[PDF] Analyse matricielle Chaque chapitre est suivi d'

View - Download Analyse matricielle

Previous PDF

Next PDF

12 1 0 0 ()1 2

ENSEIGNEMENT SUP MATH

ANALYSE MATRICIELLE

COURS ET EXERCICES RÉSOLUSAgrégation - Master

Jean-Étienne Rombaldi

Cette deuxième édition du livre " Analyse matricielle » est corr igée et augmentée d'un chapitre sur les matrices réelles positives et stochastiques. Cet ouvrage est consacré à l"étude de l"espace vectoriel ? des matrices carrées à coefficients réels ou complexes du point de vue algébrique et topologique, préalable nécessaire à tout cours d"analyse numérique. La synthèse réalisée par l"auteur permet aux étudiants d"approfondir leurs connaissances sur les espaces vectoriels normés et l"algèbre linéaire, des notions de base en algèbre linéaire et en topologie

étant suffisantes pour la lecture de ce livre.

Le public visé est celui des candidats à l"agrégation (interne et externe) et également celui des étudiants de licence et maîtrise de mathématiques. Chaque chapitre est suivi d"une série d"exercices corrigés. Les résultats classiques sont illustrés par des exemples qui peuvent trouver leur place dans les leçons d"oral des concours.

Jean-Étienne Rombaldi

est professeur agrégé de mathématiques, son dernier poste étant à l'institut Fourier de Grenoble (Université Grenoble- Alpes). Il a longtemps été préparateur, à l'université et pour le compte du CNED à l'agrégation interne et externe de mathématiques.

ISBN : 978-2-7598-2341-39 782759823413

21

Agrégation Master

ENSEIGNEMENT SUP MATH

12 10() 0()1 2

ANALYSE MATRICIELLE

COURS ET

EXERCICES RÉSOLUS

2 e

édition

Jean-Étienne Rombaldi9782759823413_MathSup.indd 130/09/2019 17:51Retrouver ce titre sur Numilog.com

12 1 0 0 ()1 2

ENSEIGNEMENT SUP MATH

ANALYSE MATRICIELLE

COURS ET EXERCICES RÉSOLUS

Agrégation - Master

Jean-Étienne Rombaldi

Cette deuxième édition du livre " Analyse matricielle » est corrigée et augmentée d'un chapitre sur les matrices réelles positives et stochastiques. dans?les?leçons?d"oral?des?concours? Jean-Étienne Rombaldi est professeur agrégé de mathématiques, son dernier poste étant à l'institut Fourier de Grenoble (Université Grenoble- Alpes). Il a longtemps été préparateur, à l'université et pour le compte du CNED à l'agrégation interne et externe de mathématiques.

Agrégation

Master

ENSEIGNEMENT SUP MATH

12 1 0() 0()1 2

ANALYSE MATRICIELLE

COURS ET

EXERCICES RÉSOLUS

2 e

édition

Jean-Étienne Rombaldi

9782759823413_MathSup.indd 130/09/2019 17:51Retrouver ce titre sur Numilog.com

JeanffiÉtienne ROMBALDI

Analyse matricielle

Cours et exercices résolus

2 e

éditionRetrouver ce titre sur Numilog.com

Imprimé en France

ISBN (papier) : 978ffi2ffi7598ffi2341ffi3 ffi ISBN (ebook) : 978ffi2ffi759

8ffi2419ffi9

Tous droits de traduction, d"adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n"autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l"article 41, d"une part, que les " copies ou reproductions strictem ent réservées à l"usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d"autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d"exemple et d"illustration, " toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l"auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1 er de l"article 40). Ceffe représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait do nc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal.

© EDP Sciences, 2019Dans la même collection

Éléments d"analyse réelle, 2

e

édition

JeanffiÉtienne Rombaldi

2019, ISBN : 978ffi2ffi7598ffi2339ffi0

Thèmes pour lagrégation de mathématiques, 2 e

édition

JeanffiÉtienne Rombaldi

2019, ISBN : 978ffi2ffi7598ffi2340ffi6Retrouver ce titre sur Numilog.com

Tabledes matières

Avant-proposv

1 Polynômesminimalet caractéristique.Sous espacescaractéris-

tiques1

1.1 Dé“nitionset premièrespropriétés .................. 2

1.2 Localisationdesv aleurspropres d"unematricecomplexe...... 7

1.3 Matricecompagnon d"unp olynôme.................. 10

1.4 Lethéorème deCa yley-Hamilton................... 13

1.5 Méthodesdecalcul dup olynômecaractéristique d"unematrice com-

1.6 Sousespaces caractéristiques..................... 17

1.7Ex ercices................................21

2 Réductiondes endomorphismeset desmatrices 31

2.1 Trigonalisation............................. 31

2.2 Diagonalisation............................. 33

2.3 Espacesv ectorielseuclidiens...................... 34

2.4 Réductiondes matricesorthogonales ................. 40

2.5 Réductiondes matricessymétriques réelles. .. ........... 42

2.6 Tridiagonalisationdesmatrices symétriquesréelles. Méthode deHou-

2.7 Espacesv ectorielshermitiens..................... 46

2.8 Réductiondes matricesnormales ................... 49

2.9 Formeréduitede Jordan........................ 52

2.10 Exercices................................ 56

3 L"espacev ectorielnorméM

n (K)(K=RouC)73

3.1 Normematricielle induitepar unenorme vectorielle ........ 73

3.2 Legroup etopologiqueGL

n (K).................... 77

3.3 Propriétéstop ologiquesdel"ensemble desmatrices diagonalisables

deM n (C)................................ 83

3.4 Rayonspectrald"une matricecomplexe............... 86

3.5 Conditionnementd"unematrice .................... 94

3.6 QuotientdeRa yleigh-Ritzet Hausdorffen.............. 96

3.7 Conditionnementdesproblèmes dev aleurspropres ......... 99

3.8Ex ercices................................102Retrouver ce titre sur Numilog.com

iv

4 Matricesp ositivesetirréductibles123

4.1 Matricesp ositives............................ 123

4.2 Matricesstrictemen tpositives etthéorèmedePerron-Frob enius. .128

4.3 Matricesirréductibles ......................... 134

4.4 Matricesprimitiv es........................... 139

4.5 Matricessto chastiquesetbistochastiques ............... 141

4.6Ex ercices................................154

5 Systèmeslinéaires 161

5.1 Positiondesproblèmes etnotations .................. 161

5.2 Problèmesn umériquesliésàla résolutiondes systèmeslinéaires .. 162

5.3 Casdes matricestriangulaires ..................... 164

5.4 Matricesde dilatationet detransv ection.Op érationsélémen taires164

5.5Mé thodedespivotsdeGauss.....................168

5.6 Résolutiondes systèmeslinéaires àco efficients entiers ....... 170

5.7 DécompositionLRou méthode deCrout ............... 171

5.8 DécompositionLD

t

Ldes matricessymétriques réelles....... 174

5.9 DécompositiondeCholesky desmatrices symétriquesréelles définies

positives................................. 175

5.10 Méthoded"éliminationde Gauss-Jordan............... 176

5.11 Méthodesitératives derésolutiondessystèmes linéaires...... 177

5.12 MéthodedeJacobi ........................... 178

5.13 MéthodedeGauss-Seidel ....................... 179

5.14 Méthodederelaxation ......................... 181

5.15 Méthodesdedescen teet degradient................. 188

5.16 Exercices................................ 196

6 Calculappro chédesvaleurset vecteurs propres209

6.1 Introduction............................... 209

6.2Mé thodedelapuissanceitérée....................209

6.3 MéthodedeJacobi pour lesmatrices symétriques.......... 213

6.4La méthodedeGivensetHouseholder................218

6.5Ex ercices................................223

7 Systèmesdiffiéren tielslinéairesetexp onentielle d"unematrice 229

7.1 Systèmesdifféren tielslinéairesàco efficients constants ....... 229

7.2 L"exponentielled"unematrice..................... 233

7.3 Unalgorithme decalcul del"exp onentielle d"unematrice ...... 239

7.4 Equationsdifféren tielleslinéairesd"ordrenà coefficientsconstants240

7.5 Systèmesdifféren tielslinéairesàco efficients nonconstan ts..... 242

7.6 Méthodedev ariationdes constantes................. 245

7.7 Surjectivitéet injectivitéde l"exponen tiellematricielle ....... 247

7.8Ex ercices................................251Retrouver ce titre sur Numilog.com

Avant-propos

Cet ouvrage,qui pourrait s"intituler"Matrices réellesetcomplexes,propriétés algébriques ettop ologiques,applications»est consacréà l"étudede l"espacev ec- torielM n (K)des matricescarrées d"ordrenà coefficientsréelsoucomplexes du pointdevue algébriqueet topologique. Cetteétude estun préalableimportant à tout boncoursd"analyse numérique. Des connaissancesde baseen algèbrelinéaire eten topologie sont amplement suffisantesp ourlalecturede cetouvrage. Le publicvisé estcelui desétudian tsdu deuxièmecycle universitaireetdes candidats àl"Agrégation externeet interne deMathématiques. La synthèseproposée estunbon moy ende révisersesconnaissancessur les espaces vectorielsnorméset l"algèbrelinéaire. Lescandidats àl"agrégation trouve- ronttout aulong decet ouvragede nombreux exemplesd"applications desrésultats classiques souventproposésdans lesleçonsd"oral.P arexemple, sidans uneleçon sur legroup eorthogonalonp enseà mentionner lacompacitédeO n (R)il faut avoirré"échi àquelquesexemplesd"applications dece résultat.En suivan tcette idée, jeme suisefforcé defaire suivrec haquerésultat classiqueet importan td"un certain nombred"applications. Chaque chapitreestsuivi d"uneliste d"exercicescorrigés. Uneb onneutilisa- tion deces exercicesconsiste bienévidemmen tà lesc hercheraupréalable, puisà confronterles résultatsobten usaux solutionsproposées. L"étude despropriétés topologiques del"espacevectoriel M n (K)et l"application aux méthodesitératives derésolutiondessystèmes linéaireset derec herche des valeurset vecteurs propresutilisentquelques résultatsde basesurlesespaces vectorielsnormés dedimension finie.On pourra serep orterà [18]pourl"étude des espaces vectorielsnormés.En particulier,le théorèmedu poin tfixe deBanac hest utilisé dansl"étude dessystèmes différentiels linéaires. Les chapitre1et 2son tconsacrés àl"étude desvaleurset vecteurs propresdes matrices réellesou complexes.Les résultatsimp ortants sont lethéorèmededécom- positiondes noy auxetlesdiversthéorèmes deréduction àla formetriangulaire ou diagonale. C"est auc hapitre3qu"onab ordel"étude despropriétés topologiquesdel"espace vectorielM n (K).On yin troduitlesnotionsdenorme matricielleinduite parune norme vectorielleeton démontre quelquesrésultats classiquesdedensitéet de connexité.Retrouver ce titre sur Numilog.com viAvant-propos Pource quiest desapplications dece chapitre, jeme suislimité àl"analyse numériquelinéaire. Pour uneapplicationauxgroup esde Lie,le lecteurin téressé pourraconsulter l"ouvragede Mnéimnéet Testard [12]. Le chapitre4,qui n"étaitpas présent dansla premièreédition, estconsacréà l"étude desmatrices àco efficients positifsoustrictementp ositifsavec pour ap- plication uneétude desmatrices stoc hastiqueset doublementstochastiquesqui interviennententhéorie desprobabilités. Les chapitres5et 6son tdeux chapitres importantsde l"analysen umérique linéaire. Ons"in téresseauxméthodes directeset itérativesderésolution dessys- tèmes linéaireset auxmétho desde calculapproché desv aleurset vecteurspropres d"une matricecarrée réelleou complexe. Enfin lec hapitre7estune applicationà l"étudedes systèmesdifféren tielsli- néaires àco efficientsconstantsounon etàl"exponen tielled"une matrice.L"exp o- nentielled"une matricey estdéfinie àpartir del"étude dessystèmes différentiels linéaires àco efficientsconstants. Cette deuxièmeédition différede lapremière parla suppressiondu premier chapitresur lesespaces vectoriels norméset l"ajoutd"unc hapitresur lesmatrices réelles positives.Onrenv oieà [18],publiéchezlemême éditeur,p ourles résultats sur lesespaces vectoriels normésutilisésdanscet ouvrage. Je tiensà remercierles éditionsEDP Sciencesp ourla confiancequ"ils m"ac- cordenten publiant unedeuxièmeéditionde cetra vail. Retrouver ce titre sur Numilog.com

6Polynômesminimal etcaractéristique. Sousespaces caractéristiques

Dé“nition 1.5.On ditqu"un endomorphismeuΩL(E)[resp.une matrice

AΩM

n (K)] estnilp otent[resp.nilp otente]s"ilexisteun entierrstricte- ment positiftelque u r-1 =0etu r =0.[resp.A r-1 =0etA r =0.]. Ondit querest l"ordredenilpotenc ede u[resp.de A]. Il estfacile dev érifierque 0est laseule valeur propred"unendomorphisme nilpotent.

Lemme ???SiuΩL(E)est nilpotent,ona alorsTru

k =0pourtout kcompris entre1etn.PourKde caractéristiquenulle,un endomorphismeuΩL(E)est nilpotentsi, etseulement si,Tru k =0pourtout kcomprisentr e1etn.

Preuve?

1. Onv érifietoutd"abord parrécurrence surladimensionnΔ1deE,qu"un en-

domorphisme nilpotentestdetrace nulle. Pour n=1,l"unique endomorphisme nilpotentestl"endomorphisme nul etsa traceestnulle. Supposons lerésultat acquis pourlesespaces vectoriels dedimension aupluségaleà nŠ1Δ1et soit uΩL(E)nilpotentd"ordrerΔ1avecEde dimensionnΔ2.Comme0est valeurpropre deu(u r-1 =0,donc ilexiste yΩEtel quex=u r-1 (y)=0 et ona u(x)=u r (y)=0), ilexiste unv ecteurnon nule 1 dans leno yau deuet complétantcev ecteuren unebaseB 1 deE,la matricede udansB 1 est dela formeA= 0α 0B oùαΩM 1 ,n -1 (K)etBΩM n -1 (K).Avec A r

0αB

r-1 0B r =0,on déduitque Best nilpotenteetenconséquence Tr (B)=0(l"hypothèsederécurrence nousdonne lerésultat surM n -1 (K)), ce quien traînequeTr (u)=Tr(A)=Tr(B)=0.

2. SiuΩL(E)est nilpotent,ilenest alorsde mêmede u

k pourtout entier kΔ1 et enconséquence, Tru k =0.

3. Pourlarécipro quea vecKde caractéristiquen ulle,onprocède encorepar récur-

rence surla dimensionnΔ1deE.Pourn=1,on au(x)=λx,Tr (u)=λet le résultatest trivial.Supp osonsle résultatacquispour lesespaces vectoriels de dimension auplus égaleà nŠ1Δ1et soituΩL(E)tel queTru k =0pour toutkcompris entre1etn=dim(E)Δ2.En désignantparχ u (X)= n k=0 a k X k le polynômecaractéristiquede uet entenan tcomptedeχ u (u)= n k=0 a k u k =0 etTru k =0pourk=1,···,n,on déduitque Tr (χ u (u)) =na 0 =0 eta 0 =det(u)=0puisqueKde caractéristiquen ulle.Donc0est valeur propre deuet ilexiste unebase BdeE,dans laquellela matricede uest de laforme A= 0α 0B oùαΩM 1 ,n -1 (K)etBΩM n -1 (K).Avec A k

0αB

k-1 0B k ,on déduitque TrB k =TrA k =Tru k =0pour

toutk=1,···,net l"hypothèsederécurrencenous ditque Best nilpotente.Retrouver ce titre sur Numilog.com

Localisationdes valeurs propresd"unematricecomplexe 7

Enfin, ennotan tpl"indice denilp otencedeB,avecA

p+1 =ρ0B p 0B p+1 =0, on déduitque Aest nilpotenteetilen estde mêmede u. On peutaussipro cédercomme suitenécrivan tle polynôme minimalde usous la formeff u (X)=X r Q(X)avecQ(0)=0.Le théorèmede décomposition des noyaux(théorème1.11) nousdit queE=FG,où lesespaces F=ker(u r etG=ker(Q(u))sontstables paru(commutativitéde K[u]). SiQest non constant,il s"écritalors Q(X)=X p-r p-r-1 k=0 a k X k avec0 r pŠ1et ona

0=Q(u)

G =Qθu G ?,doncTrθQθu G ??=Trν u p-r G p-r-1 k=0 a k

Trν

u k|G =0 etTrν u p-r G p-r-1 k=1 a k

Trν

u k G =Ša 0 dim(G)=0(on esten caractéristique nulleet a 0 =Q(0)). Ilexiste doncun entier kcompris entre1etpŠr n tel queTrν u k|G =0.Utilisantla matricede u k dans unebase adaptéeà la sommedirecte E=FG, FetGétantstables paru k ,on aboutità

Trθu

k ?=Trν u k F +Trν u k G =Trν u k G =0,ce quin"est pas.Le polynôme

Qest doncconstan tégalà1,ce quinous donneff

u (X)=X rquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

[PDF] Calcul vectoriel dans l 'Espace

[PDF] Calcul vectoriel dans le plan - ad2mathcom

[PDF] Vecteurs - Exercices corrigés Seconde (vecteurs colinéaires

[PDF] Calcul vectoriel

[PDF] chapitre 4 les murs en béton table des matières - L Adets

[PDF] Méthode de calcul du volume des ouvrages de rétention ou d

[PDF] Comment calculer le volume de votre cuve - Hapco

[PDF] Volume d 'un tronc de cylindre

[PDF] Informatique Titrage acide/base - Cours d 'informatique

[PDF] FOSSE SEPTIQUE : METHODES PRATIQUES DE

[PDF] Manuel de calcul et de conception des ouvrages de - mddelcc

[PDF] RÉSOLUTION D 'ÉQUATIONS À L 'AIDE D 'EXCEL

[PDF] CALCUL DES PROBABILITES

[PDF] Du salaire brut au salaire net : comparatif entre la - EuroRekruter

[PDF] Notation Scientifique