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UMMTO/FSECG
Département des sciences économiques
2ème Année LMD
Module : " B »
Chapirte1 Modélisation) :
1. Introduction
outil simple pour modéliser des problèmes dedécision que soit économique, militaire ou autres on fait de la programmation linéaire un des champs de
recherche les plus actifs au milieu du siècle précédent. Les premiers travaux (1947) sont celle de George
ressources limitées, de la meilleure façon possible, afin de maximiser un profit ou de minimiser un coût.
mathématique. 2.La programmation linéaire comme étant un modèle admet des hypothèses (des conditions) que le
décideur doit valider avant de pouvoir les utiliser pour modéliser son problème. Ces hypothèses sont :
1. Les variables de décision du problème sont positives
2. Le critère de sélection de la meilleure décision est décrit par une fonction linéaire de ces
de ces variables. La fonction qui représente le critère de sélection est dite fonction objectif (ou
fonction économique).3. Les restrictions relatives aux variables de décision (exemple: limitations des ressources) peuvent
contraintes.4. Les paramètres du problème en dehors des variables de décisions ont une valeur connue avec
certitude 3. :Généralement il y a trois étapes à suivre pour pouvoir construire le modèle d'un programme linéaire :
1. Identifier les variables du problème à valeur non connues (variable de décision) et les représenter
sous forme symbolique (exp. x1, y1 ).2. équations
linéaires. 3.variables de décision. Spécifier si le critère de sélection est à maximiser ou à minimiser.
24. Présentation Théorique
Un programm
objectif en satisfaisant certaines équations et inégalités dites contraintes. En langage mathématique, on
décrira de tels modèles de la manière suivante :Soient N variables de décision x1, x2xn,
implique que . 0 , ,0 ,021ttNxxx2 La fonction objective est une forme linéaire en fonction des variables de décision de typeNNxcxcxcz 22211
où les coefficients c1N doivent avoir une valeur bien déterminée (avec certitude) et peuvent être
positifs, négatifs ou nuls. Par exemple le coefficient cj peut représenter un profit unitaire lié à la
xj, ainsi la valeur de z est le profit total lié à la production des différents biens en quantités égales à . , , ,21Nxxx2 M inégalitésMNMNMM
NN NN bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa t t 2 221122222121
11212111
où les coefficients a1MMN et b1M doivent avoir une valeur bien déterminée (avec certitude) et
peuvent être positifs, négatifs ou nuls. Le paramètre bi représente la quantité de matière première
disponible dont le bien xj utilise une quantité égale à aij xj . En suivant les étapes de formulation ci-dessus, on peut représenter le PL comme suit :0 , ,0 ,0
212211
22222121
11212111
2211tt d t d N
NNMNMM
NN NN NN xxx bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxacs xcxcxcMax 25. Exemples de formulations
Limité au départ aux problèmes industriels et militaires, de nos jours plusieurs problèmes de divers
doma résoudre de plus larges problèmes avec autant de variables de décision que de contraintes.La tâche de formulation demande généralement une certaine expertise et connaissance du problème pour
pouvoir relever facilement les différentes composantes du problème et ainsi donner un programme qui
modélise au mieux la situation réelle. Dans ce qui suit, on présentera quelques exemples de formulation
en programme linéaire liés à différents problèmes de décision : 3Exemple n°1 :
Un fabricant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque
yaourt doit respecter les proportions suivantes de matières premières Les matières premières sont en quantité limitée : 800 kilos de Fraises, 700 kilos de Lait et 300 kilos de sucre. La vente des yaourtsA rapportent 4 par kilo et les yaourts B 5
Solution :
1. Identification des variables de décision :
X1 : la quantité de yaourts A à produire ;
X2 : la quantité de yaourts A à produire ;
2. La fonction objective :
Max Z= 4 X1 +5X2
3. Les contraints structurelles :
1ère Contrainte : 2X1 +X2
2ème contrainte : X1+ 2X2
3ème contrainte : X2
4. Les contraintes de positivité :
X1 ; X2 ;
Max Z= 4 X1 +5X2
2X1 +X2
X1+ 2X2
X2X1 ; X2 ;
Exemple n°2 :
Un fleuriste dispose de 50 lys, 80 roses et 80 jonquilles. Il réalise ou beuros comprenant 10 lys, 10 roses et 20 jonquilles, ou bien des bouquets dont il tire un prix de 50 euros
qui comprennent 10 lys, 20 roses et 10 jonquilles. Comment le fleuriste doit il former les bouquets pour
réaliser une recette maximale ?Yaourts A Yaourt B
Fraise 2 1
Lait 1 2
Sucre 0 1
Yaourts A
(X1)Yaourts B
(X2)Disponibilités
de matières premièresFraise 2 1 800 1ère Contrainte
Lait 1 2 700 2ème contrainte
Sucre 0 1 300 3ème contrainte
4Exemple n°3 :
Un agriculteur souhaite mélanger des engrais de façon à obtenir au minimum 15 unités de potasse, 20
unités de nitrates et 30Le type 1 procure 3 unités de potasse, 1 unit
igées au moindre coût.Solution :
5. Identification des variables de décision :
X1 : la quantité de mélange de type 1 à acheter ; X2 : la quantité de mélange de type 2 à acheter;6. La fonction objective :
Min Z= 120 X1 +60X2
7. Les contraints structurelles
1ère Contrainte : 3X1 +X2
2ème contrainte : X1+ 5X2
3ème contrainte : 3X1 +2X2
8. Les contraintes de positivité :
X1 ; X2 ;
Max Z= 120 X1 +60X2
3X1 +X2
X1+ 5X2
Mélange
de type 1 (X1)Mélange
de type2 (X2)Les besoins
potasse 3 1 15 1ère ContrainteNitrates 1 5 20 2ème contrainte
Phosphates 3 2 30 3ème contrainte
53X1 +2X2
X1 ; X2 ;
Exemple n°4 :
Un atelier fabrique des tables et des bureaux.
caisse.Chaque bureau exige
polissage et de 8 h pour la mise en caisse.Exemple n°5 :
Un maraîcher, vendant des citrons et des oranges, veut les grouper par lots de vente. Le premier lot
contient 5 citron jquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] formulation variationnelle des edp exercices corrigés
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