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Service Commun de Formation ContinueAnnée Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variableset applications pour l"ingénieur

Polycopié de cours

Rédigé par YannickPrivat

Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1

B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex.

e-mail : Yannick.Privat@iecn.u-nancy.fr ii

Avant-ProposCe cours présente les concepts fondamentaux de l"Analyse des fonctions de plusieurs variables.

Les premiers chapitres généralisent les notions de limite,dérivabilité et dévelopement limité, bien

connus dans le cas des fonctions d"une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-

malisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs

nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux de développement : •l"optimisation (recherche d"extremums, minimisaton d"une énergie, etc.);

•les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des

ondes, etc.); •l"intégration (calculs de moments d"inertie, de flux, etc.). Travail personnel de préparation :le premier chapitre présente des pré-requis utiles pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l"étudiersérieusement pour la première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous en discutions en cours.

YannickPrivat

iii iv Table des matières1 Introduction à l"étude des fonctions de plusieurs variables 1

1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles . . . . . . . . .. . . . . . . . 1

1.1.1 Exemple mathématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . .. 1

1.1.2 Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Représentation graphique d"une fonction à deux variables . . . . . . 3

1.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.2.1 Rappel : dérivation d"une fonction deRdansR. . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.2.3 Dérivées partielles d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . .. . . . . . 6

1.3 Fonction denvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Fonction de trois variables à valeurs réelles . . . . . . .. . . . . . . 6

1.3.2 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1.3.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

2 Calculs de limites et continuité11

2.1 Technique de recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

2.1.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3 Techniques pour lever les indéterminations . . . . . . . .. . . . . . 12

2.1.3.1 Fonctions polynôme ou rationnelle . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3.2 Technique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3.4 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Contiuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16

2.2.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Cas des fonctions deR2dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

v viTABLE DES MATIÈRES

2.2.3 Techniques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20

3 Notion de différentiabilité23

3.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 23

3.2 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

3.2.1 Dérivée selon un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2 Fonctionsf:Rn-→Rp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.3 Application différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25

3.2.4 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.5 Expression explicite de la différentielle . . . . . . . . . .. . . . . . 27

3.2.6 Méthode générale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.3 Conséquences de la différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29

3.3.1 Notion de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Schéma récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30

4 Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien 35

4.1 Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4.1.1 Différentiabilité des fonctions deRndansRp. . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.3 Le Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Notion deC1-difféomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39

5 Recherche d"extrema43

5.1 Problèmes liés à la recherche d"extrema . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43

5.1.1 Développement limité à l"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

5.1.2 Points critiques et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

5.2 Caractérisation des points critiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44

5.2.1 Hessienne d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

5.2.2 Quelques notions d"Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . .. . . . 45

5.3 Cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

TABLE DES MATIÈRESvii

5.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48

6 Introduction aux EDP51

6.1 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51

6.1.1 Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires . . . . . . 51

6.1.2 Un exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.3 Équation différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . 52

6.1.3.1 Équations différentielles homogènes du premier ordre à co-

efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.3.2 Théorème de structure des solutions . . . . . . . . . . . . 53

6.1.3.3 Équations différentielles homogène du second ordreà co-

efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Compléments de calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 55

6.2.1 Composition des différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 55

6.2.2 Exemple détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2.3 Quelques opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 56

6.3 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57

6.3.1 Repère polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.2 Changement de variables quelconque . . . . . . . . . . . . . . .. . 58

6.3.3 Trois méthodes de résolution explicite d"EDP . . . . . . .. . . . . 60

6.3.3.1 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3.3.2 Méthode de séparation des variables . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62

7 Transformée de Fourier69

7.1 La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69

7.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.1.2 Propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . .. . . . 70

7.1.3 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 71

7.2 Application à la résolution d"EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 72

7.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76

8 Calcul d"intégrales doubles et triples79

8.1 Calcul intégral dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1.1 Quelques méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1.2 L"intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80

viiiTABLE DES MATIÈRES

8.1.3 Introduction aux intégrales impropres . . . . . . . . . . . .. . . . . 80

8.1.4 Visualisation graphique de l"intégrale . . . . . . . . . . .. . . . . . 82

8.2 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82

8.2.1 Intégrale double sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 82

8.2.2 Intégrale double sur une partie bornée . . . . . . . . . . . . .. . . 83

8.2.3 Propriétés de l"intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 84

8.2.4 Changement de variable dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.2.5 Changement de variable dansR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.3 Exemples d"intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 87

8.3.1 Intégration par piles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3.3 Un exemple d"application en Physique . . . . . . . . . . . . . .. . 89

8.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90

A Formulaire de trigonométrie93

B Limites95

B.1 Limite d"une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 B.2 Limite d"un produit d"une fonction par une constanteλnon nulle . . . . . 95 B.3 Limite d"un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 B.4 Limite d"un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

C Dérivées usuelles97

D Primitives usuelles99

E Applications linéaires, matrices et déterminant : rappels 101 E.1 Calcul matriciel dansR2,R3etRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 E.2 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 102 E.3 Calculs de déterminants en dimensions 2 et 3 . . . . . . . . . . .. . . . . . 104

Chapitre 1Introduction intuitive à l"étude desfonctions de plusieurs variablesCe chapitre a pour vocation d"initier la lecteur débutant aux objets que nous manipule-

rons dans les chapitres qui vont suivre. Les définitions et principes seront présentés ici d"un point de vue qualitatif; ils seront revus, améliorés etrigoureusement introduits par la suite. Je ne prétends donc pas à un grand formalisme ni une grande rigueur. Je re- donne également quelques notions sur la dérivation des fonctions d"une variable car il est nécessaire de bien maîtriser ce concept si l"on souhaite comprendre la notion de dérivée partielle.

1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles

1.1.1 Exemple mathématique et définition

Considérons un rectangleABCD. On appellexla longueurABety, la longueurBC. On supposex >0ety >0. A B CDx y On appellep(x,y), le périmètre deABCD,A(x,y), l"aire de ce rectangle. On a alors : p(x,y) = 2(x+y)etA(x,y) =xy.

Définition 1.1.Produit cartésien.

•Leproduit cartésiende deux ensemblesEetF, notéE×Fest l"ensemble des couples dont le premier élément appartient àEet le second àF. 1

2CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L"ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

•SiE=F, on noteE2=E×E.

•Cette définition se généralise aisément. SiE1, ...,Endésignentnensembles. On note

E=E1×...×Enle produit cartésien défini par :

E={(e1,...,en), tel quee1?E1,...,en?En}.

Exemple :on définit par exemple l"ensembleN×R+. L"élément(2,π)appartient àN×R+. Remarque :si on considère des ensembles finis (i.e. dont le nombre d"éléments de l"en- semble est fini), on appelle cardinal de l"ensemble, le nombre d"éléments de l"ensemble.

Et, siEetFsont finis, on a :

card(E×F) =cardE×cardF.

Problème courant en Optimisation

:on peut être amené à chercherxpour que le périmètre deABCDsoit minimal sachant que son aire vaut 1. (problème d"Optimisation)

Vocabulaire

:Aetpsont des fonctions de deux variables à valeurs réelles.xetysont les deux variables. Il est important de noter quexetysontindépendantes, autrement dit, il n"existe pas d"applicationf:R2-→Rtelle quef(x,y) = 0. On note : p:R2:=R×R-→R (x,y)?-→p(x,y) = 2(x+y)etA:R2:=R×R-→R (x,y)?-→ A(x,y) =xy. Ici, cet exemple prend tout son sens six >0ety >0. On écrira plutôt : p:?R?+?

1.1.2 Exemple en Physique

Il est bien rare que le modèle mathématique choisi par le physicien ne dépende que d"un paramètre. En Thermodynamique, par exemple, lorsque l"on considère une énergie (éner-

gie interneU, cinétiqueEc, etc.), on est souvent amené à étudier l"influence des paramètres

T(température),P(pression) etV(volume).

Exemple 1 : loi de Boyle-Mariotte ou loi des gaz parfaits. (1670)

PV=nRT.

ndésigne la quantité de matière contenue dans le volumeV, tandis queRdésigne la constante des gaz parfaits. Si le volume du système physique varie en même temps que la température, notre étude

est justifiée. En général, on recherche l"équation d"état d"un système. (Relation entre les

paramètres d"état d"un système en équilibre macroscopique.) Elle s"écritf(P,V,T) = 0, oùfest une fonction des trois variablesP,VetT. Dans notre cas, on a :f(P,V,T) =PV-nRT. Exemple 2 : équation d"état de Van der Waals (Prix nobel de Physique, 1910).

1.1. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES À VALEURS RÉELLES3

Pour une mole de gaz, on a la relation?

P+a V2? (V-b) =RT. Cette relation tra- duit l"existence de forces d"interaction entre les molécules de gaz, à la différence de l"équation d"état des gaz parfaits. La fonction d"état s"écrit dans ce cas :f(P,V,T) =? P+a V2? (V-b)-RT. Définition 1.2.SoitD, une partie deR2, c"est à dire un ensemble de couples de réels (x,y). On appellefonction de deux variablesdéfinie surD, le procédé qui consiste à associer à chaque couple(x,y)deDun réel unique. On note généralement :f(x,y) =z. On peut se représenterzcomme une " altitude » définie en chaque point du plan de base.

1.1.3 Représentation graphique d"une fonction à deux variables

Définition 1.3.Soitf, une fonction de deux variables définie sur un domaineD. L"en- semble des points de coordonnées(x,y,z)avecz=f(x,y), pour(x,y)parcourantDest appelé " surface d"équationz=f(x,y)». Traduction :pour représenter une fonction deRdansR, on représente les points de coordonnéesM(x,f(x)). y x xf(x)CM O Fig.1.1 - Représentation d"une fonction deRdansR Pour représenter une fonction deR2dansR, on représente les points de coordonnées

M(x,y,f(x,y)).

Remarque :il arrive souvent que l"on noteX= (x,y)pour désigner un élément deR2.

On écrira par exemple :

f:R2-→R

X= (x,y)?-→xy.

Exemple :représentation de la surface d"équationz=x2+y2. On constate pour la construction graphique que l"intersection de la surface d"équation z=x2+y2et du plan d"équationz=k, pourk >0est un cercle de rayon⎷ k. En effet, dans le planxOy, le cercle de centreΩ(x0,y0)et de rayonR, décrit par l"ensemble des pointsMde coordonnées(x,y)a pour équation : (x-x0)2+ (y-y0)2=R2.

4CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L"ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

xyz O xyz=f(x,y) M Fig.1.2 - Représentation d"une fonction deR2dansR Le plan d"équationz=k, pourkréel, est parallèle au planxOy.

1.2 Dérivées partielles

1.2.1 Rappel : dérivation d"une fonction deRdansR

Définition 1.4.On dit quefest dérivable enx0de nombre dérivéLenx0si, et seulement si l"un ou l"autre des quotients f(x)-f(x0) x-x0ouf(x0+h)-f(x0)hadmet une limite finie respectivement quandx→x0eth→0. Dans ce cas, on noteraf?(x0)cette limite et on a : f ?(x0) = limx→x0f(x)-f(x0) x-x0= limh→0f(x0+h)-f(x0)h.

Interprétation graphique :

Remarque :nous avons préféré ne faire aucun rappel sur la notion de limite dans ce chapitre pour nous concentrer exclusivement sur la notion de nombre dérivé. Dans le chapitre suivant, nous étendrons la notion de limite d"une fonction d"une variable au cas multidimensionnel. Nous procèderons alors aux rappels nécessaires théoriques. Cependant, pour bien aborder les calculs simples mis en oeuvre dans ce chapitre, le lecteur pourra se reporter aux annexes : théorèmes sur les limites et dérivéesusuelles.

1.2.2 Calcul de dérivées partielles

La dérivation d"une fonction d"une variable peut être généralisée. Les dérivées partielles

d"une fonction de deux variablesxetyse calculent de la façon suivante : •par rapport àx: on considère queyest constant et on dérive la fonction comme fonction d"une variablex.

1.2. DÉRIVÉES PARTIELLES5

±10

±5 0 5

10x±10

±5 0 5 10y0

50100150200

Fig.1.3 - Représentation de la surface d"équationz=x2+y2 xx0x0+hf(x0)f(x0+h) C ?pente de cette droite :f(x0+h)-f(x0)x-x0y Fig.1.4 - Visualisation graphique du nombre dérivé •par rapport ày: on considère quexest constant et on dérive par rapport ày. Remarque et notations :la dérivée partielle defpar rapport àxest encore unefonc- tion de deux variables. On la note∂f ∂x. De même, la dérivée partielle d"une fonctionf par rapport àyse note∂f ∂y. Remarque :on entend souvent parler en Physique de la différentielle d"une fonction f. On la notedf. Nous donnerons ultérieurement un sens à cette notion. On a : df=∂f ∂xdx+∂f∂ydy.

6CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L"ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

1.2.3 Dérivées partielles d"ordre supérieur

Soitf:R-→R. Nous savons définir (à la condition qu"elles existent...)f?,f??,f???,f(4), etc. Il s"agit des dérivées première, seconde, troisième etquatrième def. Exactement de la même façon, il est aisé de définir : •∂2f ∂x2=∂∂x? ∂f∂x? : on dérive deux fois par rapport àx; ∂2f ∂y2=∂∂y? ∂f∂y? : on dérive deux fois par rapport ày; ∂2f ∂x∂y=∂∂x? ∂f∂y? : on dérive une fois par rapport ày, puis une fois par rapport àx; ∂2f ∂y∂x=∂∂y? ∂f∂x? : on dérive une fois par rapport àx, puis une fois par rapport ày; Exemple :gest la fonction définie surR2par :g(x,y) =x3ey. Sixest fixé,y?-→g(x,y)est bien infiniment dérivable surRpar rapport àx(fonction usuelle classique) et siyest fixé,x?-→g(x,y)est encore infiniment dérivable surRpar rapport àx. On a clairement :∂g ∂x(x,y) = 3x2ey,∂g∂y(x,y) =x3ey,∂2g∂x2(x,y) = 6xey, 2g ∂y2(x,y) =x3eyet∂2g∂x∂y(x,y) =∂2g∂y∂x(x,y) = 3x2ey. Remarque :sifdésigne une fonction d"une variable réellexsupposée dérivable sur son ensemble de définitionD, on fait la différence entre la fonctionf?, appelée fonctionquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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