[PDF] Conditionnement / Espérance conditionnelle

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Amphi 3

Conditionnement / Esp

´erance conditionnelle

J

´er´emie Bigot

Cours de probabilit

´es MA105

ISAE/SUPAERO 1A

Ann

´ee 2013 - 2014

Amphi 3

Motivations

1Motivations2Probabilit´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enement3Conditionnement par rapport`a une v.a. discr`ete4Conditionnement par rapport`a une v.a. continue5Esp´erance conditionnelle et projection orthogonale

Amphi 3

Motivations

Importance de la notion de probabilit

´e conditionnelle

Quand a-t-besoin de la la notion de probabilit

´e conditionnelle?

chaque f oisque ,pendant le d

´eroulement d"une exp´erience

al ´eatoire, une information partielle est fournie`a l"exp´erimentateur un ´ev´enement en conditionne un autre, si la r´ealisation de ce dernier d

´epend de la r´ealisation du premier.

Les notions d"ind

´ependance et de conditionnement sont donc

etroitement li´ees.

Amphi 3

Motivations

Exemple de conditionnement discret

Envisageons les trois cas suivants :

1.

On lance un d

´e`a six faces : quelle est la probabilit´e d"obtenir le chiffre 3? R

´eponse :1=6

2.

On lance un d

´e`a six faces : quelle est la probabilit´e d"obtenir le chiffre 3sachant que le r´esultat est impair? R

´eponse :1=3

3.

On lance un d

´e`a six faces : quelle est la probabilit´e d"obtenir le chiffre 3sachant que le r´esultat est pair? R

´eponse :0

Amphi 3

Motivations

Exemple de conditionnement continu

Mod `ele de d´eplacement d"un mobile (ex : v´ehicule) d´ecrit pour un vecteurxt2R2ouR3au cours du tempst2R+: le v ecteurxtest la position du mobile`a l"instanttdans le cas id

´eal d"un mod`ele th´eorique

la position r ´eelleXtest mod´elis´ee en introduisant un terme perturbateur al

´eatoire

X t=xt+Vt;avecVtv.a. centr´ee; suivi du v

´ehicule`a partir de mesuresYtqui donnent une

approximationde sa position r´eelle Y t=Xt+Wt;avecWtv.a. centr´ee: Question :connaissant les mesuresYt1;:::;Ytn, comment pr ´edire/estimer la position r´eelle du mobile au tempstn+1? R ´eponse :utilisation de l"esp´erance conditionnelle (filtre de Kalman)

Amphi 3

Motivations

Objectifs du conditionnement

Apprendre

`a utiliser de nouvelles informations pour augmenter la pr ´ecision d"un mod`ele al´eatoire (exemple : d´etection des spams)La d ´efinition du mod`ele conditionnel dans le cas discret est naturelle et remonte au XVIII si `ecle (Thomas Bayes, math ´ematicien britannique, 1702-1761). La d´efinition g´en´erale est plus abstraite.Le formalisme des espaces de Hilbert et la notion projection orthogonale peuvent ˆetre utilis´es pour d´efinir les notions d"esp ´erance conditionnelle et de loi conditionnelle.Le conditionnement ouvre la voie `ala statistique et l"inf´erence bay ´esienne- Notion de mod`elea prioriet mod`elea posteriori.

Approches fr

´equentistes6=Approches bay´esiennes

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Probabilit

´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enement1Motivations2Probabilit´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enement3Conditionnement par rapport`a une v.a. discr`ete4Conditionnement par rapport`a une v.a. continue5Esp´erance conditionnelle et projection orthogonale

Amphi 3

Probabilit

´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementD ´efinition de la probabilit´e conditionnelleD

´efinitionSoit(

;A;P)un espace probabilis´e. SoitB2 Atel queP(B)>0. On appelleprobabilit´e deAsachantBle nombrePB(A)(not´e egalementP(AjB)) d´efini par P

B(A) =P(AjB) =P(A\B)P(B):Lanc

´e de d´e: on noteA"chiffre 3" etB"chiffre impair". On a que

A\B=A;P(A\B) =card(A\B)card

=16 ;P(B) =cardBcard =36 =12 D"o `u P

B(A) =P(AjB) =P(A\B)P(B)=16

1 2=13:

Amphi 3

Probabilit

´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementD ´efinition de la probabilit´e conditionnelleD

´efinitionSoit(

;A;P)un espace probabilis´e. SoitB2 Atel queP(B)>0. On appelleprobabilit´e deAsachantBle nombrePB(A)(not´e egalementP(AjB)) d´efini par P

B(A) =P(AjB) =P(A\B)P(B):Lanc

´e de d´e: on noteA"chiffre 3" etB"chiffre pair". On a que

A\B=;;P(A\B) =card(A\B)card

=0;P(B) =cardBcard =36 =12 D"o `u P

B(A) =P(AjB) =P(A\B)P(B)=01

2=0:

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Probabilit

´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementD ´efinition de la probabilit´e conditionnelleProposition L"applicationPB:A7!PB(A)est une probabilit´e sur( ;A).Preuve :i)PB( ) =P( \B)P(B)=P(B)P(B)=1etPB(A) =P(A\B)P(B)2[0;1]car A\BB. ii) Soit suite d" ´ev´enementsAn, incompatibles 2`a 2 (i.e.An\Am=;). Les ´ev´enementsAn\Bsont aussi incompatibles 2`a 2 et donc : P B [ nA n! =PS nA n \BP(B)=PS n(An\B)P(B) =P nP(An\B)P(B)=X nP B(An)

Amphi 3

Probabilit

´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementFormule des probabilit

´es totalesTh

´eor`emeSoit(

;A;P)un espace probabilis´e. Soit(Bi)i2Iun syst`eme complet d" ´ev´enements de probabilit´es non nulles i.e. (i)Bi2 Apour touti2I, (ii)S i2IB i= (iii)sii6=j, alorsBi\Bj=;, (iv)P(Bi)6=0pour touti2I(ensemble d´enombrable).

Alors, pour toutA2 A,

P(A) =X

i2IP

Bi(A)P(Bi) =X

i2IP(AjBi)P(Bi):

Amphi 3

Probabilit

´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementFormule des probabilit

´es totales

Cas particulier tr

`es utile :

P(A) =PB(A)P(B) +PB

(A)P(B) =P(AjB)P(B) +P(AjB)P(B) Exemple :Le taux de r´eussite d"un examen donn´e est de 60 % pour les candidats issus de l"

´etablissement A et de 80 % pour ceux issus

de B. D"autre part, 55 % des candidats proviennent de A et 45% de B.

Quel est le taux d"

´echec`a cet examen?

Amphi 3

Probabilit

´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementFormule des probabilit

´es totales

Exemple :Le taux de r´eussite d"un examen donn´e est de 60 % pour les candidats issus de l"

´etablissement A et de 80 % pour ceux issus

de B. D"autre part, 55 % des candidats proviennent de A et 45% de B. Solution :soit les´ev´enementsA: "ˆetre issu deA",B: "ˆetre issu de

B",R: "r´eussir" etE: "ˆetre en´echec".

Par la formule des probabilit

´es totales on a que le taux de r´eussite

est :

P(R) =P(RjA)P(A) +P(RjB)P(B) =6055100

2+8045100

2=69%;

et donc

P(E) =1P(R) =31% :taux d"´echec.

Amphi 3

Probabilit

´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementFormule de Bayes

SoitAetBdeux´ev`enements. On a que

P(AjB) =P(A\B)P(B)et=P(BjA) =P(B\A)P(A)

Donc, on peut aussi

´ecrire que (formule de Bayes) :

P(AjB) =P(BjA)P(A)P(B)

P(BjA)P(A)P(BjA)P(A) +P(BjA)P(A);

ecrite (souvent!) sous la forme

P(AjB)/P(BjA)P(A)

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. discr`ete1Motivations2Probabilit´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enement3Conditionnement par rapport`a une v.a. discr`ete4Conditionnement par rapport`a une v.a. continue5Esp´erance conditionnelle et projection orthogonale

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. discr`eteLois conditionnelles pour un couple discret

SoitXetYdeux v.a.r. discr`etes, d´efinies sur(

;A;P), avec X( ) =fxi;i2IgetY( ) =fyj;j2Jg;I;Jd´enombrables:

Loi de probabilit

´e du couple(X;Y)est d´etermin´ee par

p ij=P([X=xi]\[Y=yj])pouri2Ietj2J:

Lois marginalesdeXetY

P(X=xi) =pi:=X

jp ijetP(Y=yj) =p:j=X ip ij:D ´efinitionSipi:6=0, la loi conditionnelle deYsachant[X=xi]est d´efinie par : P [X=xi](Y=yj) =P(Y=yjjX=xi) =P([X=xi]\[Y=yj])P(X=xi)=pijp i:;j2J:

Sipi:=0, alors, par convention,P[X=xi](Y=yj) =0.

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. discr`eteEsp

´erance conditionnelle dans le cas discretD

´efinitionSupposons queE(jYj)<+1.

L"esp ´erance d"une v.a. dont la loi est la loi conditionnelle deY`a l" ´ev´enement[X=xi]est appel´eeesp´erance conditionnelle deY`a l"

´ev´enement[X=xi].

Elle est not

´eeE[X=xi](Y)ouE(YjX=xi). On a donc

E [X=xi](Y) =X jy jP[X=xi](Y=yj); not

´ee´egalement

E(YjX=xi) =X

jy jP(Y=yjjX=xi):

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. discr`eteEsp

´erance conditionnelle dans le cas discret

Exemple: soientX P()etY P()ind´ependantes (loi de

Poisson de param

`etres >0et >0). Les v.a.XetYsont discr`etes et`a valeurs dansNde loi

P([X=i]) =eii!;i2N;

et

P([Y=j]) =ejj!;j2N:Proposition

La v.a.X+Ysuit une de loi de Poisson de param`etre+.

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. discr`eteEsp

´erance conditionnelle dans le cas discret

Exemple: soientX P()etY P()ind´ependantes.

Etant donn

´e queX+Y P(+), on a que pour0in,

P [X+Y=n]([X=i]) =P([X=i]\[X+Y=n])P([X+Y=n])=P([X=i]\[Y=ni])P([X+Y=n]) (+)(+)nn! =Cin+ i 1+ ni =PZ(fig) o `uZest de loi binomialeB n;+ . Ainsi, la loi conditionnelle deX`a [X+Y=n]est la loi binomialeB n;+ , d"esp

´erancen+et donc

E [X+Y=n](X) =E(XjX+Y=n) =n+:

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. discr`eteEsp

´erance conditionnelle dans le cas discretD

´efinitionSoitXune v.a. r´eelle discr`ete sur( ;A;P)telle que, pour tout x2X( ),P([X=x])6=0et soitYune v.a. r´eelle discr`ete sur( ;A;P) admettant une esp

´erance i.e.E(jYj)<+1.

On appelleesp´erance conditionnelle deYsachantX, lavariable al´eatoirediscr`ete E

X(Y) =h(X);

o `uh:X( )!Rest la fonction d´efinie par h(x) =E[X=x](Y); pour toutx2X( ).Remarque :on la note´egalementE(YjX) =EX(Y).

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. discr`eteEsp

´erance conditionnelle dans le cas discret

Exemple: soientX P()etY P()ind´ependantes.

On a que

h(n) =E[X+Y=n](Y) =E(XjX+Y=n) =n+;n2N; et donc E

X+Y(X) =E(YjX+Y) =(X+Y)+

Remarque importante :EX+Y(X)est une variable al´eatoire!

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. discr`eteEsp

´erance conditionnelle dans le cas discretTh

´eor`eme (Th´eor`eme de l"esp´erance totale)SoitXetYdeux v.a.r. discr`etes d´efinies sur le mˆeme espace telles

queE(jYj)<+1. Alors la v.a.r. discr`eteEX(Y)admet une esp´erance et

E(EX(Y)) =E(Y);

relation not

´ee´egalement

E(Y) =E(E(YjX)):

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. discr`eteEsp

´erance conditionnelle dans le cas discret

Preuve(Th´eor`eme de l"esp´erance totale) : on a que h(xi) =E(YjX=xi) =X jy jP(Y=yjjX=xi): L"esp ´erance de la v.a.h(X) =E(YjX)peut donc s"´ecrire

E(E(YjX)) =E(h(X)) =X

ih(xi)P(X=xi) X i0 X jy jP(Y=yjjX=xi)1 A

P(X=xi)

X jy j X iP(Y=yjjX=xi)P(X=xi)! X jy jP(Y=yj) =E(Y):

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. continue1Motivations2Probabilit´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enement3Conditionnement par rapport`a une v.a. discr`ete4Conditionnement par rapport`a une v.a. continue5Esp´erance conditionnelle et projection orthogonale

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. continueLois conditionnelles dans le cas continu Soit(X;Y)2R2un couple de variables al´eatoires de densit´efX;Y admettant pour densit

´es marginalesfXetfY.D

´efinitionPour toutx2Rtel quefX(x)6=0, ladensit´e conditionnelledeY sachant[X=x]est la fonctionfX=xY:R!R+d´efinie par f

X=xY=fX;Y(x;y)f

X(x):Parall

`ele avec les couples discrets: on peut faire l"analogue avec la loi deYsachant[X=xi]: P [X=xi](Y=yj) =P([X=xi]\[Y=yj])P(X=xi)=pijp i:;j2J:

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. continueEsp

´erance conditionnelle dans le cas continuD

´efinitionSupposons queE(jYj)<+1.L"esp´erance conditionnelledeY`a "l"

´ev´enement[X=x]" est le r´eel :

E

X=x(Y) =Z

R yfX=xY(y)dy: L"esp ´erance conditionnelledeYsachantXest lavariable al

´eatoirer´eelle

E

X(Y) =E(YjX) =h(X)

avech:R!Rla fonction d´efinie parh(x) =EX=x(Y);x2R.Th ´eor`eme de l"esp´erance totale(comme dans le cas discret).

SiE(Y)existe :

E(Y) =E(EX(Y)) =E(E(YjX)):

Amphi 3

Conditionnement par rapport

`a une v.a. continueEsp

´erance conditionnelle dans le cas continu

Exemple :soit un couple al´eatoire(X;Y)de densit´e f

X;Y(x;y) =1x

exy=x11f[0;+1[[0;+1[g(x;y):

On veut calculerE(Y)?

Calculons tout d"abord la densit

´e conditionnelle

f

X=xY(y) =fX;Y(x;y)f

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