Sinus dun angle aigu dans un triangle rectangle
mesure d'angles. III) Application au calcul de longueur d'un côté du triangle rectangle : Pour cela il faut connaitre une longueur et la mesure d'un angle.
Rappels : Triangle rectangle
On dit qu'un triangle est rectangle quand l'un de ses 3 angles est droit. Exercice calculer la mesure de l'angle ABC sachant que ACB=35°.
Calcul du rayon du cercle inscrit à un triangle rectangle
b)Calculer le rayon du cercle inscrit au triangle. EFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13. Exercice 2: Soit ABC un triangle rectangle en C. Nous
3e Tangente dun angle aigu dans un triangle rectangle
le côté opposé à un angle aigu et l'hypoténuse de ce triangle rectangle : La tangente est un outil qui permet de calculer la longueur de segments ou de ...
Théorème de Thalès (révisions Pythagore)
Conséquences (calcul de la 4ème proportionnelle) Dans un triangle rectangle l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle ...
TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE ( )=
a) est un triangle rectangle en . Calculer : b) Calculer ce rapport dans d'autres triangles rectangles en prolongeant [ ] et [
Cours-Triangle-rectangle-et-trigonométrie.pdf
a) Soit ABC un triangle rectangle en A. On donne. 8. BC = cm et. 5. AB = cm. 1) Construire le triangle ABC. 2) Calculer la distance AC. Justifier.
Chapitre 8 – Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
c) Calcul d'un angle : méthode et rédaction. On considère un triangle ABC rectangle en C tel que : AB = 11 cm ; BC = 4 cm . Calculer la mesure de l'angle
ANGLES DANS LE TRIANGLE
sommets du triangle pour former un rectangle. Calculer . Dans le triangle ABC on connaît déjà deux angles. ... 2) Dans un triangle rectangle.
Triangle rectangle
2- obtenir la mesure en degrés ou en radians d'un angle à partir de son sinus de son cosinus ou de sa tangente; cela permet de calculer les mesures des angles
Exercice 1 :
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.1. Calculer l·MLUH GX PULMQJOH UHŃPMQJOH $%FB
2. Calculer les aires des triangles CIB , AIC et
BIA .
3. En déduire que ar + br + cr = ab , puis que
c b a ab r4. Applications numériques : ( unité : le cm )
a)Calculer le rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5. b)Calculer le rayon du cercle inscrit au triangleEFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13.
Exercice 2:
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT.
2. Déterminer BR et AS.
THEME :
Calcul du rayon du cercle
inscrit dSun triangle rectangle3. En constatant que BA = BT + TA, en déduire que :
) c - b a ( 21 r ou 2
c - b a rFRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 1 :
1. Aire du triangle ABC :
IH PULMQJOH $%F pPMQP UHŃPMQJOH HQ F O·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j : 2 ab 2 b a 2AC BCu u
2. Calcul des aires des triangles CIB , AIC et
BIA :Aire du triangle CIB :
2 r a 2IR BCu
Aire du triangle AIC :
2 r b 2IS ACu
Aire du triangle BIA :
2 r c 2IT ABu
3. Calcul de r en fonction de a , b et c :
I·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j OM VRPPH GHs aires des trois triangles CIB , AIC et BIA .BIAAICCIBABC AAAA
donc : 2 r c 2 r b 2 r a 2 ab 2 r c r b r a 2 abPuis en simplifiant par 2,
ab = a r + b r + cr ab = r ( a + b + c ) c b a ab = r r = c b a ab4. Applications numériques :
Cas 1 : Rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5.I·O\SRPpQXVH GH ŃH PULMQJOH UHŃPMQJOH HVP D GRQŃ Ń 13B 0MLQPHQMQP OH ŃORL[ GH M HP N HVP V\PpPULTXHB
Nous pouvons poser a = 3 et b = 4 ou a = 4 et b = 3. Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 11212
5 4 3
4 3 u Cas 2 : Rayon du cercle inscrit du triangle EFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13. FMOŃXORQV PRXP G·MNRUG OM ORQJXHXU GX PURLVLqPH Ń{Pp BDans le triangle EFG rectangle en E
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :
FG² = EF² + EG²
13² = 5² + EG²
169 = 25 + EG²
169 ² 25 = EG²
EG² = 144
EG = 144= 12 Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 2 6
2 6 6 5
12 5 30
12 513 12 5
12 5u u
u u uRemarque :
GMQV GH QRPNUHXVHV IRUPXOHV PMPOpPMPLTXHV ŃRQŃHUQMQP OH PULMQJOH RQ XPLOLVH XQH GRQQpH V·MSSHOMQP OH
demi-périmètre. IH SpULPqPUH G·XQ PULMQJOH TXHOŃRQTXH GRQP OHV Ń{PpV PHVXUHQP M N HP Ń HVP pJMO j : a + b + c Le demi-périmètre p est alors égal à p = 2 c b aGMQV OH ŃMV G·XQ PULMQJOH UHŃPMQJOH QRXV YHQRQV GH GpPRQPUHU TXH OH UM\RQ GX ŃHUŃOH LQVŃULP HVP j JMO j :
c b a ab r Nous avons également MYHŃ 6 O·MLUH GX PULMQJOH HP S le demi périmètre ) r = p S 2 c b a 2 b a r = p SFRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 2 :
1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT :
Soit C un cercle et soit M un point extérieur à ce cercle. Si (MA) et (MB) sont les tangentes issues de M à ce cercle enA et B, alors MA = MB
( Cf. Thème : Tangente à un cercle ) Sans utiliser ce résultat, nous pouvons faire une démonstration rapide en utilisant le théorème dePythagore.
Dans le triangle BRI rectangle en R ,
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJore, nous avons :
BI² = BR² + RI²
BI² - RI² = BR²
BR² = BI² - r² (1)
Dans le triangle BTI rectangle en R ,
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :
BI² = BT² + TI²
BI² - TI² = BT²
BT² = BI² - r² (2)
Des deux égalités (1) et (2), nous en déduisons :BR² = BT²
Et comme BR et BT sont des nombres positifs ( longueurs de cotés de triangle ), nous avons :BR = BT
Une démonstration identique permet de démontrer que AS = AT et même que CR = CS ( égalité déjà
connue car CR = CS = r ).2. Calcul de BR et AS :
Le quadrilatère CSIR est un carré ( 3 angles droits et deux côtés consécutifs de même longueur )
Donc RC = r.
R est un point du segment [BC], donc BC = BR + RC
Donc a = BR + r
Et par suite BR = a - r
S est un point du segment [AC], donc AC = AS + SC
Donc b = AS + r
Et par suite AS = b - r
3. Calcul du rayon du cercle inscrit au triangle :
Nous avons :
BA = BT + TA
Or BR = BT et AS = AT
Donc BA = BT + TA
Donc : c = ( a ² r ) + ( b ² r )
c = a ² r + b - r c = a + b ² 2r2r = a + b ² c
Et par suite
) c - b a ( 21 r ou 2
c - b a r9pULILŃMPLRQ SRXU OHV GHX[ ŃMV QXPpULTXHV pPXGLpV GMQV O·H[HUŃLŃH 1
Cas 1 :
r = 1 2 2 25 - 4 3
Cas 2 :
r = 2 2 4 213 - 12 5
Remarque :
Le rayon du cercle circonscrit à un triangle rectanglH HVP pJMO j OM PRLPLp GH OM ORQJXHXU GH O·O\SRPpQXVHB
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