[PDF] CH III : Fonctions usuelles CH III : Fonctions usuelles Dé

View - Download CH III : Fonctions usuelles

Previous PDF

Next PDF

ECE1-B2015-2016CH III : Fonctions usuelles

L"étude des fonctions polynomiales et notamment les considérations sur la recherche de racines, la factorisation et le signe du trinôme du second degré ont été traitées dans le chapitre précédent.

I. Quelques rappels sur l"étude de fonctions

I.1. Étude graphique de fonctions

La méthodologie d"étude d"une fonctionf(dérivable) est la suivante.

1)Déterminer l"ensemble de définitionDfde la fonction (si celui-ci n"est

pas donné).

2)Calcul def0(là oùfest dérivable).

3)Construction du tableau de variations def(étude du signe def0).

4)Étude des limites defaux bornes de l"intervalle d"étude.

5)Calcul des tangentes defen certains points (généralement l"énoncé pré-

cise ces points). (on y reviendra dans un chapitre ultérieur ...)

6)Étude graphique : dans un repère, on place :

les points particuliers (ceux dont l"abscissexvérifief0(x) = 0), les droites particulières (tangentes) de la courbe. on peut éventuellement placer des points supplémentaires. On trace alorsCfla courbe représentative def.I.2. Règles de dérivation Pourf,gdes fonctions réelles, poura2R, les égalités suivantes sont vérifiées sur les ensembles où les fonctionsfetgsont dérivables.(af)0=af0 (f+g)0=f0+g0 (fg)0=f0g+fg0 1g 0 =g0g 2 fg 0 =f0gfg0g

2Pour les règles de dérivation de l"inverse et du quotient, il faut ici veiller à

se placer sur un ensembleEsur lequelgne s"annule pas.

Remarque

Cette liste n"est pas exhaustive et il faudra la compléter avec les règles que l"on verra dans l"année. Par exemple :(pf)0=f02 pf est vérifiée pourfsur tout ensembleEoùfest dérivable et strictement positive.

I.3. Théorème de la bijection

I.3.a) Un premier théorème

Théorème 1.

Soientaetbdeux réels tels quea < b.

Soitf: [a;b]!Rune fonction :

continue sur[a;b]. strictement croissante sur[a;b].

On a alors :8y2[f(a);f(b)];9!c2[a;b]; y=f(c)1

ECE1-B2015-2016Autrement dit :

Pouryfixé dans[f(a);f(b)]l"équation enx:y=f(x)a une unique solution dans l"intervalle[a;b]. Ou encore, tout élémentydans[f(a);f(b)]possède un unique antécédent parfdans[a;b].

Remarque

Ce théorème est aussi connu sous le nom deThéorème desValeursIntermédiaires (cas de la stricte monotonie). Des énoncés similaires existent : pour tout type d"intervalle ([a;b[,]a;b[,]a;b]).

lorsquefstrictement décroissante. Dans ce cas, la conclusion est :8y2[f(b);f(a)];9!c2[a;b]; y=f(c)(et on peut encore prendre tout type d"intervalle ...)

I.3.b) Les fonctions bijectives

DéfinitionFonction bijective

SoientEetFdeux sous-ensembles deR.

Soitf:E!Fune fonction.

On dit quefest une bijection deEsurFsi :8y2F;9!x2E; y=f(x)Sif:E!Fdéfinit une bijection deEsurF, alors elle permet de définir

la fonction qui à tout réely2Fassocie l"unique antécédent deyparf dans l"ensembleE. Cette fonction est notéef1:F!Eet est appelée fonction réciproquedef. (faire un dessin!)Représentation graphique.

Soitf:E!Fune application bijective deEsurF.x

1x 2x 3x 4y 1y 2y 3y 4EFf f

1Par définition de la bijectivité, tout élémentyideFpossède un unique

antécédentxjdansEparf. Par définition de fonction, tout élémentxjdeEne possède qu"une image y idansF. De manière non formelle, sif:E!Fest une bijection deEsurF, alors il y a " exactement autant » d"éléments dansEet dansF. Graphiquement, cela se traduit par le fait que l"on peut relier lesxjauyi: par les flèches rouges. C"est la fonctionf:E!F. par les flèches vertes, obtenues en orientant dans l"autre sens les flèches rouges. C"est la fonctionf1:F!E.

Propriété

Soitf:E!Fune bijection deEsurF.

Etf1:F!Esa réciproque.

On a alors :

1)8x2E;8y2F;(y=f(x),x=f1(y))2)8y2F; f(f1(y)) =y3)8x2E; f1(f(x)) =x4)f1:F!Eest une bijection deFsurE.2

ECE1-B2015-2016Démonstration.

1)Soientx2Eety2F.

())Supposonsy=f(x). Autrement dit,xest un antécédent (il est unique puisquefest bijective) deyparf. Or, par définition,f1associe à chaque élémenty2Fson unique antécédent dansEparf: c"est précisémentx. Cela démontre quef1(y) =x. (()Supposonsx=f1(y). Par définition,f1(y)est l"unique antécédent dans l"ensembleEde l"élémentypar la fonctionf. On a doncy=f(x).

2)Soity2F. Par définition,f1(y)est l"uniquexdansEtel quey=f(x).

Ainsi,f(f1(y)) =f(x) =y.

3)Soitx2E. Notonsy=f(x). On a doncx=f1(y)(d"après la propriété

1)). Ainsi,f1(f(x)) =f1(y) =x.

4)On doit démontrer que :8v2E;9!u2F; v=f1(u).

Soitv2E. D"après la propriété3),f1(f(v)) =v. Ainsi, en notant u=f(v), on a bien trouvé un élémentu2Ftel quef1(u) =v. Il reste à démontrer l"unicité. S"il existet2Ftel quef1(t) =v, alors par la propriété1), on at=f(v). Ainsi,t=f(v) =u.Remarque

Soitf:E!Fune fonction bijective deEdansFetx2E,y2F

deux éléments tels quey=f(x). D"après la propriété1), on a alors aussi x=f1(y). On a donc : xest l"antécédent deyparf. yest l"image dexparf. xl"image deyparf1. yest l"antécédent dexparf1.I.3.c) Le théorème de la bijection

Théorème 2.Théorème de la bijection

Soitaetbdeux réels tels quea < b.

Soitf: [a;b]!Rune fonction :

continue sur[a;b]. strictement croissante sur[a;b].

On a alors :

1)fest une bijection de[a;b]sur[f(a);f(b)].

2)De plus, sa bijection réciproquef1: [f(a);f(b)]![a;b]est :

continue sur[f(a);f(b)]. strictement croissante sur[f(a);f(b)].

Démonstration.

1)C"est l"énoncé du TVI traduit avec le vocabulaire des fonctions bijectives.

2)On en reparlera ...Remarque

Les extensions précédentes peuvent aussi être appliquées à ce théorème : on peut l"écrire avec des intervalles du type[a;b[,]a;b],]a;b[; si la fonc- tionfinitiale est strictement décroissante, la conclusion sera alors la stricte décroissance def1.

Par exemple :Soitf:]a;b]!Rune

fonction : continue sur]a;b] strictement décroissante sur]a;b]9 >>;)fest une bijection de]a;b]sur[f(b);f(a)[ f1: [f(b);f(a)[!]a;b]est : continue sur[f(b);f(a)[ strictement croissante sur[f(b);f(a)[3

ECE1-B2015-2016II. Fonction valeur absolue

II.1. Définition

Définition

On appelle fonction valeur absolue, notéej:j, la fonction suivante. j:j:R!R+ x7! jxj=xsix>0 xsix <0

Remarque

Dans la définition, il est implicite que pour touttrucélément deR, la quantitéjtrucjest positive. En effet : sitruc>0,jtrucjvauttruc, sitruc <0,jtrucjvaut l"opposé detruc, à savoirtruc(>0).

On a notamment les calculs suivants :

1)j 5j= 52)j(x2)2j= (x2)23)j (x2)2j= (x2)2

Exercice.(valeur absolue)

Écrire sans valeur absolue les quantités suivantes. a.jx2+x2jb.jx+ 1j+jx+ 2jc.jx21jjx2+1j+j2x2x+1j

Traitons la questiona.x

Signe de

x

2+x2Valeur de

jx2+x2j121+1+00+ x

2+x2x2x+ 20x

2+x2On retiendra l"intérêt de faire un tableau qui est une représentation lisible

de la situation.II.2. Propriétés

Propriété

1.8x2R;jxj>02.8x2R;jxj=j xj(ceci signifie que la fonctionj:jest paire)

3.8x2R;jxj= 0)x= 04.8x2R;8y2R;jxj=jyj )x=yOUx=y5.8x2R;8y2R;jxyj=jxj jyj6.8x2R;8y2R;

xy

=jxjjyj7.Inégalité triangulaire.Pour toutx2Ret touty2R, on a :jx+yj6jxj+jyjjxyj6jxj+jyjjjxj jyjj6jxyjPropriétéde dérivée

1)La fonctionj:jest dérivable sur]0;+1[.8x2]0;+1[;(jxj)0= 12)La fonctionj:jest dérivable sur]1;0[.8x2] 1;0[;(jxj)0=1II.3. Représentation graphique

xyy=jxjy=jx2jy=j3x+ 2j4

ECE1-B2015-2016II.4. Interprétation

Interprétation

Pour tout couple(x;y)2RR,jxyjest la distance entre les pointsx ety(jxyj=d(x;y)), autrement dit l"écart entre le pointxet le pointy sur la droite réelle.yxjxyjAinsi,jxjest la distance entre les pointsxet0.

Application

Soita2Retr >0.

Résolution dejxaj=rLes élémentsxvérifiant cette égalité sont les éléments situés à une distance

rdu réela. Autrement dit, ce sont les élémentsx=aretx=a+r.aara+rrr

Résolution dejxaj6rLes élémentsxvérifiant cette égalité sont les éléments situés à une distance

inférieure (ou égale) àrdu réela. Autrement dit, ce sont les élémentsx de l"intervalle[ar;a+r].arr a+rarAinsi, on a :jxj6r, r6x6rIII. Fonction inverse

Définition

On appelle la fonction inverse la fonction :

1: :R!R x7!1x Dans ce qui suit, on noterafla fonction inverse. On réalise l"étude graphique defà l"aide de la méthodologie présentée en début de chapitre.

1)Df=R.

2)8x2R; f0(x) =1x

260.
3)

Construction du ta bleaude v ariationsde f.x

Signe def0(x)Variation def10+1 00 1+111 4) Les limites son taffic héesdans le tableau d ev ariation. 5) L"équation de la tangen teau p ointd"abscisse a(i.e.au point(a;f(a))) est donnée par la formule :y=f0(a)(xa) +f(a)On en déduit que : la droitey=x+ 2est la tangente de la fonction au point(1;1). la droitey=x2est la tangente de la fonction au point(1;1).5

ECE1-B2015-20166)Représentation graphiquexy

y= 1=xRemarqueParité et représentation graphique ...

Par définition, on dira qu"une fonctionfestimpairesi :8x2Df; f(x) =f(x)Dans ce cas, on a alors l"équivalence suivante :

x f(x) 2Cf,x f(x) 2Cf Ainsi, sifest une fonction impaire, sa courbe représentativeCfadmet le

point(0;0)comme centre de symétrie.Par définition, on dira qu"une fonctionfestpairesi :8x2Df; f(x) =f(x)Dans ce cas, on a alors l"équivalence suivante :

x f(x) 2Cf,x f(x) 2Cf Ainsi, sifest une fonction paire, sa courbe représentativeCfadmet l"axe des ordonnées comme axe de symétrie. La fonction inverse est impaire puisque :8x2R;1x=1x On en déduit que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l"origine du repère ((0;0)). Ainsi, le tracé deCfsur]1;0[se déduit, par symétrie, du tracé deCfsur]0;+1[. On réduit ainsi l"étude de cette fonction à l"ensemble]0;+1[.

IV. Fonctions puissances entières

IV.1. Définition

DéfinitionFonctions puissances (entières)

Soientx2Retn2N. La fonction élévation à la puissancenest définie comme suit. n:R!R x7!xn=n1multiplicationsz}|{ xx:::x On peut aussi définir l"élévation à une puissance entière négative.

Six2Retn2N, la quantitéxnest définie par :x

n=1x nPar convention, l"opérateur élévation à la puissance0est la fonction constante

égale à1:8x2R; x0= 16

ECE1-B2015-2016IV.2. Propriétés

Propriété

1.8m2N;8n2N;8x2R; xm+n=xnxm2.8m2N;8n2N;8x2R; xmn= (xm)n3.8n2N;8x2R;(xy)n=xnyn4.8n2N;8y2R; yn=1y

n=1y n5.8n2N;8x2R;8y2R;xy n =xny nPropriétéde dérivée

1.Pour toutn2Z, on a :

sin>0, la fonctionx7!xnest définie et dérivable surR.8x2R;(xn)0=nxn1sin <0, la fonctionx7!xnest définie et dérivable surR.8x2R;(xn)0=nxn1(même formule, seule l"ensemble de dérivabilité est modifié)

2.Siu:R!Rest une fonction, on a :8n2Z;(un)0=nun1u0,!sin2N, cette règle de dérivation est valable sur tout ensemble où la

fonctionuest dérivable. ,!sinest un entier strictement négatif, cette règle de dérivation est valable sur tout ensemble où la fonctionuest non nulle et dérivable.Exercice Ensemble de dérivabilité et calcul des dérivées des fonctions suivantes. a.f:x7!(5x2+ 2x+ 7)3b.g:x7!13x2+ 5

Étude pour les petites valeurs den

Sin= 2: la fonctionx7!x2est paire, strictement décroissante surR,quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

[PDF] CH INFO avril 2011 - Centre Hospitalier de DIGNE LES BAINS

[PDF] CH INFO juillet aout 2012 - Centre Hospitalier de DIGNE LES BAINS - France

[PDF] CH IV) Courant alternatif – Oscilloscope.

[PDF] CH Jacques Coeur de Bourges - Santé Et Remise En Forme

[PDF] CH LE MANS Droit public

[PDF] Ch Reg. N° 81 : Havel Jérémie - Joer Clara Toulouse Rock

[PDF] CH Sud Francilien

[PDF] CH VI : Équilibre d`un solide soumis à 3 forces.

[PDF] ch$ edouard toulouse, mais ou est donc passe le s

[PDF] CH, JP - Grundfos

[PDF] CH-3003 Berne, OFROU

[PDF] CH-IQI - Bundesamt für Gesundheit - Italie

[PDF] CH-M-YH-CCI2

[PDF] CH-O1 LOIS DES RESEAUX EN REGIME CONTINU - Arithmétique

[PDF] Ch. 1.3 Taux d`intérêt