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UNIVERSITÉ PARIS-EST

École DoctoraleMathématiques et STIC

THÈSE

présentée pour l"obtention du titre de

Docteur de l"Université Paris-Est

Spécialité :Mathématiques Appliquées

par

Guillaume COSTESEQUE

Soutenue publiquement le 12 Septembre 2014

Contribution à l"étude du trafic routier sur réseaux à l"aide des équations d"Hamilton-Jacobi

Directeur de thèse:Régis MONNEAU

Co-encadrant de thèse:Jean-Patrick LEBACQUE

Jury M. Ludovic LECLERCQ, Univ. Lyon, IFSTTAR/ENTPE Président Mme Paola GOATIN, Inria Sophia-Antipolis Rapporteur M. Saïd MAMMAR, Univ. Evry Val d"Essonne Rapporteur M. Chris M.J. TAMPÈRE, KU Leuven - Belgique Rapporteur M. Fabio CAMILLI, Univ. di Roma - Italie Examinateur M. Jean-Patrick LEBACQUE, Univ. Paris-Est, IFSTTAR Examinateur M. Markos PAPAGEORGIOU, TU Crete - Grèce Examinateur M. Régis MONNEAU, Univ. Paris-Est, ENPC Directeur de thèse ii À ma famille, qui a toujours tout fait pour me permettre de réussir, À mon grand-père François, disparu quelques jours avant ma soutenance. iii iv "Le mieux est le mortel ennemi du bien." - Charles De Montesquieu,Cahiers v vi

Résumé

Ce travail porte sur la modélisation et la simulation du trafic routier sur un réseau.

Modéliser le trafic sur une section homogène (c"est-à-dire sans entrée, ni sortie) trouve ses

racines au milieu du XX èmesiècle et a généré une importante littérature depuis. Cependant,

la prise en compte des discontinuités des réseaux comme les jonctions, n"a attiré l"attention

du cercle scientifique que bien plus récemment. Pourtant, ces discontinuités sont les sources majeures des congestions, récurrentes ou non, qui dégradent la qualité de service des infrastructures. Ce travail se propose donc d"apporter un éclairage particulier sur cette

question, tout en s"intéressant aux problèmes d"échelle etplus particulièrement au passage

microscopique-macroscopique dans les modèles existants. La première partie de cette thèse est consacrée au lien existant entre les modèles de poursuite microscopiques et les modèles d"écoulement macroscopiques. Le passage asymp- totique est assuré par une technique d"homogénéisation pour les équations d"Hamilton-

Jacobi. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à lamodélisation et à la simu-

lation des flux de véhicules au travers d"une jonction. Le modèle macroscopique considéré

est bâti autour des équations d"Hamilton-Jacobi. La troisième partie enfin, se concentre sur la recherche de solutions analytiques ou semi-analytiques, grâce à l"utilisation de for- mules de représentation permettant de résoudre les équations d"Hamilton-Jacobi sous de

bonnes hypothèses. Nous nous intéressons également dans cette thèse, à l"application des

techniques Hamilton-Jacobi à la classe générique des modèles macroscopiques de trafic de second ordre, ditsmodèles GSOM. Mots-clés:Trafic routier, micro, macro, réseau, jonction, Hamilton-Jacobi, schéma nu- mérique, Lax-Hopf vii

CHAPITRE 0. RÉSUMÉ

viii

Abstract

This work focuses on modeling and simulation of traffic flows ona network. Modeling road traffic on a homogeneous section takes its roots in the middle of XXthcentury and it has generated a substantial literature since then. However, taking into account disconti- nuities of the network such as junctions, has attracted the attention of the scientific circle more recently. However, these discontinuities are the major sources of traffic congestion, recurring or not, that basically degrades the level of service of road infrastructure. This work therefore aims to provide a unique perspective on this issue, while focusing on scale problems and more precisely on microscopic-macroscopic passage in existing models. The first part of this thesis is devoted to the relationship between microscopic car- following models and macroscopic continuous flow models. The asymptotic passage is based on a homogenization technique for Hamilton-Jacobi equations. In a second part, we focus on the modeling and simulation of vehicular traffic flow through a junction. The considered macroscopic model is built on Hamilton-Jacobi equations as well. Finally, the third part focuses on finding analytical or semi-analyticalsolutions, through representation formulas aiming to solve Hamilton-Jacobi equations under adequate assumptions. In this thesis, we are also interested in the application of Hamilton-Jacobi technique to a generic class of second order macroscopic traffic flow models, the so-calledGSOM models. Keywords:Traffic flow, micro, macro, network, junction, Hamilton-Jacobi, numerical scheme, Lax-Hopf ix

CHAPITRE 0. ABSTRACT

x

Remerciements

C"est avec un grand soin que je rédige ces quelques lignes afinde remercier les diffé-

rentes personnes dont les contributions, à des degrés divers, m"ont été précieuses durant

ces trois années de thèse. D"avance pardon à ceux que j"aurais malgré tout oublier. Pour commencer, j"adresse toute ma reconnaissance à mes deux encadrants, Régis Mon- neau et Jean-Patrick Lebacque, respectivement Ingénieur en Chef et Ingénieur Général du

corps des Ponts, Eaux et Forêts. Cela a été un réel plaisir de travailler sous leurs direc-

tions. Avec des styles différents mais poussés par une même passion pour la science et la

recherche, ils ont su faire émerger chez moi un intérêt sans cesse renouvelé pour des sujets

auxquels ma formation m"avait peu ou prou destinée. Je penseavoir su, plus ou moins habilement, tirer partie des qualités, des (immenses) connaissances mais aussi des disponi- bilités de chacun. En passant outre les petites (et grandes)turbulences qui accompagnent

nécessairement une "cohabitation" à trois pendant la duréed"une thèse, j"espère que ce

travail aura permis de créer des ponts entre la rigeur desmathématiques appliquéeset les enjeux réels entransport. Je tiens bien évidemment à remercier les membres de mon jury de thèse. Ce travail

étant à la frontière entre deux thématiques, des spécialistes de chaque ont accepté d"évaluer

mon travail. Je remercie ainsi Mme Paola Goatin, M. Saïd Mammar et M. Chris Tampère

qui ont accepté la lourde tâche de rapporter ce mémoire - et cedans un délai très court,

mais aussi M. Fabio Camilli, M. Ludovic Leclercq et M. MarkosPapageorgiou qui me font l"immense honneur de faire partie de mon jury d"évaluation. Je les remercie pour le temps et l"énergie consacrés à l"évalutation de ma contribution et pour leurs remarques judicieuses et constructives. Mes remerciements vont également à l"endroit de mon employeur, le Ministère de l"Eco- logie, du Développement Durable et de l"Energie (MEDDE), à Jean-François Delmas et Alexandre Ern, respectivement directeur et directeur adjoint du CERMICS, à l"ensemble des membres de la commission de suivi des thèses ITPE présidée par Jacques Roudier, Ingénieur Général du Corps des Ponts, Eaux et Forêts, mais aussi Christine Buisson et Ludovic Leclercq (LICIT / ENTPE et IFSTTAR), qui ont suivi périodiquement mon avan-

cée. Pour le rôle qu"il a eu dans mon orientation vers une thèse, j"adresse mes plus sincères

remerciements à Aurélien Duret. Je ne peux pas oublier mes collègues de travail qui ont partagé mon quotidien, tout au long de ces trois années, que ce soit à l"Ecole des Ponts ou à l"IFSTTAR (je vous prie de m"excuser de ne pas tous vous citer). Du côté du CERMICS, je tiens à saluer l"ensemble des doctorants et plus particulièrement mes collègues de bureau : Oliver Hénard, Patrick Ho- scheit, Maria Adela Puscas, Yannick Masson, mais aussi Julien Reygner, William Minvielle, Thomas Pradeau, Pauline Sarrabezolles et Laurent Monasse avec qui j"ai eu l"occasion de xi

REMERCIEMENTS

discuter d"autres choses que de mathématiques. Je remercieégalement tous les membres (anciens ou actuels) de l"équipe "EDP et matériaux" : Danny El-Khass (qui m"a le premier accueilli au laboratoire), Mohammad Al Haj, Ghada Chmaycen, Amin Ghorbel, Elefthe- rios Ntvoris et Jérémy Firozali; ainsi que ceux qui ne serontrester que sur une courte dans la rédaction de mon premier article), Avetik Arakelyan, Liutang Xue et Erik Lind- gren. J"aurais un mot spécialement pour mon collègue et ami Arnaud Le Guilcher, avec lequel j"ai eu énormément de plaisir à discuter. Du côté de l"IFSTTAR, la liste est également longue (et n"estcertainement pas ex- haustive) mais voici une tentative : Dihya Atmani, Johanna Baro, Hani El-Assaad, Jos- quin Fouillaron, Matthieu Mastio, Andry Randriamanamihaga, Rony Rozas, Wissam Sam- mouri, Moncef Toumi et ceux de passage David Abellanas, Arthur de La Rochefoucauld, Asma Khelifi ou encore Luis Blanche. Pour le rôle particulierqu"ils ont eu dans mon début de thèse, je remercie mes collègues "irréductibles" àsavoir Thomas Monamy et Tibye Saumtally. Et je tiens à remercier Tibye pour tous les bons conseils qu"il a su me distiller tout au long de cette aventure (professionnelle et humaine). Pour nos discussions

diverses, j"adresse un remerciement spécial à Virginie Boutueil ainsi qu"à Rémi Sainct, que

je n"ai pas su classer entre Ecole des Ponts et IFSTTAR. Pour leurs aides diverses (mais ô combien appréciées), je tiens à remercier Cathe- rine Baccaert, Nathalie Quelleu et Isabelle Simunic du secrétariat du CERMICS, Joëlle Guillot et Annie Thuilot du secrétariat du GRETTIA, Méranh Karounnaet Nathalie Galéa du secrétariat général de l"IFSTTAR, Sylvie Cach du secrétariat de l"Ecole Doctorale MSTIC et également Mustapha Tendjaoui (sans qui rien ne fonctionnerait au GRETTIA). Pour les discussions scientifiques et éclectiques, je remercie Xavier Louis. Pour m"avoir permis d"intervenir dans leur groupe de travail à l"Université Paris-Est Marne-la-Vallée, merci à Michel Roussignol, Sylvain Lassarre et Antoine Tordeux. Je suis reconnaissant à Si- mon Cohen et l"ensemble du juryabertisqui m"on attribué le prix de recherche pour mon mémoire de master, formidable catalyseur pour ce travail dethèse. Durant cette thèse, j"ai pris l"initiative de contacter énormément de personnes afin d"obtenir des réponses directes à certaines de mes questions. J"ai toujours eu des retours

de leur part, ce qui a bien souvent donné lieu à des échanges passionants. J"en remercie très

vivement : Ke Han (Penn. SU puis Imperial College London) dont le travail et la réussite ont été de véritables inspirations pour moi, Jia Li (UC Davis), Maurizio Falcone (Univ. Roma), Smita Sahu (Univ. Roma), Lawrence Evans (UC Berkeley), Alexandre Bayen (UC Berkeley), Christian Claudel (KAUST), Aude Hofleitner (UC Berkeley puis Face- book), Sébastien Blandin (IBM), Meng Wang (TU Delft), PaolaGoatin (Inria), Nico- las Seguin (UPMC), Martin Treiber (TU Dresden), Alberto Bressan (Penn State Univ.), Italo Capuzzo-Dolcetta (Univ. Roma) et Fabio Ancona (Univ.Padova). Merci également à mes collègues ITPE du LICIT, Julien Monteil, Florian Marczak et Pierre-Antoine La-

harotte, pour les éclairages sur leurs sujets de thèse, ainsi qu"à Céline Parzani (LICIT) et

Boris Ly (ex-SETRA) pour l"intérêt porté à mes travaux. Je porte une attention toute particulière à remercier Jean-Pierre Aubin, qui m"a grand

ouvert les portes de son univers pour m"instruire à la théorie de laviabilité. Il a été d"une

grande bonté à mon égard ainsi qu"à l"adresse de mes enfants.Je lui suis redevable du "second souffle" de mon travail de thèse et des opportunités depost-doctorat qui m"ont été offertes. Jean-Pierre a su m"introduire auprès de personnes chaleureuses et de grande qualité comme Alexandre Bayen, Christian Claudel, Luxi Chen, Marie-Hélène Durand, Sophie Martin ou encore Anna Désilles avec qui j"espère avoir le plaisir de travailler. xii

REMERCIEMENTS

J"espère pouvoir "rembourser les générations futures" comme lui cherchait à rembour- ser l"encadrement que lui avait prodigué Jacques-Louis Lions. Je remercie également son épouse Hélène Frankowska qui m"a fort gentimment proposé unfinancement afin de pou- voir concilier mes aspirations professionnelles et ma situation familiale. Je remercie également l"ensemble des membres de l"ANR "HJnet" qui ont été d"une grande bienveillance envers moi : Olivier Ley, Guy Barles, Ariela Briani, Yves Achdou, Pierre Cardialaguet, Hasnaa Zidani mais aussi les deux proches collaborateurs de Régis,

à savoir Cyril Imbert et Nicolas Forcadel.

Enfin, mes derniers mots et mes plus tendres pensées vont à ma famille et à mes

proches, à mon frère Benoît pour sa relecture attentive et tout particulièrement à mon

épouse Virginie et à nos deux enfants, Jules et Maxime. Mercipour votre soutien constant, vos encouragements et l"affection indéfectible que vous me prodiguez. Merci infiniment de tout abandonner pour me suivre dans la suite de cette aventure de recherche. xiii

REMERCIEMENTS

xiv

Sommaire

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ix Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi

Sommairexv

Glossairexix

Introduction générale1

1 Motivations issues de l"ingénierie du trafic . . . . . . . . . . . .. . . . . . .1

2 Aperçu des équations d"Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .6

3 Positionnement et contributions de la thèse . . . . . . . . . . . .. . . . . .12

4 Organisation de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

5 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

I Du microscopique au macroscopique sur une section homogène25

1 Homogenization of microscopic traffic flow models27

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

2 Micro-to-Macro approaches : a review . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .31

3 Viscosity solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

4 First order model with no delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..39

5 Delayed first order model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

2 Multi-anticipative car-following behaviour : macroscopic modeling61

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

2 Multi-anticipative traffic modelling : an introduction . . .. . . . . . . . . .63

3 Macroscopic model for multi-anticipative traffic. . . . . . . .. . . . . . . .64

4 Numerical approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

5 Conclusion and future directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .70

II Modélisation du trafic routier sur jonction71

3 A convergent scheme for Hamilton-Jacobi equations on a junction : ap-

plication to traffic 73

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

2 Gradient estimates for the scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .80

3 Convergence result for the scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .88

4 Application to traffic flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

xv

SOMMAIRE

5 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

4 Discussion about traffic junction modelling : conservationlaws VS Hamilton-

Jacobi equations

109

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

2 Conservation laws framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..110

3 Hamilton-Jacobi framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..115

4 Application to traffic flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

5 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

6 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

5 Numerical homogenization of Hamilton-Jacobi equations on networks137

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

2 Application to traffic flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

3 Setting of the simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..147

4 Fixed assignment coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..149

5 Optimized assignment coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .158

6 Traffic signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

7 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

III Formules de représentation et modèles GSOM de trafic175

6 A variational formulation for higher order macroscopic traffic flow mo-

dels : numerical investigation 177

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

2 GSOM traffic flow models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

3 Variational principles in traffic flow modeling . . . . . . . . . . .. . . . . .181

4 A "grid free" scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

5 Numerical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197

6 Discussion and conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..204

7 GSOM macroscopic traffic flow models on junction : Lagrangianpers-

pective 207

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208

2 GSOM family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

3 Critical review of the literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .212

4 A new computational method for GSOM models on junctions . . .. . . . .219

5 Discussions and future research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .228

Conclusion et perspectives229

A Etat de l"art des modèles et méthodes en trafic sur section homogène233

1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

2 La multiplicité des outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .235

3 Modèles et simulation de type planification . . . . . . . . . . . . .. . . . .237

4 Modèles d"écoulement du trafic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..240

5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

Bibliographie255

xviSOMMAIRE

SOMMAIRE

Table des figures265

Liste des tableaux269

Liste des algorithmes270

Index273

SOMMAIRExvii

SOMMAIRE

xviiiSOMMAIRE

Glossaire

ARZ Aw-Rascle-Zhang (modèle de)

BAU Bande d"Arrêt d"Urgence

CFL Courant-Friedrichs-Lewy (condition)

DF Diagramme Fondamental

DNL Dynamic Network Loading

DTA Dynamic Traffic Assignment

EDO Equation aux Dérivées Ordinaires

EDP Equation aux Dérivées Partielles

ENO Essentially Non Oscillatory (scheme)

FD Fundamental Diagram

GDV Gestion Dynamique des Voies

GSOM Generic Second Order Models

HJ Hamilton-Jacobi (équation de)

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