Introduction à la modélisation mathématique et à lanalyse
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La modélisation c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathématiques dans une science basée sur l'expérience ou l'observation
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de l'analyse mathématique sont particuli`erement bien adaptés `a l'étude des fonctions Le graphe de f comporte donc une asymptote verticale en x = ?1
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démarche de modélisation : étude théorique des équation différentielles ordinaires et https://www math u-psud fr/~maury/paps/OG pdf
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Nous abordons aussi les modèles d'in- teraction entre plusieurs populations dans le cadre d'un réseau trophique ainsi que les modèles de populations structurées
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tions ?k(N(tk)) de cette taille entre les instants tk et tk+1 : Les premiers modèles mathématiques en écologie remontent aux années
Qu'est-ce que la modélisation mathématique ?
Le procédé par lequel nous utilisons des expressions mathématiques pour décrire une situation quantitative réelle s'appelle la modélisation. Modéliser consiste à écrire en notation mathématique ce qui est exprimé d'abord en mots en faisant intervenir des variables au besoin.Comment faire la modélisation mathématique ?
MÉTHODOLOGIE
1Choisir l'inconnue (en général le nombre correspondant à ce qui est demandé) et la nommer.2Mettre le problème en équation (traduire le texte par des écritures mathématiques).3Résoudre l'équation obtenue.4Vérifier la solution trouvée.5Conclure en répondant à la question posée.Quels sont les modèles mathématiques ?
Pour les modèles mathématiques, une autre distinction doit être introduite entre les modèles théoriques, empiriques et semi-empiriques. Pour les premiers ( les modèles théoriques ), les relations mathématiques décrivant le comportement du modèle sont directement dérivées d'une théorie physique du phénomène modélisé.- Simulation Trouver un algorithme pour calculer une solution dans le cas général. Application directe en gestion des stocks. La modélisation mathématique est l'art (ou la science) de représenter (ou de transformer) une réalité physique en des mod`eles abstraits accessibles `a l'analyse et au calcul.
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Introduction
Le modele malthusien
Le modele logistique
Un modele avec predateur
Un modele proie-predateurQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Francois Ducrot
http://math.univ-angers.fr/ducrot/CSG/Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
Le modele malthusien
Le modele logistique
Un modele avec predateur
Un modele proie-predateurIntroduction
La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
Le modele malthusien
Le modele logistique
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Un modele proie-predateurIntroduction
La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Physique :On observe que le son emis par la corde d'un instrument de musique varie en fonction de la longueur. On va traduire la physique de la corde en equations gr^ace aux equations de la mecanique, et en deduire les lois gouvernant la vibration d'une corde. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Chimie :On peut decrire le comportement des electrons dans un atome, et comment cela gouverne la facon dont les atomes se regroupent en molecules. Les equations mises en jeu proviennent des lois de la physique quantique. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques :Chimie :De facon plus macroscopique, on peut
s'interesser aux lois qui determinent la vitesse de reaction dans une reaction chimique. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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Un modele proie-predateurIntroduction
La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Economie :En fonction des prix des dierentes marchan- dises et du revenu du consommateur, celui-ci eectue un arbitrage entre ses depenses. Peut-on prevoir son compor- tement? Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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Un modele proie-predateurIntroduction
La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Ecologie animale :Comment evoluent les eectifs de po- pulations animales sous dierentes hypotheses :sans contraintes liees au milieu avec des contraintes d'approvisionnement en nourritureen presence de predateurs avec interaction entre proies et predateurs Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
Le modele malthusien
Le modele logistique
Un modele avec predateur
Un modele proie-predateurLa demarche de modelisationOn peut distinguer plusieurs etapes :
Le scientique fait des
hyp otheses sur les ph enomenes etudies Les hypotheses sont traduites mathematiquement en un modeleOn etudie le modele mathematique; on en tire des consequences qualitatives ou quantitatives et on fait des previsions .Oncompa reles p revisionsaux r ealitese xperimentalesOn revient eventuellement sur les hypotheses pour
mo dierle modele , et le cycle continue... Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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Un modele proie-predateurLa demarche de modelisationOn peut distinguer plusieurs etapes :
Le scientique fait des
hyp otheses sur les ph enomenes etudies Les hypotheses sont traduites mathematiquement en un modeleOn etudie le modele mathematique; on en tire des consequences qualitatives ou quantitatives et on fait des previsions .Oncompa reles p revisionsaux r ealitese xperimentalesOn revient eventuellement sur les hypotheses pour
mo dierle modele , et le cycle continue... Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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Un modele proie-predateurLa demarche de modelisationOn peut distinguer plusieurs etapes :
Le scientique fait des
hyp otheses sur les ph enomenes etudies Les hypotheses sont traduites mathematiquement en un modeleOn etudie le modele mathematique; on en tire des consequences qualitatives ou quantitatives et on fait des previsions .Oncompa reles p revisionsaux r ealitese xperimentalesOn revient eventuellement sur les hypotheses pour
mo dierle modele , et le cycle continue... Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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Un modele proie-predateurLa demarche de modelisationOn peut distinguer plusieurs etapes :
Le scientique fait des
hyp otheses sur les ph enomenes etudies Les hypotheses sont traduites mathematiquement en un modeleOn etudie le modele mathematique; on en tire des consequences qualitatives ou quantitatives et on fait des previsions .Oncompa reles p revisionsaux r ealitese xperimentalesOn revient eventuellement sur les hypotheses pour
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Le scientique fait des
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Un modele proie-predateurLa demarche de modelisationOn peut distinguer plusieurs etapes :
Le scientique fait des
hyp otheses sur les ph enomenes etudies Les hypotheses sont traduites mathematiquement en un modeleOn etudie le modele mathematique; on en tire des consequences qualitatives ou quantitatives et on fait des previsions .Oncompa reles p revisionsaux r ealitese xperimentalesOn revient eventuellement sur les hypotheses pour
mo dierle modele , et le cycle continue... Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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Un modele proie-predateurLes exemples choisis
J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentalesplut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples
Tous les modeles etudies decrivent un systeme dynamique dependant du tempsOutil mathematique pricipal : les equations dierentielles Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentalesplut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples
Tous les modeles etudies decrivent un systeme dynamique dependant du tempsOutil mathematique pricipal : les equations dierentielles Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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Un modele proie-predateurLes exemples choisis
J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentalesplut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples
Tous les modeles etudies decrivent un systeme dynamique dependant du tempsOutil mathematique pricipal : les equations dierentielles Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentalesplut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples
Tous les modeles etudies decrivent un systeme dynamique dependant du tempsOutil mathematique pricipal : les equations dierentielles Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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Un modele proie-predateurLes exemples choisis
J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentalesplut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples
Tous les modeles etudies decrivent un systeme dynamique dependant du tempsOutil mathematique pricipal : les equations dierentielles Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
Le modele malthusien
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Un modele avec predateur
Un modele proie-predateurLes exemples choisis
J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentalesplut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples
Tous les modeles etudies decrivent un systeme dynamique dependant du tempsOutil mathematique pricipal : les equations dierentielles Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
Le modele malthusien
Le modele logistique
Un modele avec predateur
Un modele proie-predateurProliferation des lapins en Australie En 1859, 24 lapins furent introduits en Australie, par un agriculteur emigre d'Angleterre et nostalgique de son pays d'origine. Quelques annees plus tard ces petites b^etes pullulaient, et devenaient un eau national. Pour tenter de le juguler, on a introduit des predateurs (des renards), une maladie (la myxomatose), et on a construit des milliers de kilometres de clotures. Tout ceci sans succes.On a ici un exemple de croissance exponentielle qui peut se decrire par le modele malthusien. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
Le modele malthusien
Le modele logistique
Un modele avec predateur
Un modele proie-predateurProliferation des lapins en Australie En 1859, 24 lapins furent introduits en Australie, par un agriculteur emigre d'Angleterre et nostalgique de son pays d'origine. Quelques annees plus tard ces petites b^etes pullulaient, et devenaient un eau national. Pour tenter de le juguler, on a introduit des predateurs (des renards), une maladie (la myxomatose), et on a construit des milliers de kilometres de clotures. Tout ceci sans succes.On a ici un exemple de croissance exponentielle qui peut se decrire par le modele malthusien. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
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Un modele proie-predateurL'hypothese malthusienne
Hypothese
Les nombres de naissances et de morts dans une population, pendant une periode de courte duree, sont proportionnelsa la l'eectif de cette population a la duree de cette periodeThomas Malthus, 1766-1834
Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
Le modele malthusien
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Un modele proie-predateurTraduction mathematique de l'hypothese malthusienne Soitu(t) l'eectif de la population a l'instantt. On etudie la variation deuentre les instantstett+ t. u(t+ t)u(t) = nb de naissancesnb de morts et nb de naissances pendant t=au(t)t nb de morts pendant t=bu(t)tFrancois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
Le modele malthusien
Le modele logistique
Un modele avec predateur
Un modele proie-predateurLoi d'evolution malthusienneOn ecrit donc
u(t+ t)u(t) =u(t)tavec=abQuand test assez petit,u(t+t)u(t)t'u0(t), et on peut ecrire laLoi d'evolution (Malthus en temps continu)
u0(t) =u(t)
ouest la dierence entre le taux instantane de natalite et le taux instantane de mortalite. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?Introduction
Le modele malthusien
Le modele logistique
Un modele avec predateur
Un modele proie-predateurLoi d'evolution malthusienneOn ecrit donc
u(t+ t)u(t) =u(t)tavec=abQuand test assez petit,u(t+t)u(t)t'u0(t), et on peut ecrire laLoi d'evolution (Malthus en temps continu)
u0(t) =u(t)
ouest la dierence entre le taux instantane de natalite et le taux instantane de mortalite.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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