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Petite introduction à Matlab-Simulink et Simpower Ou comment s'amuser chez soi quand on n'a pas de salle de TP à sa disposition ?! Modélisation d'une machine à courant continu à excitation indépendante

Equations de la machine :

Le schéma électrique d'une machine à excitation indépendante est le suivant : U e U a Figure 1 - Schéma de principe d'une machine à courant continu à excitation indépendante Le schéma ci-dessus donne (on se rapportera à un cours d'électrotechnique pour les

détails de l'équivalence de l'induit, l'objet de cette partie n'est pas de se substituer à un

cours complet) : induit inducteur I e I a R a L e R e U e e e L a U a Figure 2 - Modèle électrique de la machine à courant continu à excitation indépendante

E=k.N.

e L'indice "e" correspond à "excitation", l'indice "a" à "alimentation".

équation de l'inducteur :

dt dI LIRU e eeee .. (1)

équation de l'induit :

e a aaa a aaaa k dt dI LIRE dt dI

LIRU...... (2)

avec vitesse de rotation en radians/seconde.

équation du flux :

1. on réalise une simulation simple où le flux est toujours une fonction linéaire du

courant d'excitation et donc où on néglige les effets de la saturation : eeae

IM. (3)

2. en tenant compte de la saturation, la relation est plus complexe et elle n'est pas

forcément une relation mathématique simple, néanmoins, on peut la tabuler si l'on a relevé les points de la courbe = f(I e ); le logiciel Matlab permet ainsi d'introduire une telle fonction.

équation du couple :

On l'obtient à partir de la puissance électromagnétique ..... eaae

CkIEIP

ce qui donne (4) .. ae IkC

équation mécanique :

En assimilant le couple moteur au couple électromagnétique (vrai à une constante près : couple de frottement), il vient : .F dt d JCC re (5)

Où C

r est le couple résistant imposé par la charge, J le moment d'inertie total (machine + charge entraînée) et F le frottement proportionnel à la vitesse de rotation.

Résolution des équations :

Nous allons résoudre ces équations au moyen du logiciel "Simulink" 1 . Il s'agit d'une extension du logiciel de calcul numérique "Matlab" qui permet de faire du calcul à la manière de ce qui se pratiquait dans les années 1960/1975 lorsque les ordinateurs

étaient peu répandus et que les calculs étaient réalisés sur des calculateurs analogiques

à base d'amplificateur analogique. Cette manière de faire a le mérite, c'est un avis personnel, d'être semblable à celle de l'automaticien qui enchaîne des schémas-blocs les uns aux autres. Afin de résoudre l'équation (1), par exemple, il est nécessaire de la réorganiser de manière à disposer à gauche du signe égal la dérivée : eee e e IRU Ldt dI 1 1

Le logiciel "Scicos" partie de "Scilab" logiciel libre (et donc gratuit) pourrait aussi être utilisé.

Cependant, pour des raisons pratiques de gain de temps, je me suis cantonné à "Simulink". La résolution proprement dite fait appel à un sommateur, deux blocs multiplicateurs (gain) et à un bloc intégrateur, comme indiqué sur le schéma ci-dessous : 1/L e R e 1/p dt dI e I e U e I e Figure 3 - Schéma-bloc de la résolution de l'équation différentielle n°1 Ce schéma est directement implèmentable dans "Simulink". On obtient le schéma suivant : Figure 4 - Schéma-bloc simulant une machine à courant continu à excitation indépendante En orange, on reconnaît l'équation (1) correspondant à l'excitation, en jaune une courbe = f(I e ) tabulée, en vert l'équation (2) correspondant à l'induit, en bleu l'équation mécanique (4) et (5). Ainsi connectées, les équations simulent une machine à courant continu à excitation indépendante. Modélisation d'une machine à courant continu à excitation séri e La simulation d'une machine à courant continu à excitation série n'est guère plus compliquée. Le schéma de principe figure ci-dessous : R e L e U e R a U a R e L e I a e L a

E=k.N.

e Figure 5 - Modèle électrique d'une machine à courant continu à excitation série

équation de l'induit :

e a eaaea a eaaeaa k dt dI

LLIRRE

dt dI

LLIRRU...... (6)

avec vitesse de rotation en radians/seconde.

équation du flux :

Ce sont les mêmes équations qu'en (3)

1. on réalise une simulation simple où le flux est toujours une fonction linéaire du

courant d'excitation et donc où on néglige les effets de la saturation : eeae

IM. (7)

2. en tenant compte de la saturation, la relation est plus complexe et elle n'est pas

forcément une relation mathématique simple, néanmoins, on peut la tabuler si l'on a relevé les points de la courbe = f(I e ); le logiciel Matlab permet ainsi d'introduire une telle fonction.

équation du couple :

On l'obtient à partir de la puissance électromagnétique ..... eaae

CkIEIP

ce qui donne (8) .. ae IkC

équation mécanique :

En assimilant le couple moteur au couple électromagnétique (vrai à une constante près : couple de frottement), il vient : .F dt d JCC re (9)

Où C

r est le couple résistant imposé par la charge, J le moment d'inertie total (machine + charge entraînée) et F le frottement proportionnel à la vitesse de rotation. Par un raisonnement semblable à celui employé pour la résolution des équations de la machine à excitation indépendante, on réalise le schéma suivant dans "Simulink" : Figure 6 - Schéma bloc simulant une machine à courant continu à excitation série Simulation du fonctionnement de la machine à courant continu Nous allons simuler le fonctionnement de machines à excitation série telle qu'on les trouve dans le petit outillage portatif (perceuse, meuleuse, ...) et celui de machines à

excitation dérivée. Les paramètres de ces machines ont été relevés sur différents sites

de constructeur, 2 ils sont donnés ci-dessous : machines à excitation série : puissance nominale 750 W, d.d.p. nominale d'induit : 220 V courant nominal d'induit 4 A vitesse nominale 3000 tr/min résistance de l'induit R a = 0,5 inductance de l'induit L a = 10 mH résistance de l'inducteur R e = 0,1 inductance de l'inducteur L e = 25 mH fréquence nominale 50 Hz inertie du rotor J = 0,02 kgm 2 machines à excitation indépendante : puissance nominale 3,5 kW d.d.p. nominale d'induit : 240 V courant nominal d'induit 16 A vitesse nominale 1750 tr/min résistance de l'induit R a = 0,25 inductance de l'induit L a = 20 mH résistance de l'inducteur R e = 240 inductance de l'inducteur L e = 10 H 2

Les cours d'électrotechnique, contrairement à ce que l'on pourrait croire, ne donnent pas de valeurs

courantes de R a , R e , L a , L e . Il est nécessaire de recourir à Internet pour de tels renseignements : par exemple : http://www.usmotors.com . Pour caler le modèle, il faut ajuster le gain comportant le terme 0 0 E en fonction des données fournies par le constructeur. Le triangle rouge dans le schéma ci-dessous est ce gain à ajuster : 0 0 E Machine à courant continu à excitation série

Comparaison modèle linéaire = L

ae I a versus modèle non linéaire = f(I a

Modèle linéaire :

Le symbole : n'est plus présent sur le schéma ci-dessous. Le couple résistant de valeur 10 N.m est appliqué à l'instant t = 0,6 s. La machine démarre donc à vide. L'évolution de la vitesse de rotation en fonction du temps se trouve à la Figure 7 - Démarrage et application d'un couple résistant à t=0,4 s, MCC excitation série, modèle linéaire =LxI Les simulations suivantes peuvent être réalisées en lançant le logiciel Matlab, puis en ouvrant le fichier mcc_serie située dans le répertoire mcc du CD. Ensuite dans le "workspace" de Matlab, taper les instructions suivantes, ou mieux effectuer un "copier coller" : plot(y(:,5),y(:,4)) pour visualiser la vitesse en fonction du temps, plot(y(:,5),y(:,3)) pour visualiser le couple en fonction du temps plot(y(:,5),y(:,2)) pour visualiser le courant d'induit en fonction du temps plot(y(:,5),y(:,1)) pour visualiser la f.é.m. E en fonction du temps Il est également possible de remplacer le tracé de ces courbes par une visualisation directe sur "oscilloscope" ouvrir le fichier : mcc/mcc_serie_lin_plot (régler correctement la tension fournie par le générateur de fonction : continue ou alternatif, d.d.p., etc) et fichier : mcc/mcc_serie_non_lin_plot

00.511.522.5

0 200
400
600
800
1000
1200
temps w Figure 7 - Démarrage et application d'un couple résistant à t=0,4 s, MCC excitation série, modèle linéaire =LxI

00.511.522.5

0 100
200
300
400
500
600
temps w Figure 8 - Démarrage et application d'un couple résistant à t=0,4 s, MCC excitation série, modèle non-linéaire =f(I) Comme on peut le voir en comparant les figures 7 et 8, la différence de comportement est très faible dans cet exemple de fonctionnement. Il pourrait évidemment en être autrement lors d'un fonctionnement sous tension supérieur ou si le couple résistant appelait un courant plus important. Figure 9 - Modèle de MCC série tenant compte de la non-linéarité de la relation =f(I) Démarrage de la MCC à excitation série soumise à divers couplesquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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