[PDF] Calcul algébrique de la monodromie

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Astérisque

KYOJISAITO

Calculalgébriquedelamonodromie

Astérisque, tome 7-8 (1973), p. 195-211

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CALCUL ALGÉBRIQUE DE LA MONODROMIE

CALCU L

ALGEBRIQU

E DE LA MONODROMIE

Kyoj i SAIT O

5 0.- INTRODUCTION

J . Milnor a montré dans [4] que l'on pouvait définir topologiquement un e monodromi e local e de Picard-Lefschetz pour une singularité isolée d'hypersurfa ce . E. Brieskorn a calculé algébriquement cette monodromie dans [l] L a méthode de E. Brieskorn consiste, un peu comme dans la théorie clas siqu e de la monodromie locale de Picard-Lefschetz, à construire un opérateur diffé rentie l linéair e ordinair e singulie r régulie r te l qu e la monodromie de cet opéra teu r singulie r coïncid e ave c la monodromie de Picard Lefschetz. Il montre ensuite qu e le s valeur s propre s de la monodromie sont des racines de l'unité. Dan s ce t exposé , on étudie une situation plus générale qui nous permet d e traite r le cas de déformations de singularités. Soi t f : X •> S une famille plate de singularités isolées telle que X e t S soient lisses et que les fibres soient de dimension n . On verra que les groupe s d'hypercohomologi e Rq f Cn; ] * X/s sont des -Nodules cohérents, ce qui nou s permettr a de définir des connexions canoniques sur ces modules, appelées con nexion s de Gauss-Manin. La monodromie de la ni-me connexion de Gauss-Manin : v : Rn fx (ux/s ------> Rn fx sx/s O os s1(d) coïncid e ave c la monodromie de Picard-Lefschetz.

Remarqu

e . - Après avoir rédigé cet exposé, l'auteur a partiellement résolu les problème s posé s à la fin. [Tous les détails et les démonstrations seront donnés pa r ailleurs . H. Hamm a aussi obtenu, indépendamment, quelques résultats de ce genre) 1 Le s connexion s de Gauss-Manin que nous avons définies ont toujours des singularité s régulière s le long des discriminants(dans le sens de P. Deligne [2] pag e 89

Définitio

n 4.2 . ) . On le montre en utilisant l'existence de déformations semi-universelle s de s famille s données 19 5 - SAITO 2 Le s valeur s propre s de s monodromie s qu i corresponden t de s classe s d e conjugaiso n d e (S^D,Sq] [qui peuvent être décrites analytiquement, mais nous n e donnon s pa s d e définition s précise s ici son t de s racine s d e l'unité

L'auteu

r remerci e A

GALLIG

O qu i l' a encourag rédige r ce t expos lor s d e so n séjour à Nice en Septembre 1972 et qui a ensuite traduit le manuscrit de l'anglai s e n français 19 6

CALCUL ALGÉBRIQUE DE LA MONODROMIE

H . - FAMILLES PLATES DE SINGULARITES ISOLEES

Soit f = (f,,...,fj : C(EN,0) > CIK,0) un germe d'application holo-morphe plate à l'origine. Si r et 6 sont de petits nombres réels positifs, nous

noterons

X(r,ô

) = { x G OE | ||x|| < r et ||fCx)|| < 6 }

S(ô

) = { s fc IEK | | | a | | < 6 } e (f1,....,fk) 3Cx . ,...,x, ) H 1k

1 < i1 < ... < ik IN }

l'idéa l jacobien des mineurs d'ordre k

J - csnf,a . {g e c?-s J g.f "a>

L'ensembl

e de s zéro s de l'idéal jacobien OEX, sera noté C et appelé l'ensemble critiqu e de l'application f

L'ensembl

e de s zéro s de l'idéal J sera noté D et appelé discriminant de l'ap plicatio n f Nou s supposeron s que f (0) O X[r,s) a une singularité isolée à l'ori gine . Cette hypothèse est équivalente à chacune des hypothèses suivantes : a

1'homomorphism

e & > & s, o x, o /c2, o fait de x,o /&,• un O^ g 0 - module de type fini. b ) -Çj : C > D est un morphisme fini.

PROPOSITIO

N 1 . - Avec les notations et l'hypothèse précédente, on a : i ) dim O-X>0/ÂI0 - dim tf-s>0/J<0 - k - 1 ii ) ^x/v9t eSt Un anneau de Cohen-Macaulay iii ) J est un idéal principal. L a démonstration, que nous omettons, utilise le lemme 7 ci-dessous et son corollai r e . 19 7 - SAITO Poson s S'(6

S(ô

D

X'(r,ô

) = X(r,ô) - f"1CD) pou r tou t s

SCô

; Xs(r,ô) = f~1(s) 0 XCr,ô) , si s € S'(ô) la fibre X (r,ô es t liss e d e dimensio n n N k s f i

THEOREM

E

2 . - CMilnor, Hamm) - Si r est suffisamment petit et 6 suffisam

men t peti t pa r rappor t r f : X'(r,ô) > S'(6) est un fibre différentia- bl e localemen t trivia l don t l a fibr e a l e typ e d'homotopi e d'u n bouque t d e sphère s d e dimensio n N k .L e nombr e d e ce s sphère s es t not y e t es tquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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