[PDF] Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes

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Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques 2016 - 2017

Exercices corrig´es

Fonctions de deux variables

Fonctions convexes et extrema libres

Exercice 1.62

Soit la fonctionfd´efinie par

f(x,y) =xαyβ

o`uαetβsont des r´eels non nuls. SoitC={(x,y)?R2,x >0,y >0}.On admet queCest ouvert.´Etudier la convexit´e

(ou la concavit´e) defsurCen discutant selon les valeurs deαetβ.

Corrig´e

Commen¸cons par remarquer que pour tout (x,y)? C, on a ln(f(x,y)) =αln(x)+βln(y). Ainsi, siα <0,β <0, ln◦fest

convexe (par les propri´et´es d"extension et d"addition), doncfest convexe. Calculons les d´eriv´ees partielles def. On a, pour tout (x,y)? C,∂f∂x (x,y) =αxα-1yβ,∂f∂y (x,y) =βxαyβ-1, puis ∂2f∂x

2(x,y) =α(α-1)xα-2yβ,∂2f∂x∂y

(x,y) =αβxα-1yβ-1,∂2∂y

2(x,y) =β(β-1)xαyβ-2. Le d´eterminant de la matrice

hessienne en (x,y) vaut doncrt-s2=αβ(α-1)(β-1)x2α-2y2β-2-(αβ)2x2α-2y2β-2=αβ(1-α-β)x2α-2y2β-2.

Celui-ci est du signe deαβ(1-α-β). Ainsi : •Siα <0,β >0 etα+β >1, on art-s2<0 etr≥0, doncfn"est ni convexe ni concave. •On peut faire la mˆeme analyse dans le cas sym´etriqueα >0,β <0. On r´esume tous ces r´esultats dans le tableau ci-dessous.αβα+βfest<0<0-convexe <0>0>1ni convexe ni concave >0<0>1ni convexe ni concave >0>0>1ni convexe ni concave

Exercice 2.42

On consid`ere la fonction r´eelle de deux variablesfd´efinie parf(x,y) =x2y-2x2.

D ´etermineret repr ´esenterson e nsemblede d ´efinitionDf. On admet que cet ensemble est ouvert. Est-il convexe ?

On admet quefest de classeC1sur son domaine de d´efinition. Repr ´esentersur le m ˆemedessin que la qu estion1 les courb esde niv eauC1,C-1/2etC0.

Calculer le gradien tde fen tout point deDf.

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´Ecrire le d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 defau point (1,1). En d´eduire une valeur approch´ee defau point

(0.9,1.1).

Corrig´e

Le domaine d ed ´efinitionde festDf={(x,y)?R2,y?= 2x2}. Cet ensemble n"est pas convexe : il contient les

points (1,0) et (-1,0) mais pas leur milieu (0,0).

Soit ( x,y)? Df.

On a (x,y)?C1?f(x,y) = 1?x2=y-2x2?y= 3x2.C1est donc la courbe d"´equationy= 3x2priv´ee du point (0,0).

On a (x,y)?C-1/2?x2y-2x2=-12

?y= 0.C-1/2est donc l"axe des abscisses priv´e du point (0,0). On a (x,y)?C0?x2= 0?x= 0.C0est donc l"axe des ordonn´ees priv´e du point (0,0).xyy= 2x2C -1/2C

0•D

f3.On a, p ourtout ( x,y)? Df,∂f∂x (x,y) =2x(y-2x2)-x2×(-4x)(y-2x2)2=2xy(y-2x2)2et∂f∂y (x,y) =-x2(y-2x2)2, d"o`u le gradient :?f(x,y) =?2xy(y-2x2)2,-x2(y-2x2)2? On a f(1,1) =-1 et?f(1,1) = (2,-1). D"o`u le d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 defen (1,1) : f(x,y) =-1 + 2(x-1)-(y-1) +?(x-1)2+ (y-1)2ε(x-1,y-1) avecε(x-1,y-1)-→(x,y)→(1,1)0.

En n´egligeant le terme de reste, on obtient l"approximationf(0.9,1.1)? -1 + 2(0.9-1)-(1.1-1) =-1.3.

Exercice 2.50

On consid`ere la fonction r´eelle de deux variablesfd´efinie par f: (x,y)?→x2+y2x+y.

D ´etermineret repr ´esenterson e nsemblede d ´efinitionDf. On admet qu"il est ouvert. Est-il convexe ? Justifier votre

r´eponse.

D ´etermineret repr ´esenter(sur le m ˆemegrap hiqueque p ourla question pr ´ec´edente)la courb ede niv eauCkpour

k=-2 etk= 1. On admet qu efestC2surDf. Calculer ses d´eriv´ees partielles d"ordre 1 et 2.

En d ´eduireune v aleurappro ch´eede fau point (0.9,1.2) et d´eterminer l"´equation de la tangente `a la courbe de

niveauC1au point (1,1). Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques 2016 - 2017

T rouverles extrema d efsurDf.

T rouverles extrema d efsur le cercle de centre (-1,-1) et de rayon⎷2. ´Etudier la convexit´e ou la concavit´e defsur les ensemblesE1etE2d´efinis par

1={(x,y)?R2,x+y >0}etE2={(x,y)?R2,x+y <0}.

Corrig´e

On a Df={(x,y)?R2,x+y?= 0}. C"est le plan priv´e de la droite d"´equationx+y= 0. Il n"est pas convexe : il

contient les points (1,0) et (-1,0) mais pas leur milieu (0,0). Soit ( x,y)? Df. On a (x,y)?C-2?x2+y2+ 2(x+y) = 0?(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 2. La courbe de niveau-2 est donc l"intersection du cercle de centre (-1,-1), de rayon⎷2, avecDf.

On a aussi (x,y)?C1?x2+y2-x-y= 0?(x-12

)2+(y-12 )2=12 . La courbe de niveau 1 est donc l"intersection du cercle de centre ( ,12 ) et de rayon1⎷2 avecDf.xy -2x+y= 0•

Soit ( x,y)? Df. On a∂f∂x

(x,y) =2x(x+y)-(x2+y2)(x+y)2=x2+ 2xy-y2(x+y)2et par sym´etrie,∂f∂y (x,y) =y2+ 2xy-x2(x+y)2. Puis ∂2f∂x

2(x,y) =2(x+y)(x+y)2-2(x+y)(x2+ 2xy-y2)(x+y)4=2((x+y)2-x2-2xy+y2)(x+y)3=4y2(x+y)3. Par

sym´etrie, ∂2∂y

2(x,y) =4x2(x+y)3. Enfin,∂2f∂x∂y

(x,y) =2(x-y)(x+y)2-2(x+y)(x2+ 2xy-y)2(x+y)4=4xy(x+y)3. L"appro ximationaffine de fau pointM= (1,1) est alors donn´ee par fM(x,y) =f(1,1) +∂f∂x (M)(x-1) +∂f∂y (M)(y-1) = 1 +12 (x-1) +12 (y-1).

On en d´eduitf(0.9,1.2)??fM(0.9,1.2) = 1 +12

(0.9-1) +12 (1.2-1) = 1.05. L"´equation de la tangente `aC1en (1,1) est donn´ee par ∂f∂x (M)(x-1) +∂f∂y (M)(y-1) = 0?x+y-2 = 0.

5.Df´etant ouvert, cherchons les points critiques defsurDf. On a?f(x,y) = 0?(x2+2xy-y2,y2+2xy-x2) = (0,0).

En additionnant les deux relations, on obtient 4xy= 0 doncx= 0 ouy= 0. Mais alors, commex2+ 2xy-y2= 0,

on a en faitx=y= 0. C"est impossible car (0,0) n"appartient pas `aDf.fn"a donc pas d"extremum local surDf.

On a vu que le cercle de cen tre( -1,-1) et de rayon⎷2 (priv´e du point (0,0)) est exactement la courbe de niveau

-2 def.fest donc constante sur ce cercle, tous les points sont donc des minima et maxima globaux defsous la

contrainte. Calculons le d ´eterminantde la matrice hessienne en un p oint( x,y) deDf. On a rt-s2=4y2(x+y)3×4x2(x+y)3-?4xy(x+y)3? = 0. On ´etudie alors le signe der. Celui-ci est du signe dex+y, donc positif surE1et n´egatif surE2.fest donc convexe surE1et concave surE2. Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques 2016 - 2017

Exercice 2.51

Une firme (en situation de monopole) produit un unique bien qui peut ˆetre vendu `a deux clientsaetb. Si la firme produit

la quantit´eQad"unit´es de bien pour le clienta, alors celui-ci est dispos´e `a payer le prix unitaire de 50-5Qa. Si la firme

produit la quantit´eQbd"unit´es de bien pour le clientb, alors celui-ci est dispos´e `a payer le prix unitaire de 100-10Qb.

Le coˆut pour la firme de produireQunit´es de bien est 90 + 20Q. Que repr ´esentela fonction Π d ´efiniesur R+×R+par l"expression ci-dessous ? Π(Qa,Qb) =Qa(50-5Qa) +Qb(100-10Qb)-(90 + 20(Qa+Qb))

Si la firme v eutmaximiser son profit, quelle quan tit´ed ebien doit-elle pro duireet v endre` ac haqueclien t? Calculer

alors le profit maximal.

Corrig´e

La fonction Π donne le profit de l"en trepriseen fonction des quan tit´espro duitese tv endues` ac haqueclien t.

On p eutr ´e´ecrireΠ( Qa,Qb) =-5Q2a-10Q2b+ 30Qa+ 80Qb-90. On voit ainsi que Π est une fonction concave (en

appliquant par exemple le crit`ere sur les fonctions quadratiques, ou comme somme de deux fonctions concaves (par

le lemme d"extension) et d"une fonction affine qui est donc aussi concave). Tout point critique de Π sera donc un

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