[PDF] A2022 – PHYSIQUE II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE

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A2022-PHYS IQU EIIPSI

ÉCOLEDESPONTSPARI STECH,

ISAE-SUPAERO,ENSTAPARIS,

TÉLÉCOMPARIS,MINESPA RIS,

MINESSAINT-ÉTIENNE ,MINESNANCY,

IMTATLANTIQU E,ENSAEPARIS,

CHIMIEPARISTECH-P SL.

ConcoursMines-Télécom ,

ConcoursCentrale-Supé lec(CycleInternational).

CONCOURS2022

DEUXIÈMEÉPREUVEDEPHYSIQU E

Duréedel 'épreuve :4heures

L'usagedelacalculat riceet detout dispositifélectroniqueestinterdi t. Lescand idatssontpriésdementionn erdefaçonap parente surlaprem ièrepage delacopie:

PHYSIQUEII-PSI

L'énoncédecetteépre uvecomp orte10pagesdetexte . Si,aucoursd el' épreuve,unc andidatr epèrecequiluisembleêtreuneerr eurd'é noncé,ille signalesursacopiee tpoursuit sacompos itionenexpliq uantle sraisonsdesinitiativesqu 'iles t amenéàprendr e. Lessujet ssontlapropriété duGIPCCMP.Il ssontp ubliéssouslestermesdelalic ence CreativeCommonsAttribution- Pasd'U tilisationCommerciale-Pas deM odification3.0France. Toutautreu sageestsoumisà uneautorisation préalable duConcourscommunM ine sPonts.

PhysiqueII,année2022 - filièr ePSI

Étudephysique d'uncapteurdep osition

Lecon trôled'unsystèmeoud'unprocessusphysiqueprésen tdans ung randnombrede dispo -

sitifstec hnologiquesnécessitedeconnaîtreàc haqueinstant, leplusprécisémen tpossible, un

certainnombre degrandeursphysiquesinterv enantdans cecontrô le. Cesgran deurssontdoncmesuréesparde scapteursqui convertisse ntlagrandeurphysique mesuréeen unegra ndeurélectriqueutilisée afinderégulerleprocessus. Laréalisa tiondecapteursdoitprendreencompt edivers élémentstelsquela précision,la miniaturisation,lepoids,letraitement numériquedes données,etc. Cepr oblèmeétudiedansunpremi ertempsleprincipep hysiqueselo nleque llecapteurinduc- tiflinéa ire"LVDT»(LinearVariabl eDi erentialTransformer)con vertitundéplacementde positionenunegrandeuré lectr ique(part iesIetII).Dans undeuxièmetemps,ilétudie le conditionnementdecettegrandeurélectrique enunetension proportionnelleau déplacement (partieIII).Dans underniertemps,ildévelo ppeune applicatio nutilisa ntce capteur(partie IV). Pourlesappli cationsnu mériques,onneconserveraauplusque2c hi ressignifi catifs.

Figure1-Sc hémadescriptifduLV DT.

LeLVDT estuntransfo rmateurd i

érentielcomportanttrois circuits,uncircuitprimaireet deuxcircuitsseco ndaires.Les borneshomologuesde cescircuits, mentionnéessurlafigure2 à l'aided'unpo int,so nttellesquelescourantsalgébriques entrantsparcesbo rnesg énèrentun fluxma gnétiquealgébriqueorientéselo n!u z Lesdeux circuitsseconda iresson tidentiques,constituésdefilsdecuivre bobinésautourdu noyauetportentnspirespar unitédel ong ueur. Lecircuitma gnétiquedu transformateurestforméd'une culassecylindrique externeferroma- gnétiqueetd'unnoyaucyli ndr iqueferromagnétiq uedesectionS,derayona,reliéàunsupport nonmagnétiquequi permetdeletranslaterselon l'axeOz.Ledéplacementdecenoyaucylindre parrapport àlapositionderéférencereprésentéeenfig ure1est limitéà±L max L'ensembleprésenteune symétriederévolutionautour del'axe Ozetonrep éreral'espace par lesystèmede coordo nnéescylindriques(O,!u r u u z Lebutde cedisp ositifest defournir unegrandeurélectriquepermettant decara ctériserle déplacementducylindre. Danstoutelas uite,onsupp ose raquelematériaumagné tiqueconstitua ntlenoyaucylindrique etlaculasse estparfait,de perméabilitémagnétique µ r infinieet deconductivité électrique nulle.Lesmatéri auxnonmag nétiques(air,support,cuivr e)ontunep erméabilitémagnétique relativeégaleà1.

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PhysiqueII,année2022 - filièr ePSI

Lafigure 2représentelesystèmep ourun déplacementalgébrique zducen treCducylindre tel

OC=z!u

z .Surl'exempledelafigure2,z>0et,defaçon générale,zvérifie|z|Lecircuitprima ireesta limentéparla tensionu p (t)etparcourupar lecourant d'intensitéi p (t). Lesdeuxcircuits seconda iresson tconnectésensérieetlatension utilevautu s =u 2 !u 1 (voir figure2).

Latension d'excitationu

p estsinusoïdale defréquencefvariantde20Hzà20kHz.Laposition dunoy aumagnétiquea ectelarépart ition duchampmagnétiqueetmodifielesindu ctance s mutuellesentrelescircuits secondaires etlecircu itprimaire.

Onnot era:

•L p ,l'inductancepropreducircuitprimaire, •M 1 •M 2 Leco urantdanslesdeuxcircuitssecondairesest supposénul. Ondési gneraparétatderéférence,la configurati ondud ispositif oùlecircuitprim aireest alimentéparlatensionu p =U p sin("t)etoùla positiondu noyau ferromagnétiqueesttelle quez=0.

Figure2-Définitiondesparamètres

IÉtudedel'étatderéférence

Danstoutlepro blème,on suppo seralafréquencefsu"sammentfaiblepourque l'études'ins- crivedanslecad redel'approx imatio ndesrégimesqua si-per manents(ARQP). !-1.Énoncerdanslecadre decerégimel' équat ionMaxwell-Ampèr erelia ntlev ecteurexci- tationmagnétique Het!#,onpréciseralanaturede!#.End édu irelaformegénéralede l'énoncéduthéorèmed'Amp ère. !-2.Énoncerl'équationde Maxwell-Thomson(égalementappel éeMaxwe ll-Flux)etendéduire lapropriété correspondante dufluxduchampmagnétique. !-3.Quelleestladirecti ondu champmagn étiqueentoutpointdupl anpassantpar Oet orthogonalà!u z !-4.Enun point Mdecoo rdonnées(r,$,z)quelconques,quepeut- ondire descoordonnées (B r ,B ,B z )ducha mpmagnétiquecompteten udessymétriesduproblème?

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PhysiqueII,année2022 - filièr ePSI

!-9.Quelsélémentsob servésenfigures3et5perm ettentdejustifierq ue l'onpuisseconsidérer lecha mpmagnétiquecommeuniformea uvoisinageducen tredunoyau. !-10.Quelsélémentsob servésenfigure3permetten td'expliquerl adi minutiondelacom posant e

B·!u

z ducha mpobservéeenfigure5 lorsqu'onserapproched esbo rdsdunoyau ?

Figure5-Com posanteB

z surl'axe Oz. Dansunpremier modè le,onassimilele champmagnétiqueaxialauprofil représenté entraits pointillésenfigure5.Ene et,onsupp osera que: •H 1 :siz 1 B·!u z ducha mpmagnétiqueest uniformémentégaleàB m ,savaleurmoyennesurl'axeOzdanslenoya u.On posera B m =Ki p ,oùKestuneconstan tecaractéristiquedu système; •H 2 :sizz 2 alorspourtou trB·!u z =0; •H 3

B·!u

z =0. !-11.Danslecadre dece shypothèsess implificatric es,montrerque lesdeuxinductancesmu- tuellesM 1 etM 2 sontidentiquem entégalesàunemêmevaleurnotéeM 0 .Exp rimerM 0 enfonctionde S,K,netL max !-12.Applicationnumérique:On donnelarésistancedu circuitprimaire R p =100 !etl'in- ductanceducircuitprimaire L p =6mH.PourU p =10V,onmesureauxbornesde chacundesdeuxcir cuitsseco ndairesnonc onnectésentreeuxunetensi ond'amplitude

1,5Vpourunefr équencede 5kHz .Cal culerlavaleurdeM

0 .Onprendra10%"30et 42.10
3 "205.

IIDé placementdunoyau

Onétu diedésormaisleLVDTda nsl'étatreprésentéenfigur e2oùle centreCducylindreest déplacédezparrapportà l'étatderéférence,soitquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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