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L'épreuve orale de mathématiques des CCP filière MP
BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015
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BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2016
L'épreuve orale de mathématiques des CCP filière MP
CCP MP 1984 M2
CCP MP 1984 M2. N.B. - La partie III n'utilise que les résultats Calculer le polynôme caractéristique ?u de u `a l'aide des coefficients (ak)0?k?n?1.
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
FILIÈRE MP
BANQUE
ÉPREUVE ORALE
DE MATHÉMATIQUES
SESSION 2015
avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, J.-P. Logé, S. Moinier, P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbron et A. Warin2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR
Dernière mise à jour : le 26/08/14
Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14Introduction
L"épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la manière suivante :
25 min utesde préparation sur table.
25 min utesde passage à l"oral.
Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :un exercice sur 8 p ointsi ssude la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr
un exercice sur 12 p oints. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les113 exercices de la banque pour la session 2015:58 exercices d"analyse ( exercice 1 à exercice 58).
37 exercices d"algèbre (exercice 59 à exercice 95).
18 exercices de probabilités (exercice 96 à exercice 113).
Dans l"optique d"aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la
banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d"année scolaire.Cela dit, il ne s"agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour
plus de clarté, relevé d"éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d"exercices.
Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d"année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.frsi une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page.
Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document.Remerciements à David DELAUNAY pour l"autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des
exercices de l"ancienne banque, diffusés sur son sitehttp://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : A. Antibi, L. d"Estampes et interrogateurs, Banque d"exercices de mathématiques pour le programme2003-2014 des oraux CCP-MP,Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701(2013) 120 exercices.
http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L"équipe des examinateurs de l"oral de mathématiques des CCP, filière MP.Contact: Valérie BELLECAVE, coordonnatrice
des oraux de mathématiques des CCP, filière MP. vbellecave@gmail.comCC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2
Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14BANQUE ANALYSE
EXERCICE 1 analyse
Énoncé exercice 1
1. On considère deux suites n umériques(un)n2Net(vn)n2Ntelles queuns+1vn. Démontrer queunetvnsont de même signe à partir d"un certain rang. 2. Déterminer le signe, au v oisinagede l"infini, de : un=sh1n tan1nCorrigé exercice 1
1. Puisque uns+1vn, on peut écrire, au voisinage de+1,un=vn+o(vn). o(vn) ="nvnaveclimn!+1"n= 0. lim n!+1"n= 0donc il existe entierNtel que :8n2N,n>N) j"nj612Et donc8n>N,jo(vn)j=j"nvnj612
jvnjc"est à dire8n>N,12 jvnj6o(vn)612 jvnj.On en déduit que8n>N,12
jvnj+vn6un612 jvnj+vn. (*)Soitn2Ntel quen>N.
Premier cas: Sivn>0
Alors d"après (*),un>12
vnet doncun>0.Deuxième cas cas: Sivn60
Alors d"après (*),un612
vnet doncun60. On en déduit qu"à partir du rangN,unetvnsont de même signe.Autre méthode:
u ns+1vn() 9("n)= unvn="nvnaveclimn!+1"n= 0 () 9("n)= un= (1 +"n)vnaveclimn!+1"n= 0 () lim n!+1"n= 0donc il existe un entiern0tel que :8n2N,n>n0=) j"nj612Donc,8n2N,n>n0=) 12
6"n612
On en déduit que8n2N,n>n0=)1 +"n>12
>0. (**) D"après (*) et (**), pourn>n0,unetvnsont de même signe. 2.Au v oisinagede +1, sh(1n
) =1n +16n3+o1n 3 ettan1n =1n +13n3+o1n 3 . Doncuns+116n3. On en déduit, d"après 1., qu"à partir d"un certain rang,unest négatif.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 3
Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14EXERCICE 2 analyse
Énoncé exercice 2
On posef(x) =1(x+ 1)2(3x).
1.Décomp oserf(x)en éléments simples et en déduire la primitiveGdefdéfinie sur l"intervalle]1;3[telle
queG(1) = 0. 2.Déterminer le dév eloppementen série en tièreen 0 de l afonction fet précisez le rayon de convergence.
3. Déduire de ce dév eloppementla v aleurde G(3)(0).Corrigé exercice 2
On posef(x) =1(x+ 1)2(3x).
1. En utilisan tles métho deshabituell esde décomp ositionen élémen tssimple s,on trouv e: f(x) =1161x+ 1+14
1(x+ 1)2+116
13x. Les primitives defsur]1;+3[sont donc les fonctionsFdéfinies par :F(x) =116
lnx+ 13x 141(x+ 1)+CavecC2R.
De plus,F(1) = 0()C=18
Donc,8x2]1;3[,G(x) =116
lnx+ 13x 141(x+ 1)+18
2.D"après le cours, x7!1x+ 1etx7!1(x+ 1)2sont développables en série entière à l"origine.
Le rayon de convergence de ces deux développements en série entière vaut 1. (1)On a8x2]1;1[,11 +x=+1P
n=0(1)nxn.Et,8x2]1;1[,1(1 +x)2=+1P
n=1(1)n+1nxn1( obtenu par dérivation du développement précédent).Enfin,
13x=13
1x3 Doncx7!13xest développable en série entière à l"origine. Le rayon de son développement en série entière vaut 3. (2)Et, on a8x2]3;3[,13x=13
+1P n=0x n3 n On en déduit quefest développable en série entière. On noteRle rayon de convergence de ce développement en série entière.D"après (1) et (2),R>1.
Orlimx!1jf(x)j= +1doncR61.
DoncR= 1.
Et8x2]1;1[,f(x) =116
+1P n=0(1)nxn+14 +1P n=0(1)n(n+ 1)xn+116 13 +1X n=0x n3 n.C"est-à-dire8x2]1;1[,f(x) =+1X
n=0 (1)n16 +(1)n(n+ 1)4 +1163n+1x n. 3.
D"après le cours, les co efficientsd" undév eloppementen série en tièreson tceux de la s ériede T aylorasso ciée.
Donc, si on pose8n2N,an=(1)n16
+(1)n(n+ 1)4 +1163n+1, alors,8n2N,an=fn(0)n!.Ainsi,G(3)(0) =f(2)(0) = 2!a2= 2116
+34+11627
=4427
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Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14EXERCICE 3 analyse
Énoncé exercice 3
1.On p oseg(x) = e2xeth(x) =11 +x.
Calculer, pour tout entier naturelk, la dérivée d"ordrekdes fonctionsgethsur leurs ensembles de
définitions respectifs. 2.On p osef(x) =e2x1 +x.
En utilisant la formule de Leibniz, concernant la dérivéenèmed"un produit de fonctions, déterminer, pour
tout entier naturelnet pourx2Rnf1g, la valeur defn(x). 3.Démon trer,dans le cas gé néral,la form ulede Leibniz, utilisée dans la question précéden te.
Corrigé exercice 3
1.gest de classeC1surRethest de classeC1surRnf1g.
On prouve, par récurrence, que :
8x2R,g(k)(x) = 2ke2xet8x2Rnf1g,h(k)(x) =(1)kk!(1 +x)k+1.
2.gethsont de classeC1surRnf1gdonc, d"après la formule de Leibniz,fest de classeC1surRnf1g
et8x2Rnf1g: f (n)(x) =nX k=0 n k g (nk)(x)h(k)(x) =nX k=0 n k 2 nke2x(1)kk!(1 +x)k+1=n!e2xnX k=0(1)k2nk(nk)!(1 +x)k+1. 3.Notons (Pn)la propriété :
Sif:I!Retg:I!Rsontnfois dérivables surIalors,fgestnfois dérivable surIet :8x2I,(fg)(n)(x) =nX
k=0 n k f (nk)g(k)(x).Prouvons que(Pn)est vraie par récurrence surn.
La propriété est vraie pourn= 0et pourn= 1(dérivée d"un produit).Supposons la propriété vraie au rangn>0.
Soitf:I!Retg:I!Rdeux fonctionsn+ 1fois dérivables surI.Les fonctionsfetgsont, en particulier,nfois dérivables surIet donc par hypothèse de récurrence la
fonctionfgl"est aussi avec8x2I,(fg)(n)(x) =nX k=0 n k f (nk)g(k)(x). Pour toutk2 f0;:::;ng, les fonctionsf(nk)etg(k)sont dérivables surIdonc par opération sur les fonctions dérivables, la fonction(fg)(n)est encore dérivable surI. Ainsi la fonctionfgest(n+ 1)fois dérivable et :8x2I,(fg)(n+1)(x) =nX
k=0 n k f(n+1k)(x)g(k)(x) +f(nk)(x)g(k+1)(x)En décomposant la somme en deux et en procédant à un décalage d"indice sur la deuxième somme, on
obtient :8x2I,(fg)(n+1)(x) =nX k=0 n k f (n+1k)(x)g(k)(x) +n+1X k=1 n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x).C"est à dire
(fg)(n+1)(x) =nX k=1 n k +n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x) +n 0 f (n+1)(x)g(0)(x) +n n f (0)(x)f(n+1)(x).Or, en utilisant le triangle de Pascal, on a
n k +n k1 =n+ 1 kOn remarque également que
n 0 = 1 =n+ 1 0 etn n = 1 =n+ 1 n+ 1On en déduit que(fg)(n+1)(x) =n+1X
k=0 n+ 1 k f (n+1k)(x)g(k)(x).Donc(Pn+1)est vraie.
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Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14EXERCICE 4 analyse
Énoncé exercice 4
1. Énoncer le théorème des accroisse mentsfinis. 2.Soit f: [a;b]!Ret soitx02]a;b[.
On suppose quefest continue sur[a;b]et quefest dérivable sur]a;x0[et sur]x0;b[ Démontrer que, sif0admet une limite enx0, alorsfest dérivable enx0etf0(x0) = limx!x0f0(x). 3. Prouv erque l"implication : ( fest dérivable enx0)=)(f0admet une limite finie enx0) est fausse. Indication: on pourra considérer la fonctiongdéfinie par :g(x) =x2sin1x six6= 0etg(0) = 0.Corrigé exercice 4
1.Théorème des accroissemen tsfinis :
Soitf: [a;b]!R.
On suppose quefest continue sur[a;b]et dérivable sur]a;b[.Alors9c2]a;b[tel quef(b)f(a) =f0(c)(ba).
2.On p osel= limx!x0f0(x).
Soith6= 0tel quex0+h2[a;b].
En appliquant le théorème des accroissements finis, à la fonctionf, entrex0etx0+h, on peut affirmer
qu"il existechstrictement compris entrex0etx0+htel quef(x0+h)f(x0) =f0(ch)h.Quandh!0(avech6= 0), on a, par encadrement,ch!x0.
Donclimh!01h
(f(x0+h)f(x0)) = limh!0f0(ch) = limx!x0f0(x) =l. On en déduit quefest dérivable enx0etf0(x0) =l. 3. La fonction gproposée dans l"indication est évidemment dérivable sur]1;0[et]0;+1[. gest également dérivable en 0 car1h (g(h)g(0)) =hsin1hOrlimh!0h6=0hsin1h
= 0carjhsin1h j6jhj.Donc,gest dérivable en0etg0(0) = 0.
Cependant,8x2Rnf0g,g0(x) = 2xsin1x
cos1x2xsin1x
x!00(carj2xsin(1x )j62jxj). maisx7!cos1x n"admet pas de limite en 0.Doncg0n"a pas de limite en0.
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