[PDF] [PDF] Optimisation Examen du mercredi 5 mai 2021 Corrigé

2.Propriétésdel'ensembleU:2.a)Uestl'intersectiond'undisqueavecundemi-plan.(2,-3)(-3,2)Pourlespointsd'intersectiononrésoutlesystème#x21+x22=13x1+x2=-1Parsubstituion,x2=-1-x1etx21+(-1-x1)2=13soitx21+x1-6=0.Lesracinesdecetrinômesontx1=2etx1=-3.Finalementlesdeuxpointsd'intersectionsont(2,-3)et(-3,2).2.b)Uestconvexeentantqu'intersectiondedeuxconvexes(undisqueetundemi-plan).Uestcompactcarc'estl'intersectionnonvided'uncompact(disque)etd'unfermé(demi-plan).2.c)Onposeg1(x1,x2)=x21+x22-13etg2(x1,x2)=-x1-x2-1.AlorsU={x=(x1,x2)∈R2,g1(x1,x2)!0etg2(x1,x2)!0}.g1etg2sontC1surR2.Onapourtoutx∈R2,∇g1(x1,x2)=!2x12x2"et∇g2(x1,x2)=!-1-1".MontronstouslespointsdeUvérifientQCKT.Soitx∈U.Discutonsselonlenombredecontraintesactives: - Siaucunecontrainten'estactive(g1(x1,x2)<0etg2(x1,x2)<0)iln'yarienàvérifier. - Sig1(x1,x2)=0etg2(x1,x2)<0,alorsl'uniquevecteur∇g1(x1,x2)=!2x12x2"formebienunefamillelibrecarx∕=0surleborddudisque. - Sig1(x1,x2)<0etg2(x1,x2)=0alors∇g2(x1,x2)=!-1-1"formeunefamillelibrecarilestnonnul.2

- Sig1(x1,x2)=0etg2(x1,x2)=0alorsd'aprèslaquestion2.a)onestsoitsur(2,-3)soitsur(-3,2)etalors{∇g1(x1,x2),∇g2(x1,x2)}=#!4-6",!-1-1"$ou#!-64",!-1-1"$quisontdesfamilleslibresdevecteurs.DanstouslescasxvérifieQCKT.3.Onminimiseunefonctioncontinuesuruncompact,ilyaaumoinsunesolution.4.CommefestconvexedeclasseC1,g1etg2sontconvexesdeclasseC1,onalethéorèmeKKTcasconvexequiassurequexestsolutionsietseulementlesconditionsKKTsontvérifiées,àsavoirilexisteµ1,µ2"0telsque∇f(x)+µ1∇g1(x)+µ2∇g2(x)=0etµ1g1(x)=µ2g2(x)=0.Onobtienticilesystème!2x11"+µ1!2x12x2"+µ2!-1-1"=!00"etµ1(x21+x22-13)=µ2(-x1-x2-1)=0.5.Déterminonstouteslessolutionsde(P)àl'aidedesconditionsKKT.Onrésoutlesystèmeci-dessusenétudiantlenombredecontraintesactives. - Siaucunecontrainten'estactive,oncherchealorsunpointcritiquedef,iln'yapasdesolution. - Sig1(x1,x2)=0etg2(x1,x2)<0,alorsµ1"0quelconqueetµ2=0et%&'2x1+2µ1x1=01+2µ1x2=0x21+x22=13⇔%&'x1=02µ1x2=-1x2=±√13Commeµ1"0onendéduitx2<0.Maisalorslepoint(0,-√13)esttelqueg2(x1,x2)=√13-1>0donciln'appartientpasàU. - Sig1(x1,x2)<0etg2(x1,x2)=0alorsµ2"0quelconqueetµ1=0et%&'2x1-µ2=01-µ2=0x1+x2=-1⇔%&'x1=12µ2=1x2=-32Ontrouvedoncunesolutionquiest(12,-32).Onvérifieque(12,-32)∈U:g1!12,-32"=52-√13<0. - Sig1(x1,x2)=0etg2(x1,x2)=0alorsd'aprèslaquestion2.a)onestsoitsur(2,-3)soitsur(-3,2).Onpeutrésoudrelesystèmedanschaquecaspourvoirqu'ilyadesproblèmesdesignesurµ1etµ2.Onpeutaussisecontenterd'évaluerfsurcesdeuxpointsetcompareraveclavaleurpour(12,-32).Onaf(12,-32)=14-32=-54.3