[PDF] Étude des coefficients de Fourier des fonctions de Lp(G)

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ANNALES DE L"INSTITUTFOURIERALINEBONAMI

Annales de l"institut Fourier, tome 20, no2 (1970), p. 335-402 © Annales de l"institut Fourier, 1970, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Annales de l"institut Fourier » (http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l"accord avec les conditions gé- nérales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa- tion commerciale ou impression systématique est constitutive d"une in- fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

Ann. Inst. Fourier, Grenoble

20 2 (1970),

335-402

ÉTUDE

DES

COEFFICIENTS

DE

FOURIE

R DES

FONCTIONS

DE I/(G) pa r Aline

BONAMI

Introduction

Il a

été

établi

depuis longtemps, par

Riemann

et

Lebesgue,

que les coefficient s de

Fourier

d'un e fonctio n 2n -périodique intégrable tenden t vers 0 l'infini Il

était

dès lors naturel de s'attache r déterminer la rapidité avec laquelle les coefficient s de

Fourier

d'un e telle fonctio n tenden t vers 0 suivant qu'elle appartien t telle ou telle classe de fonction s intégrables. Deux cas sont bien connus pou r que la fonctio n f appartienn e L^T), i l est nécessaire et suffisan t qu e

ï\f{n)\

21
soit fini s i f(n) désigne son nième coefficien t de

Fourier

fW^^f^^e - dx^ pa r contre, i l existe dan s L^T) des fonction s don t les coeffi cients de

Fourier

ont une décroissance arbitrairement lente. Que peut-o n dire de la décroissance des coefficient s de

Fourier

des fonction s de L^T), 1 p 2 C'est là un problème classique, qui a

été

abordé de bien des manières ([10], cha- pitre 12) Nous citerons ce suje t deux théorèmes, qui nous serviront d e modèle dans son

étud

e sur les séries lacunaires

Banach

a montré que, s i désigne un e suite lacunair e d'entiers (lim ^c+i/^ c 1)? e s i f appartient L^T), p 1

336 ALINE BONAMI

la série \f( t k)\ 2 es convergente Hardy e t

Littlewoodfc^o

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