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MATHS

MPSITOUT-EN-UNC. DESCHAMPS I F. MOULIN I N. CLEIREC I J.-M. CORNIL I Y. GENTRIC I F. LUSSIER I C. MULLAERT I S. NICOLAS

5 e

édition

© Dunod, 2018

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-077659-7

Conception et création de couverture : Hokus Pokus Créations i "ToutEnUn-MPSI" - 2017/12/1 - 21:48 - page iii - #3? i i i i i

Preface

La réforme du lycée, qui a suivi celle du collège, a débuté parla classe de seconde en septembre 2010 et elle s'est achevée, en 2012, avec la mise en ÷uvre des nouvelles classes de terminale. Les étudiants quientreprennent des études en classes préparatoires en septembre 2013 ont bénécié, durant toute leur scolarité, de programmes rénovés, en particulier en mathématiques. An d'assurer une continuité avec ces programmes, de nouveaux programmes de classes préparatoires étaient donc indispensables. En mathématiques, en 1995, lors de la mise en place des programmes de l'époque, les Éditions Dunod nous avaient coné la tâche de fournir aux étu- diants un ouvrage de référence clair et précis complétant lecours, irrempla- çable, du professeur. Nous avions alors tenté un pari : fairetenir exposés et exercices, avec corrigés, en un seul volume, le premier tout-en-un (depuis, très largement imité), qui a remporté un grand succès. Aujourd'hui, avec une équipe partiellement renouvelée et de grande qualité, nouspublions ce nou- veau tout-en-un . Tout en gardant les grands principes de l'ancien ouvrage, ce nouveau tout-en-un a l'ambition, en mettant en ÷uvre denouvelles mé- thodes d'acquisition des connaissances, de proposer à l'étudiant une démarche pour s'approprier les théories du programme, théories indispensables tant aux mathématiques qu'aux autres disciplines. L'esprit qui a guidé l'équipe tout au long de son travail a étéde ne pas se contenter d'un toilettage de l'ouvrage existant mais bien de concevoir et proposer un cours en conformité avec le texte, mais aussi avec l'esprit, du nouveau programme. Dans ce but, par exemple, la première partie Techniques de calcul est là pour aider les étudiants à réaliser la transition entre les programmes rénovés du lycée et les objectifs de la formation mathématique en classes préparatoires. Ces premiers chapitres ont pour mission de consolider et d'élargir les acquis du secondaire, en particulier dans la pratique du calcul, an d'aborder dans les meilleures conditions le c÷ur du programme; à dessein, certaines dénitions précises et constructions rigoureuses ont donc été diérées à des chapitres ultérieurs (avec un pictogramme comme ci-contre indiquantla page à laquelle922 se référer).

En pratique :

•Le livre débute par un chapitre 0 : " Pour commencer »; il ne s"agit pas d'un cours de logique mais d'une acquisition, à minima, de notions fon- damentales (assertions, ensembles, quanticateurs), chacune étant très largement illustrée. •De très nombreux exemples, souvent simples et issus de connaissances du lycée, illustrent chaque dénition. i "ToutEnUn-MPSI" - 2017/12/1 - 21:48 - page iv - #4? i i i i i •Les propositions et théorèmes sont énoncés, suivis immédiatement d'exem- ples élémentaires d'applications, et leurs démonstrations sont l'occasion d'un travail personnel de l'étudiant. Nous avons choisi de ne pas faire - gurer systématiquement à la suite de l'énoncé la rédaction complète de ces démonstrations mais plutôt d'indiquer à l'étudiant le principe de celles-ci avec les éléments qui lui permettront de la construire par lui-même et ainsi de mieux s'approprier la propriété. Évidemment, guidé par un renvoi précis en n du chapitre, il pourra ensuite consulter la démonstration complète et vérier (ou compléter) son travail personnel. •Lorsque plusieurs preuves étaient possibles, nous avons choisi de ne pas privilégier systématiquement la plus courte, souvent au prot de construc- tions explicites. C'est volontaire; durant leurs études aulycée nos étudiants n'ont en général pas construit les objets mathématiques qu'ils ont utilisés : ils se sont contentés d'en admettre les propriétés. Or construire un objet, comme le fait un artisan, c'est se l'approprier, connaître parfaitement ses propriétés et les limites de ces propriétés. •Au cours du déroulement de chaque chapitre, l"étudiant trouvera, pour illustrer immédiatement l'usage des propositions et théorèmes, de très nom- breux exercices simples qu'il doit évidemment chercher et dont il pourra consulter une solution en n de chapitre an de vérier son propre travail. •Régulièrement l"étudiant trouvera des " point méthode » qui, pour une situation donnée, lui orent une ou deux possibilités d'approche de la réso- lution de son problème. Évidemment il trouvera après ce point méthode un ou plusieurs exemples ou exercices l'illustrant. •Enfin, à l"issue de chaque chapitre, il trouvera des exercices plus ambitieux demandant plus de réexion, à chercher une fois le chapitre totalement maitrisé. Certains plus diciles sont signalés par des étoiles; les solutions de tous ces exercices complémentaires sont données, mais parfois de façon plus succincte que les solutions des exercices fondamentaux gurant dans le déroulement du cours. •Bien entendu nous sommes très intéressés par toute remarqueque les étu- diants, nos collègues, tout lecteur... seraient amenés à nous communiquer. Cela nous permettra, le cas échéant, de corriger certaines erreurs nous ayant échappé et surtout ce contact nous guidera pour une meilleure exploitation des choix pédagogiques que nous avons faits aujourd'hui dans cet ouvrage.

Claude Deschamps et François Moulin

i "ToutEnUn-MPSI" - 2017/12/1 - 21:48 - page v - #5? i i i i i

Lesite

les-maths-en-prepas.fr Ce livre est prolongé par un site web qui vous aidera à assimiler ecacement le programme de première année. Ce site, en synergie complète avec l'ouvrage mais qu'il ne remplace absolument pas, a été développé par certains desauteurs du livre pour orir des compléments pédagogiques impossibles à mettre dans un ouvrage papier sous peine de le rendre illisible. Ces compléments portent àla fois sur les exercices et sur le cours. •En ce qui concerne lesexercices, il ne s"agit pas juste d"une série supplémentaire d'exercices corrigés. Au contraire, l'interactivité que permet l'ordinateur ou la tablette est mise à prot pour vous fournir des niveaux d'explication bien plus détaillés que ceux d'un livre, pour vous proposer des pistes, voire de fausses pistes qu'il est bon d'avoir explorées an de bien comprendre pourquoi elles ne mènent à rien. C'est vous-même qui choisirez, en fonction des problèmes de compréhension que vous rencontrerez, d'accéder ou non à ces diérents niveaux d'explication, avant d'aboutir à une solution exhaustive et complètement rédigée. •En ce qui concerne lecours, la présentation des chapitres vous aidera à réviser plus ecacement en vue d'une colle ou d'une interrogation écrite. Après avoir étudié et travaillé votre cours sur papier avec le livre, la forme interactive du site vous permettra d'évaluer l'état exact de vos connaissances. Plutôt que de relire des pages de cours (ou des ches, par nature incomplètes) au risque de vous y endormir, vous pourrez bénécier de la présentation inversée des chapitres : partant de la table des matières et anant par étapes successives, elle est conçue pour vous inciter à vous demander ce qu'il peut y avoir dans chaque partie qui n'est pas

encore développée, quel théorème ou quelle propriété peut bien s'y trouver, quel en

est l'énoncé exact, et quels exemples, contre-exemples ou cas particuliers peuvent vous fournir une aide précieuse pour assurer ce résultat.Cette démarche, privilégiée par les auteurs du site, est exactement celle dont vous aurez besoin lors d'une interrogation orale ou écrite. Que ce soit pour les exercices ou pour le cours, il ne faut pas chercher sur ce site des questions ou des exercices pointus issus des oraux des écoles les plus prestigieuses. Le but poursuivi est avant tout pédagogique : permettre à chacun, quel que soit son niveau, d'acquérir les bases et les réexes indispensablespour eectuer une bonne première année, et de ne plus avoir d'angoisse sur les notions au programme. L'idée essentielle est qu'en allant voir un peu plus loin que le simple énoncé d'un théorème ou d'une formule, en assimilant en même temps le principe de la démonstration, des exemples et des contre-exemples, il est plus facile d'en avoir une connaissance précise. Enn, bon nombre de questions sont enrichies degraphiques interactifs animésqui vous faciliteront l'assimilation de certaines notions en les visualisant et les manipulant plus facilement. i "ToutEnUn-MPSI" - 2017/12/1 - 21:48 - page vi - #6? i i i i i

Tabledesmatieres

Préfaceiii

Le siteles-maths-en-prepas.frcomplémentaire du livrev

Table des matièresvi

Chapitre 0. Pour commencer1

I Assertions, ensembles et prédicats . . . . . . . . . . . . . . . 3 II Quanticateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 14

Partie I. Techniques de calcul

Chapitre 1. Droite numérique, fonctions à valeurs réelles19 I Ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II Fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 III Dérivabilité Rappels de Terminale . . . . . . . . . . . . . . 40 IV Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 66 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Chapitre 2. Calculs algébriques93

I Symboles?et?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 II Coecients binomiaux, formule du binôme . . . . . . . . . . 109 III Systèmes linéaires, méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . 113 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 128 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 i "ToutEnUn-MPSI" - 2017/12/1 - 21:48 - page vii - #7? i i i i i

Tabledesmati eres

Chapitre 3. Nombres complexes149

I L'ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . 151 II Résolution d'équations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . 164 III Applications géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 174 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Chapitre 4. Fonctions usuelles203

I Fonctions logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . 204 II Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 III Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . 212 IV Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 V Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 224 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Chapitre 5. Primitives et équations différentielles linéaires245 I Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 II Équations diérentielles linéaires du premier ordre . . .. . . 259 III Équations diérentielles linéaires du second ordre à coecients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 274 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Partie II. Raisonnement et vocabulaire

Chapitre 6. Raisonnement, opérations sur les ensembles309 I Implication et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 II Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 III Pratique de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 327 Chapitre 7. Applications, relations, entiers naturels333 I Applications, fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 II Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 III L'ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 IV Notions sur les ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 366 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 i "ToutEnUn-MPSI" - 2017/12/1 - 21:48 - page viii - #8? i i i i i

Tabledesmati eres

Partie III. Analyse

Chapitre 8. Nombres réels, suites numériques391 I L'ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 II Généralités sur les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 III Limite d'une suite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 IV Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 V Résultats d'existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 VI Intermède : comment démontrer la convergence d'une suite? . 417 VII Traduction séquentielle de certaines propriétés . . . . .. . . 418 VIII Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 IX Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 X Relations de comparaison sur les suites . . . . . . . . . . . . . 429 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 438 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

Chapitre 9. Limites et continuité483

I L'aspect ponctuel : limites, continuité . . . . . . . . . . . . . 484 IIL'aspect global : fonctions continues sur un intervalle. . . . . . 508 III Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . .519 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 522 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

Chapitre 10. Dérivation551

I Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 II Théorèmes de Rolle et des accroissements nis . . . . . . . . 560 III Fonctions continument dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . 571 IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . 578 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 583 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

Chapitre 11. Intégration611

I Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . 613 II Intégrale des fonctions continues par morceaux . . . . . . . .617 III Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . 624 V Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . .. . 627 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 i "ToutEnUn-MPSI" - 2017/12/1 - 21:48 - page ix - #9? i i i i i

Tabledesmati eres

Chapitre 12. Calcul intégral643

I Notation?b

af(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 II Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 III Calcul d'intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 IV Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 V Application aux méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . 660quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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