[PDF] Suites : Résumé de cours et méthodes 1 Généralités

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Suites : Résumé de cours et méthodes

1Généralités

DÉFINITIONUne suite numérique est une liste de nombres, rangés et numérotés :

à l"entier 0 correspond le nombre notéU0

à l"entier 1 correspond le nombre notéU1

à l"entierncorrespond le nombre notéUn(appelé terme de la suite de rangn).

La suite est notée(Un)Remarque :

Ne pas confondre(Un)qui représente lasuite, etUnqui est lenombrereprésentant le terme de la suite de rangn.

Il y a principalement deux manières de définir une suite :

1-1Suite définie de façon explicite

Dans ce cas, on dispose d"une formule permettant de calculer directementUnen fonction den.

C"est à dire qu"il existe une fonctionfdéfinie sur[0;+¥[telle que, pour tout entiern,Un=f(n).

Exemples :

1)Soit(Un), la suite définie parUn=3n+4.

Le premier terme de la suite est alorsU0=30+4=4 (on remplacenpar 0). U

1=31+4=7 (on remplacenpar 1).

U

10=310+4=34 (on remplacenpar 10).

Pour toutn,Un+1=3(n+1)+4=3n+3+4=3n+7 (on remplacenparn+1).

2)Soit(Un), la suite définie parUn=n2.

On a :U0=02=0 ,U1=12=1,U2=22=4.

Et pour toutn,Un+1= (n+1)2=n2+2n+1 .

Représentation graphique d"une suite définie de façon explicite :Dans un repère orthogonal, on place les points d"abscisse

net d"ordonnéeUn(que l"on ne joint pas entre eux!). Cela revient à ne tracer que les points d"abscisses entières de la courbe

représentative de la fonctionf. Avec la suite de l"exemple 2Un=n2, cela donne la représentation graphique suivante :UUUUU

01234012341-2Suite définie par une relation de récurrence

Dans ce cas là, il n"y a plus de formule permettant de calculer directementUnen fonction den, mais on dispose d"une relation

(dite de récurrence) permettant de calculer le terme de rangn+1 à partir de celui de rangn. Ainsi, en connaissant le premier

termeU0, on peut calculer le terme suivantU1. Puis avecU1, on peut calculer le terme suivantU2, etc...

D"un point de vue mathématique, la suite est définie par :

le terme initialU0et la relation de récurrence :Un+1=f(Un)(oùfest une fonction définie sur un intervalleItel que :U02Iet

pour toutxdeI,f(x)2I).1 reSérie Technologique - Suitesc

P.Brachet -www .xm1math.net1

Exemples :

1)Soit(Un), la suite définie parU0=2 etUn+1=3Un.

On a alors,U1=3U0=32=6 (on remplacenpar 0 dans le relation de récurrence) . U

2=3U1=36=18 (on remplacenpar 1 dans le relation de récurrence) .

U

3=3U2=318=54 (on remplacenpar 2 dans le relation de récurrence) .

2)Soit(Un), la suite définie parU0=1;5 etUn+1=2p4+Un.

On a alors,U1=2p4+U0=2p41;53;16 .

U

2=2p4+U12p4+3;165;35 .

2Sens de variation d"une suite

DÉFINITIONUne suite(Un)est ditecroissantesi pour tout entiern,Un+1>Un.

Une suite(Un)est ditedécroissantesi pour tout entiern,Un+16Un.Méthode pour étudier le sens de variation d"une suite :

Calculer et étudier le signe deUn+1Unpour toutn:

1)si pour toutn,Un+1Un>0 alors la suite(Un)est croissante.

2)si pour toutn,Un+1Un60 alors la suite(Un)est décroissante.

Exemple :Soit(Un), la suite définie parUn=n2.

Pour toutn,Un+1Un= (n+1)2n2=n2+2n+1n2=2n+1>0 (carn>0).

La suite(Un)est donc croissante.

3Suites arithmétiques

DÉFINITIONUne suite est dite arithmétique si l"on passe d"un terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre .

Autrement dit, une suite(Un)estarithmétiques"il existe un réelr(appeléraison) tel que pour tout entiern,Un+1=Un+r.Un+10U1U2U Un+r +r +rExemple :

4, 7, 10, 13 et 16 sont les premiers termes d"une suite arithmétique de raison 3 :74101316+3+3+3+3PROPRIÉTÉ

Si une suite(Un)est telle que pour toutn,Un+1Un=constante alors(Un)est une suite arithmétique de raison égale à la

constante.Exemple :

Soit(Un), la suite définie parUn=4n+5.

Pour toutn,Un+1=4(n+1)+5=4n+9. Donc,Un+1Un=4n+9(4n+5) =4. (Un)est donc une suite arithmétique de raison égale à 4.

Remarques :

De façon générale, si pour toutn,Unpeut s"écrire sous la formeUn=An+Balors(Un)est une suite arithmétique de

raisonA.

Les points de la représentation graphique d"une suite arithmétique se situent sur une même droite de coefficient directeur

égal à la raison.2

c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Technologique - Suites

PROPRIÉTÉ

Si(Un)est une suite arithmétique de raisonralors pour tous entiersnetp:

Un=U0+nr

Un=Up+(np)rExemples :

1)Soit(Un)la suite arithmétique de premier termeU0=2 et de raisonr=3.

U

10=U0+10r=2+103=32 ;U33=U0+33r=2+333=101

Pour toutn,Un=U0+nr=2+3n.

2)Soit(Un)la suite arithmétique telle queU2=7 etU5=19.

Pour trouver la raisonr: on aU5=U2+(52)r, d"où 19=7+3r,r=4 A partir de là, on peut calculerU10en utilisant queU10=U2+(102)r=7+84=39. Exemple classique : placements à intérêts simples

Principe général : pour un taux annuel dex%, on reçoit chaque année le même intérêt égal àx% du capital initial.

Le capital obtenu au bout de lanième année,Un, est le terme d"une suite arithmétique de raison égale àx100

U0.

Application : pour un taux annuel de 5 % avec intérêts simples et un capital initial deU0=1000 euros.

La raison de la suite arithmétique est :r=5100

1000=50.

Le capital au bout de 8 ans sera :U8=U0+8r=1000+850=1400. PROPRIÉTÉSens de variation d"une suite arithmétique de raisonr:

Sir>0, la suite est croissante.

Sir60, la suite est décroissante.4Suites géométriques

DÉFINITIONUne suite est dite géométrique si on passe d"un terme au terme suivant en le multipliant toujours par le même nombre non nul.

Autrement dit, une suite(Un)estgéométriques"il existe un réelq6=0 (appeléraison) tel que pour tout entiern,Un+1=qUn.Un+10U1U2U Unqx xq qxExemple :

3, 6, 12, 24 et 48 sont les premiers termes d"une suite géométrique de raison 2 :2 2 2x x x x236 12 2448PROPRIÉTÉ

Si une suite(Un)(n"ayant aucun terme nul) est telle que pour toutn,Un+1U n=constante alors(Un)est une suite géométrique de raison égale à la constante.Exemple :

Soit(Un), la suite définie parUn=34n.

Pour toutn,Un+1U

n=34n+134n=4. (Un)est donc une suite géométrique de raison égale à 4.

Remarque :

De façon générale, si pour toutn,Unpeut s"écrire sous la formeUn=ABnalors(Un)est une suite géométrique de raisonB.

PROPRIÉTÉ1

reSérie Technologique - Suitesc

P.Brachet -www .xm1math.net3

Si(Un)est une suite géométrique de raisonqalors pour tous entiersnetp:

Un=qnU0

Un=q(np)UpExemples :

1)Soit(Un)la suite géométrique de premier termeU0=5 et de raisonq=2.

U

4=q4U0=245=80 ;U10=q10U0=2105=5120

Pour toutn,Un=qnU0=52n.

2)Soit(Un)la suite géométrique de raison positive telle queU2=7 etU4=63.

Pour trouver la raisonq: on aU4=q42U2, d"où 63=7q2,q2=9.

Donc,q=3 (carq>0)

A partir de là, on peut calculerU6en utilisant queU6=q62U2=347=567. Exemple classique : placements à intérêts composés

Principe général : pour un taux annuel dex% , le capital augmente chaque année dex% (ce qui revient à le multiplier par

1+x100

) . Donc le capital obtenu au bout de lanième année,Un, est en fait le terme d"une suite géométrique de raison

égale à 1+x100

Application : pour un taux annuel de 5 % avec intérêts composés et un capital initial deU0=1000 euros.

La raison de la suite géométrique estq=1+5100 =1;05. Le capital au bout de 8 ans sera :U8=q8U0= (1;05)810001477;45.4 c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Technologique - Suitesquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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