurs propres deAsont strictement positives :

1.si et seulement sia >0etac-b2>0

2.si et seulement si les pivots sont positifs :a >0etac-b2a

>0 Sinon, sia <0et|A|=ac-b2>0,Aestd´eifinie n´egative (not´eA≺0) SinonApeut encore ˆetresemi-d´eifinie positive,semi-d´eifinie n´egative, et sinonnon-d´eifinie(ouind´eifinie)MTH1007: alg`ebre lin´eaire14/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

L'´energie d'une matrice

non nulx: x b c x y =ax2+ 2bxy+cy2>0 nul. C'est l'´energiedeA(enx) SiAest (sym´etrique) d´eifinie positive, alors l'´equation x repr´esente une ellipse dont les axes pointent dans la direction des vecteurs propres et dont les longueurs sont

2MTH1007: alg`ebre lin´eaire15/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Exemple 3

Quel est le signe des matrices suivantes?

A 1=1 2 2 1 A 2=1-2 -2 6 A

3=-1 2

2-6 A

4=-1-5

1 4

MTH1007: alg`ebre lin´eaire16/24

Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Remarques

SiAetBsont sym´etriques d´eifinies positives, alorsA+B l'est aussi Toute matrice carr´ee sym´etriquen×npeut se d´ecomposer en colonnes deRsont ind´ependantes D´ecomposition de Cholesky :SiAest sym´etrique et d´eifinie positive, alors elle peut se d´ecomposer en avecLtriangulaire inf´erieureMTH1007: alg`ebre lin´eaire17/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Sous-matrices principales

Lesnsous-matrices principalesdeA= [aij]∈Rn×nsont A

1= [a11]

A

2=a11a12

a 21a22
A

3=

a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33

A k= a

11a12···a1k

a

21a22···a2k............

a k1ak2···akk A n=AMTH1007: alg`ebre lin´eaire18/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives Six ´enonc´es ´equivalents pour caract´eriser une matrice d´eifinie positive Pour une matrice sym´etrique d´eifinie positiveAde taillen×n, les

´enonc´es suivants sont ´equivalents :

1.Lesnpivots deAsont strictement positifs

2.Lesnd´eterminants des sous-matrices principales deA

(not´esαi,i= 1,2,...,n) sont strictement positifs

3.Lesnvaleurs propres deAsont strictement positives

sur l'´energie Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives Matrices d´eifinies n´egatives, semi-d´eifinies n´egatives, et non-d´eifinies La matrice sym´etriqueAestd´eifinie n´egative(not´eA≺0) si son oppos´ee-Aest d´eifinie positive La matrice sym´etriqueAestsemi-d´eifinie n´egative(not´e A⪯0) si son oppos´ee-Aest semi-d´eifinie positive Une matrice sym´etrique qui n'est ni d´eifinie positive, semi-d´eifinie positive, d´eifinie n´egative ou semi-d´eifinie n´egative, estnon-d´eifinie(ouind´eifinie)MTH1007: alg`ebre lin´eaire20/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Exemple 4

Quel est le signe de

A=

2 1 1 1 2 1

1 1 2

et de-A?MTH1007: alg`ebre lin´eaire21/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives

Matrices semi-d´eifinies positives (SDP)

La matrice sym´etriqueAestsemi-d´eifinie positive(not´e

A⪰0) si

x

Toutes les valeurs propres deAsont≥0

Toute matrice d´eifinie positive est ´egalement semi-d´eifiniequotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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