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Processus stochastiques

M2 Mathematiques

Jean-ChristopheBreton

Universite de Rennes 1

Septembre{Octobre 2022Version du 15 octobre 2022

2

Table des matieres

I Processus stochastiques

1

1 Processus stochastiques

3

1.1 Loi d'un processus

3

1.2 Regularite des trajectoires

7

1.3 Convergence faible des lois de processus

1 0

1.3.1 Rappels sur la convergence faible

11

1.3.2Equitension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 Processus gaussiens

17

2.1 Lois des processus gaussiens

17

2.2 Regularite gaussienne

2 0

2.3 Espace gaussien

21

2.4 Exemples de processus gaussiens

23

3 Mouvement brownien

29

3.1 Historique

29

3.2 Denition, premieres proprietes

3 1

3.2.1 Proprietes immediates

3 1

3.3 Constructions du mouvement brownien

3 3

3.3.1 Principe d'invariance de Donsker

34

3.3.2 Mesure de Wiener

38

3.4 Proprietes en loi du mouvement brownien

39

3.5 Proprietes trajectorielles du mouvement brownien

4 1

3.5.1 Loi du 0/1 de Blumenthal

4 1

3.5.2 Consequences trajectorielles de la loi du 0=1 de Blumenthal. . . . . 4 4

3.5.3 Regularite trajectorielle brownienne

4 6

3.6 Variation quadratique

4 7

3.7 Propriete de Markov forte

50

3.7.1 Temps d'arr^et

5 0

3.7.2 Propriete de Markov

5 3

3.7.3 Principe de re

exion 5 4

3.8Equation de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

3.8.1 Origine physique

56
i iiTable des matieres

3.8.2 Origine mathematique

5 7

II Martingales

61

4 Martingales en temps continu

63

4.1 Filtration et processus

6 3

4.2 Filtrations et temps d'arr^et

6 6

4.3 Denition et exemples de martingales en temps continu

7 1

4.4 Inegalites pour martingales en temps continu

72

4.5 Regularisation de trajectoires

75

4.6 Theoremes de convergence

7 9

4.7 Theoreme d'arr^et

81

4.8 Processus de Poisson

8 5

5 Semimartingales continues

87

5.1 Processus a variation bornee

87

5.1.1 Fonctions a variation bornee

87

5.1.2 Integrale de Stieltjes

9 0

5.1.3 Extension de l'integration de Stieltjes aR+. . . . . . . . . . . . . .9 1

5.1.4 Processus a variation bornee

9 1

5.2 Martingales locales

9 3

5.3 Variation quadratique d'une martingale locale

97

5.4 Semimartingales continues

1 11

III Integration stochastique

115

6 Integration stochastique

117

6.1 Par rapport a une martingale bornee dansL2. . . . . . . . . . . . . . . .1 17

6.2 Par rapport a une martingale locale

1 26

6.3 Par rapport a une semimartingale

1 31

6.4 Cas non continu

1 33

7 Formule d'It^o et consequences

135

7.1 Formule d'It^o

1 35

7.2 Theoreme de Levy

1 45

7.3 Dubins-Schwarz

14 7

7.4 Inegalites de Burkholder-Davis-Gundy

1 49

7.5 Representation des martingales browniennes

1 55

7.6 Formules de Tanaka

1 59

Introduction

Ces notes de cours ont pour but d'introduire au calcul stochastique et a ses outils fon- damentaux. Elles sont principalement destinees aux etudiants du Master 2 Mathematiques et applications de l'Universite de Rennes 1. Ces notes ont plusieurs sources d'inspiration, dont principalement [ LG1 ] mais aussi les notes de cours [ Gue EGK Mal ].P arai lleurs, des references standards conseillees sur le sujet sont les livres [ KS RY ] (en anglais) et Gal CM ] (en francais).

Le contenu de ces notes est le suivant :

On commence par quelques rappels gaussiens en introduction. La notion generale de processus stochastique est presentee au Chapitre 1 .L eCh apitre 2 i ntroduitl acl assed es processus gaussiens. Ces chapitres s'inspirent de [ Dav ]et d esr eferencescl assiquesso nt Bil2 Kal

Au Chapitre

3 , on presente le mouvement brownien, processus stochastique central, dont on discute de nombreuses propriefentes.

Au Chapitre

4 ,o ni ntroduitl an otiond em artingaleen t empsco ntinu.O nr evisitel es principales proprietes connues dans le cas des martingales discretes. La notion de semimartingale, essentielle dans la theorie de l'integration stochastique, est presentee au Chapitre 5

Le Chapitre

6 est co nsacre al aco nstructiond esi ntegralesst ochastiqueset ase sp rincipales proprietes. On acheve ces notes avec la formule d'It^o dans le Chapitre 7 .Ce r esultatest es sentielet constitue le point de depart du calcul stochastique qui est la suite naturelle de cours et pour laquelle on renvoie a [

JCB-stoch

Les proprietes de l'integrale stochastique, en particulier la formule d'It^o et le theoreme de Girsanov, sont des outils qui fondent le calcul stochastique. Les prerequis de ce cours sont des probabilites de base (des fondements des probabilites aux consequences de la LGN et du TCL { niveau L3) pour lesquelles on pourra consulter

JCB-proba

],l esm artingalese nte mpsd iscret( niveauM 1),v oir[

JCB-martingale

iii iv©JCB { M2 Math. { Universite de Rennes 1

Rappels gaussiens

Dans ce chapitre, on rappelle les principaux resultats sur les variables aleatoires gaus- siennes et sur les vecteurs aleatoires gaussiens. Ces rappels seront utiles pour generaliser le cadre gaussien aux processus au Chapitre 2 e tp resenterl an otiond ep rocessusga ussien.

Variables gaussiennes

Denition 0.1Une variable aleatoireXsuit la loi normale standardN(0;1)si elle admet pour densite t2R7!1p2expt2=2: De facon generale, une variable aleatoireXsuit la loi normaleN(m;2)(m2R,2>0) si elle admet pour densite t2R7!1p22exp (tm)222 Si2= 0, la loi est degeneree, la variable aleatoireXest constante egale am. Sa loi est une mesure de Dirac enm:PX=m. Proposition 0.2Une variable aleatoireX N(m;2)peut se voir comme la translatee et la dilatee deX0 N(0;1)parX=m+X0. Autrement dit siX N(m;2),2>0, on denit la variable aleatoire centree reduite eX=(Xm)=. Elle suit la loiN(0;1). Cette action s'appelle00centrer, reduire00. Proposition 0.3Une variable aleatoireXde loiN(m;2)a pour esp erance: E[X] =m; var iance: Var(X) =2; fonction c aracteristique: 'X(t) = expimt2t2=2.

SiX N(0;2)alors les moments deXsont donnes pas

E

X2n=(2n)!2

nn!2netEX2n+1= 0:(1) v vi©JCB { M2 Math. { Universite de Rennes 1 Demonstration :[Esquisse] Centrer, reduire pour se ramener aX N(0;1). Calculs simples pourE[X], Var(X). Pour la fonction caracteristique, identier les fonctions holomorphes E[ezX] etez2=2pourz2Ret considererz=ix. Pour les moments de tous ordres faire des integrations par parties successives. L'estimation de la queue normale suivante s'avere utile : pourN N(0;1) etx1, on a

P(Nx) =1p2Z

+1 x et2=2dt1p2Z +1 x tet2=2dt1p2ex2=2:(2) En fait, on a une estimation valable pour toutx >0 et meilleure six1 :

Proposition 0.4SoitN N(0;1)etx >0alors

P(Nx)1p2x2exp(x2=2):

Demonstration :En notantf(x) =1x

p2exp(x2=2), on a f

0(x) =exp(x2=2)p21x

2exp(x2=2)p2 exp(x2=2)p2:

D'ou

P(Nx) =Z

+1 x1p2exp(u2=2)du Z +1 x f0(u)du=f(u)+1 x=f(x): Proposition 0.5SoitN1 N(m1;21)etN2 N(m2;22)independantes. AlorsN1+N2

N(m1+m2;21+22).

Demonstration :Par les fonctions caracteristiques, avec l'independance, on a : N1+N2(t) ='N1(t)'N2(t) = expim1t21t2=2expim2t22t2=2 = exp i(m1+m2)t(21+22)t2=2='N(m1+m2;21+22)(t) ce qui prouve le resultat. Proposition 0.6Soit(Xn)n1une suite de variables normales de loiNmn;2n. 1. L asuite (Xn)n1converge en loi ssimn!m2Ret2n!22R+. La loi limite est alorsN(m;2). 2. Si la suite (Xn)n1converge en probabilite versX, la convergence a lieu dans tous les espacesLp,p <+1. vii Demonstration : 1)D'apres le theoreme de Paul Levy, la convergence en loiXn=)Xest equivalente a avoir pour toutt2R:

Xn(t) = exp

im nt2n2 t2 !'X(t); n!+1:(3) Comme'Xest continue et'X(0) = 1, il existet6= 0 tel quej'X(t)j 6= 0. Pour cet, en prenant le module dans ( 3 ),o na exp( 2n2 t2)! j'X(t)j. On deduit alors que limn!+12n= 2t

2lnj'X(t)j:=2existe. Par suite, on a aussi

exp imnt!exp2t2=2'X(t): Supposons que (mn)n1est non bornee. On construit alors une sous-suitemnk!+1, k!+1(ou1ce qui mene a un raisonnement analogue). Alors pour tout >0,

P(X)limsup

k!+1P(Xnk)12 puisque, pourkassez grand,P(Xnk)P(Xnkmk) = 1=2 (la moyennemketant aussi la mediane). En faisant!+1, on aP(X= +1)1=2, ce qui est absurde car

P(X2R) = limn!+1P(Xn2R) = 1.

On a donc (mn)n1bornee. Des lors, simetm0sont deux valeurs d'adherence de (mn)n1, en passant a la limite sur les bonnes sous-suites, on doit avoireimt=eim0tpour toutt2R, ce qui exigem=m0. Il y a donc unicite de la valeur d'adherence, c'est a dire existence de la limitemdemn. Finalement,mn!metn!(n!+1) et en passant a la limite dans (3),o na :

X(t) = exp

imt22 t2 ce qui assureX N(m;2).

2)On ecritXn=nNn+mnavecNn N(0;1). CommeXnconverge en loi, les suites

(mn)n1et (n)n1sont bornees d'apres la partie 1). Par convexite pourq1 jnN+mnjq2q1(jnjqjjNjq+jmnjq) et l'expression des moments deNn, donnee en (1) assure alors sup n1EjXnjq<+1 8q1: Comme la convergence en probabilite donne la convergence ps d'une sous-suiteXnk, par le lemme de Fatou, on a : E jXjq=Eh limk!+1jXnkjqi liminfk!+1E[Xnkjq]sup k1EjXnkjqsup n1EjXnjq<+1: viii©JCB { M2 Math. { Universite de Rennes 1 Soitp1, la suitejXnXjpconverge vers 0 en probabilite et est uniformement integrable car bornee dansL2(d'apres ce qui precede avecq= 2p). Elle converge donc dansL1vers

0, ce qui prouve 2) dans la Prop.

0 .6 Le caractere universel de la loi normale est illustre par le resultat suivant. Il montre que la loi normale standard contr^ole les uctuations par rapport a leur moyenne des eets cumules d'un phenomene aleatoire repete avec des repetitions independantes. Dans la suite,iidsigniera independant(e)s et identiquement distribue(e)s, c'est a dire de m^eme loi. Souvent, on notera aussivaiidpour variables aleatoires independantes et identiquement distribuees. Theoreme 0.7 (TCL)Soit(Xn)n1une suite de variables aleatoires iid, d'esperancemet de variance nie2>0. SoitSn=X1++Xnla somme partielle. Alors S nnmp

2n=) N(0;1); n!+1:

Remarque 0.8|Le TCL co mpletel al oid esgr andsn ombres: en e et,l aL GNd onne S n=n!m, c'est a direSnnm0. Le TCL donne la vitesse de cette convergence (en loi) : elle est enpn. Noter que la convergence est presque s^ure dans la LGN et en loi (donc beaucoup plus faible) dans le TCL. La l oiN(0;1) appara^t a la limite dans le TCL alors que les variables aleatoiresXi sont de lois arbitraires (de carre integrable) : ce resultat justie le r^ole universel de la loi normale. Elle modelise les petites variations de n'importe quelle loi (avec un moment d'ordre 2) par rapport a sa moyenne. Demonstration :D'apres le theoreme de Paul Levy, il sut de montrer la convergence des fonctions caracteristiques. PosonsYi= (Xim)=, si bien que les variables aleatoires Y isont independantes de m^eme loi avecE[Yi] = 0, Var(Yi) = Var(Xi)=2= 1. Notons S

0n=Y1++YnetZn=Snnmpn

=S0npn . On a

Zn(t) =E

exp itS0npn =E exp itpn S0n ='S0ntpn ='Y1tpn Yntpn Y1tpn n en utilisant'Y1++Yn='Y1:::'Yn='nY

1par independance et identique distribution des

variables aleatoiresYi. CommeY1a un moment d'ordre 2,'Y1est derivable 2 fois avec'Y1(0) = 1,'0Y

1(0) =

iE[Y1] = 0 et'00Y

1(0) =i2E[Y21] =1. La formule de Taylor a l'ordre 2 en 0 donne alors

Y1(x) ='Y1(0) +x'0Y

1(0) +x22

'00Y

1(0) +x2(x) = 1x22

+x2(x) ix ou la fonctionverie limx!0(x) = 0. On a donc

Zn(t) =

Y1tpn n 1t22 pnquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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