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GSMP et GSMDP Processus de Markov généralisé en cours par Emmanuel Rachelson (LIL INRA) Modélisation et simulation 89 / 113 Page 135 Plan 1
Quelle est la différence entre simulation et modélisation ?
Simulation Trouver un algorithme pour calculer une solution dans le cas général. Application directe en gestion des stocks. La modélisation mathématique est l'art (ou la science) de représenter (ou de transformer) une réalité physique en des mod`eles abstraits accessibles `a l'analyse et au calcul.Quelles sont les principales étapes d'un projet de modélisation et simulation ?
La réalisation d'une simulation par éléments finis suit une démarche dont nous présentons ici les particularités.
11 - Définir l'objectif. 22 - Choisir une théorie et des modèles de comportements. 33 - Choisir un solveur. 44 - Modéliser le produit. 55 - Modéliser l'action de l'environnement sur le produit. 66 - Calculer.Quels sont les types de simulation ?
On distingue deux types de simulations : la simulation numérique, lorsque l'outil de simulation utilise un ordinateur, et la simulation analogique lorsque ce dernier utilise de l'électronique analogique.- La simulation est une technique de pédagogie active favorisant l'apprentissage. Elle permet l'acquisition des connaissances, le renforcement des acquis, la réflexion en groupe, l'amélioration du travail d'équipe et la confiance en soi.
Théorie de la Modélisation et de la Simulation Fondements formels et opérationnels de Record/VLE Raphaël Duboz - Fréderick Garcia - Gauthier Quesnel - Éric Ramat INRA(Institut National de la Recherche Agronomique) LIL(Laboratoire d"Informatique du Littoral)
(LIL, INRA)Modélisation et simulation1 / 113 Plan1Modélisation et Simulation
Définitions
Paradigme et simulateur
Classes de modèles
2Formalismes de modélisation
3P-DEVS
4Multi-formalisme et problématique du couplage
Modélisation multiple
Intégration opérationelle
Intégration formelle
(LIL, INRA)Modélisation et simulation2 / 113 Plan1Modélisation et Simulation
Définitions
Paradigme et simulateur
Classes de modèles
2Formalismes de modélisation
3P-DEVS
4Multi-formalisme et problématique du couplage
Modélisation multiple
Intégration opérationelle
Intégration formelle
(LIL, INRA)Modélisation et simulation3 / 113Théorie M&S
Introduction
Les termes et concepts à développer :SystèmesExpérimentation
Modéles et modélisation
Paradigmes
Simulation
Spécification formelle
(LIL, INRA)Modélisation et simulation4 / 113Théorie M&S
Définitions - SystèmeDéfinition 1
Un système est caractérisé par le fait que l"on sait distinguer ce qui lui appartient de ce qui ne lui appartient pas.Définition 2 Le système est supposé contrôlable et/ou observable. Des variables, générées par l"environnement, agissent sur le comportement du système qui, à son tour, réagit sur cet environnement. (LIL, INRA)Modélisation et simulation5 / 113Théorie M&S
Définitions - SystèmeDéfinition 3
Un système réel est une combinaison de un ou plusieurs éléments structurels inter-reliés tels que les états d"un élément sont influencés par ses propres états et ceux des autres éléments.Définition 4 Mise en avant de l"aspect d"inter-influence des composantes du système réel dont le comportement observé est, en partie, le résultat de ces influences. (LIL, INRA)Modélisation et simulation6 / 113Théorie M&S
Définitions - Schéma d"expérimentationDéfinition 1 Une expérimentation est un processus par lequel on récolte des données sur un système en agissant sur ses entrées [F. Cellier]Définition 2 Un schéma d"expérimentation définit un ensemble limité de circonstances sous lesquelles est conduite l"expérimentation:variables observées, séquencements des entrées, conditions initiales, conditions d"arrêt, collecte et codage des données. (LIL, INRA)Modélisation et simulation7 / 113Théorie M&S
Définitions - ModèleDéfinition 1
Un modèle M d"un système S pour une expérimentation E est toute chose à laquelle on peut appliquer E pour répondre à des questions concernantS [M. Minsky]
(LIL, INRA)Modélisation et simulation8 / 113Théorie M&S
Définitions - ModèleDéfinition 2
Construire une représentation simplifiée et observable du comportement et/ou de la structure d"un système réel afin de résoudre un problème d"analyse ou de conception.Définition 3 modèle prédictif : on cherche à prédire une situation/un état du système;modèle descriptif : on capitalise la connaissance au sein d"un modèle. (LIL, INRA)Modélisation et simulation9 / 113Théorie M&S
Définitions - ModélisationDéfinition 1
La modélisation est un processus par lequel on organise les connaissances portant sur un système donné [B. Zeigler]Définition 2 Modéliser c"est abstraire de la réalité une description d"un système dynamique [P. A. Fishwick] (LIL, INRA)Modélisation et simulation10 / 113Théorie M&S
Définitions - ParadigmeDéfinition
Un paradigme est un ensemble de concepts, de lois et de moyens visant à définir une collection de modèles.Exempleéquations différentielles;
file d"attentes; automates à états finis; automates cellulaires; (LIL, INRA)Modélisation et simulation11 / 113Théorie M&S
Définitions - Système/Modèle/Paradigme/Expérimentation (LIL, INRA)Modélisation et simulation12 / 113Théorie M&S
Introduction
(LIL, INRA)Modélisation et simulation13 / 113Théorie M&S
Définitions - SimulationDéfinition 1
La simulation est la reproduction du comportement dynamique d"un système réel s"appuyant sur un modèleDéfinition 2 La simulation a pour objet d"observer le comportement en fonction du temps d"un modèle d"un système (LIL, INRA)Modélisation et simulation14 / 113Théorie M&S
Définitions - Simulation informatiqueDéfinition 1 Traduction en programmes informatiques (algorithmes) du comportement dynamique des modèles. Exécution en temps fini. (LIL, INRA)Modélisation et simulation15 / 113Théorie M&S
Paradigme et simulateuril y a une distinction claire entre modèle et simulateur; les deux peuvent s"écrire comme des systèmes; il est possible d"établir des relations d"équivalence entre eux. La notion d"erreur introduite par le simulateur n"est pas toujours simple à formuler. sauf dans le cas d"un intégrateur où elle est peut souvent l"être (analyse numérique) (LIL, INRA)Modélisation et simulation16 / 113Théorie M&S
Paradigme et simulateurLa séquences0;s1;:::snest appelée trajectoire d"état;La séquencex0;x1;:::xnest appelée trajectoire d"entrée;La séquencey0;y1;:::ynest appelée trajectoire de sortie;Modèle à temps discret
(LIL, INRA)Modélisation et simulation17 / 113Théorie M&S
Paradigme et simulateurSimulateur
t=t0 s=s0 tant quet<=tffaire y(t) =(s(t);x(t)) s(t+ t) =(s(t);x(t);t) fin tant que (LIL, INRA)Modélisation et simulation18 / 113Théorie M&S
Paradigme et simulateur
(LIL, INRA)Modélisation et simulation19 / 113Théorie M&S
Paradigme et simulateursi possible, l"équation différentielle est résolue de façon analytique :
I impossible dans la grande majorité des modèles; Isinon on intégre l"équation par résolution numérique.Simulateur L"idée sous jacente pour un intégrateur parfait : ds(t)dt =limt!0s(t+ t)s(t)tDonc, pour un intervalle de temps très petit :
s(t+ t)tds(t)t+s(t) s(t+ t)t[f(x(t);s(t))] +s(t)(LIL, INRA)Modélisation et simulation20 / 113Théorie M&S
Définitions - Classes de modèlestemps :
I modèle à temps continu, le temps est spécifié comme évoluant de manière continue, le temps est un nombre réel; Imodèle à temps discret, le temps avance par sauts d"une valeur entière à une autre, le temps est un entier.variable d"états : I modèle à états discrets, les variables prennent leurs valeurs dans un ensemble discret;Imodèle continu, les variables descriptives sont des nombres réels.(LIL, INRA)Modélisation et simulation21 / 113
Théorie M&S
Définitions - Classes de modèles
(LIL, INRA)Modélisation et simulation22 / 113Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
niveau nom que savons nous à ce niveau?0 cadre d"observation quelles variables mesurer et com-
ment les observer sur une base de temps1 relation d"entrée sor-
tiedonnées indexées sur le temps. Pairs d"entrée - sortie2 fonction d"entrée -
sortieconnaissance de l"état initial (un en- trée!une sortie)3 transition d"états comment les entrées affectent les
états et comment les états affectent
les sorties4 composants couplés comment les composants de niveaux
inférieurs sont couplés (LIL, INRA)Modélisation et simulation23 / 113Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 0
Un cadre d"observation O est une structureO=X ensemble des valeurs d"entrée;
Y ensemble des valeurs de sortie.
Description
T est un ensemble d"entiers ou de réels selon la représentation du temps (discret ou continu);le système est vu comme étant soumis aux éléments de X; Y est un ensemble représentant l"interface au travers de laquelle lesystème influe sur son environnement;X et Y sont des sous-ensembles quelconques d"entiers, de réels ou
de symboles. (LIL, INRA)Modélisation et simulation24 / 113Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 1
Une relation d"entrée-sortie IOR est une structure :IOR= ;Y;R> où est l"ensemble des segments d"entrée;R= (!i;i)Description iest une trajectoire d"entrée : variation d"une entrée entretiettj! ietisont observés sur le même intervalle;spécification ambiguë car pour le même!i, on peut observer deux
trajectoires de sortie différentes. (LIL, INRA)Modélisation et simulation25 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation26 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 2
Une fonction d"entrée-sortie IOF est une structure : IOR= ;Y;F> oùFest un ensemble de fonctions d"entrée-sortie.Description chaquefidéfinit un segment de sortie unique pour un segment d"entrée;un état initial est définit. (LIL, INRA)Modélisation et simulation27 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation28 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 3
Un système dynamique est une structureS=oùQest l"ensemble des états du système;:Q !Qest la fonction de transition globale;:Q!Yest la fonction de sortie.Description la fonction de transition globale du système définit l"état final obtenu après l"application d"un segment d"entrée;pas de définition des états intermédiaires; spécification du comportement à reproduire et non comment le reproduire. (LIL, INRA)Modélisation et simulation29 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation30 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 4
Un système dynamique est une structure :
CS=
oùCest l"ensemble des modèles composants le modèle global;EICest l"ensemble des couplages entre les entrées du modèle et
entrées des sous-modèles;EOCest l"ensemble des couplages entre les sorties du modèle et sorties des sous-modèles;ICest l"ensemble des couplages entre les sous-modèles.(LIL, INRA)Modélisation et simulation31 / 113
Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation32 / 113 Plan 1Modélisation et Simulation
Définitions
Paradigme et simulateur
Classes de modèles
2Formalismes de modélisation
3P-DEVS
4Multi-formalisme et problématique du couplage
Modélisation multiple
Intégration opérationelle
Intégration formelle
(LIL, INRA)Modélisation et simulation33 / 113 Formalismes de modélisation
IntroductionAvertissement
Le choix d"un formalisme reste un hypothèse forte dans le processus de modélisation. Il est important de tenir compte des propriétés du système dans ce choix! Déterministe ou stochastique
L"aspect déterministe ou stochastique est aussi à intégrer. (LIL, INRA)Modélisation et simulation34 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinairesClasse
Etat continu, temps continu et pas d"espace
E.D.O d"ordren:F(x;x0;:::;x(n);t) =0 oùFest une fonction continue.Le pendule simple 1 2 ml2mglcos=mglcos0 oùm : la masse g : l"accéleration (9:81ms2)l : longueur (t): angle du pendule ent 0: angle max ou angle àt=0
(LIL, INRA)Modélisation et simulation35 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinairesRésolution Résoudre une E.D.O :
Trouver une fonctionx(t)vérifiantF(x(t);x0(t);:::;x(n)(t);t) =0 sur le domaine det.(LIL, INRA)Modélisation et simulation36 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinaires d"ordre 1
E.D.O du 1er ordre :F(x;x0;t) =0Fpeut être vectoriel : systèmes d"équations différentielles couplées
x (n)=f(x;x0;:::;x(n1);t) (1) équivalent ày0=g(y;t);avecy=2
66666666666664x
x 0 x (n1)3 77777777777775Exemple : le pendule simple
0=! 0=2gl (coscos0)(LIL, INRA)Modélisation et simulation37 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinaires d"ordre 1
Pour une E.D.O du 1er ordre avec conditions initiales x 0=f(x(t);t);x(0) =x0Simulation - Euler
Dév. de Taylor :x(t+h) =x(t) +hx0(t) +h22
x00(t) +h33!x(3)(t) +au premier ordre : méthode d"Euler avec pas fixeh=(tft0)N .Simulation - Runge-kutta Evaluation itérative def()en plusieurs points sur l"intervalle[tn;tn+1] Exemple : Runge-Kutta ordre 2
x n+1=xn+hn4" f(xn;tn) +3f x n+23 hnf(xn;tn);tn+23 hn!# (LIL, INRA)Modélisation et simulation38 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinairesAutres méthodes Pas adaptatifs : contrôler la précision dedtpour assurer que l"erreur ne soit pas trop grandeRK4/RK5 adaptatif; méthode de Gear; Adams-Bashfort-Moulton;
Equations différentielles stochastiques
Mouvement brownien - Équation de Langevin :
m d~v(t)dt =k~v(t) +~(t)où~(t)est un terme stochastiqueajout de délais stochastiques : dN(t)dtquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
ietisont observés sur le même intervalle;spécification ambiguë car pour le même!i, on peut observer deux
trajectoires de sortie différentes. (LIL, INRA)Modélisation et simulation25 / 113Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation26 / 113Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 2
Une fonction d"entrée-sortie IOF est une structure :IOR= ;Y;F> oùFest un ensemble de fonctions d"entrée-sortie.Description chaquefidéfinit un segment de sortie unique pour un segment d"entrée;un état initial est définit. (LIL, INRA)Modélisation et simulation27 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation28 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 3
Un système dynamique est une structureS=oùQest l"ensemble des états du système;:Q !Qest la fonction de transition globale;:Q!Yest la fonction de sortie.Description la fonction de transition globale du système définit l"état final obtenu après l"application d"un segment d"entrée;pas de définition des états intermédiaires; spécification du comportement à reproduire et non comment le reproduire. (LIL, INRA)Modélisation et simulation29 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation30 / 113 Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 4
Un système dynamique est une structure :
CS=
oùCest l"ensemble des modèles composants le modèle global;EICest l"ensemble des couplages entre les entrées du modèle et
entrées des sous-modèles;EOCest l"ensemble des couplages entre les sorties du modèle et sorties des sous-modèles;ICest l"ensemble des couplages entre les sous-modèles.(LIL, INRA)Modélisation et simulation31 / 113
Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation32 / 113 Plan 1Modélisation et Simulation
Définitions
Paradigme et simulateur
Classes de modèles
2Formalismes de modélisation
3P-DEVS
4Multi-formalisme et problématique du couplage
Modélisation multiple
Intégration opérationelle
Intégration formelle
(LIL, INRA)Modélisation et simulation33 / 113 Formalismes de modélisation
IntroductionAvertissement
Le choix d"un formalisme reste un hypothèse forte dans le processus de modélisation. Il est important de tenir compte des propriétés du système dans ce choix! Déterministe ou stochastique
L"aspect déterministe ou stochastique est aussi à intégrer. (LIL, INRA)Modélisation et simulation34 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinairesClasse
Etat continu, temps continu et pas d"espace
E.D.O d"ordren:F(x;x0;:::;x(n);t) =0 oùFest une fonction continue.Le pendule simple 1 2 ml2mglcos=mglcos0 oùm : la masse g : l"accéleration (9:81ms2)l : longueur (t): angle du pendule ent 0: angle max ou angle àt=0
(LIL, INRA)Modélisation et simulation35 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinairesRésolution Résoudre une E.D.O :
Trouver une fonctionx(t)vérifiantF(x(t);x0(t);:::;x(n)(t);t) =0 sur le domaine det.(LIL, INRA)Modélisation et simulation36 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinaires d"ordre 1
E.D.O du 1er ordre :F(x;x0;t) =0Fpeut être vectoriel : systèmes d"équations différentielles couplées
x (n)=f(x;x0;:::;x(n1);t) (1) équivalent ày0=g(y;t);avecy=2
66666666666664x
x 0 x (n1)3 77777777777775Exemple : le pendule simple
0=! 0=2gl (coscos0)(LIL, INRA)Modélisation et simulation37 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinaires d"ordre 1
Pour une E.D.O du 1er ordre avec conditions initiales x 0=f(x(t);t);x(0) =x0Simulation - Euler
Dév. de Taylor :x(t+h) =x(t) +hx0(t) +h22
x00(t) +h33!x(3)(t) +au premier ordre : méthode d"Euler avec pas fixeh=(tft0)N .Simulation - Runge-kutta Evaluation itérative def()en plusieurs points sur l"intervalle[tn;tn+1] Exemple : Runge-Kutta ordre 2
x n+1=xn+hn4" f(xn;tn) +3f x n+23 hnf(xn;tn);tn+23 hn!# (LIL, INRA)Modélisation et simulation38 / 113 Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinairesAutres méthodes Pas adaptatifs : contrôler la précision dedtpour assurer que l"erreur ne soit pas trop grandeRK4/RK5 adaptatif; méthode de Gear; Adams-Bashfort-Moulton;
Equations différentielles stochastiques
Mouvement brownien - Équation de Langevin :
m d~v(t)dt =k~v(t) +~(t)où~(t)est un terme stochastiqueajout de délais stochastiques : dN(t)dtquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation28 / 113Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 3
Un système dynamique est une structureS=Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation30 / 113Théorie M&S
DéfinitionsNiveau 4
Un système dynamique est une structure :
CS=
oùCest l"ensemble des modèles composants le modèle global;EICest l"ensemble des couplages entre les entrées du modèle et
entrées des sous-modèles;EOCest l"ensemble des couplages entre les sorties du modèle etsorties des sous-modèles;ICest l"ensemble des couplages entre les sous-modèles.(LIL, INRA)Modélisation et simulation31 / 113
Théorie M&S
DéfinitionsHiérarchie de spécification
(LIL, INRA)Modélisation et simulation32 / 113 Plan1Modélisation et Simulation
Définitions
Paradigme et simulateur
Classes de modèles
2Formalismes de modélisation
3P-DEVS
4Multi-formalisme et problématique du couplage
Modélisation multiple
Intégration opérationelle
Intégration formelle
(LIL, INRA)Modélisation et simulation33 / 113Formalismes de modélisation
IntroductionAvertissement
Le choix d"un formalisme reste un hypothèse forte dans le processus de modélisation. Il est important de tenir compte des propriétés du système dans ce choix!Déterministe ou stochastique
L"aspect déterministe ou stochastique est aussi à intégrer. (LIL, INRA)Modélisation et simulation34 / 113Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinairesClasse
Etat continu, temps continu et pas d"espace
E.D.O d"ordren:F(x;x0;:::;x(n);t) =0 oùFest une fonction continue.Le pendule simple 1 2 ml2mglcos=mglcos0 oùm : la masse g : l"accéleration (9:81ms2)l : longueur (t): angle du pendule ent0: angle max ou angle àt=0
(LIL, INRA)Modélisation et simulation35 / 113Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinairesRésolutionRésoudre une E.D.O :
Trouver une fonctionx(t)vérifiantF(x(t);x0(t);:::;x(n)(t);t) =0 sur le domaine det.(LIL, INRA)Modélisation et simulation36 / 113Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinaires d"ordre 1
E.D.O du 1er ordre :F(x;x0;t) =0Fpeut être vectoriel : systèmes d"équations différentielles couplées
x (n)=f(x;x0;:::;x(n1);t) (1)équivalent ày0=g(y;t);avecy=2
66666666666664x
x 0 x (n1)377777777777775Exemple : le pendule simple
0=! 0=2gl (coscos0)(LIL, INRA)Modélisation et simulation37 / 113Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinaires d"ordre 1
Pour une E.D.O du 1er ordre avec conditions initiales x0=f(x(t);t);x(0) =x0Simulation - Euler
Dév. de Taylor :x(t+h) =x(t) +hx0(t) +h22
x00(t) +h33!x(3)(t) +au premier ordre : méthode d"Euler avec pas fixeh=(tft0)N .Simulation - Runge-kutta Evaluation itérative def()en plusieurs points sur l"intervalle[tn;tn+1]Exemple : Runge-Kutta ordre 2
x n+1=xn+hn4" f(xn;tn) +3f x n+23 hnf(xn;tn);tn+23 hn!# (LIL, INRA)Modélisation et simulation38 / 113Formalismes de modélisation
Equations différentielles ordinairesAutres méthodes Pas adaptatifs : contrôler la précision dedtpour assurer que l"erreur ne soit pas trop grandeRK4/RK5 adaptatif; méthode de Gear;Adams-Bashfort-Moulton;
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