Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux
D'o`u ? est l'ensemble des combinaisons de 6 nombres pris dans {1
Syllabus Licence Maths 2022/2023
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2 mars 2016 Ils présentent également des effets de phosphorescence dans l'UV profond. ... loi d'Ohm et on retrouve la conductivité de Drude ?0.
Le Système international dunités The International System of Units
Par exemple la vitesse v d'une particule peut être électrique E : u = v/E. ... 1893
DESCRIPTION DU MODULE - Math pour lingénieur 01
Les lois d'électricité (Ohm diviseur de tension
Le Système international dunités (SI brochure) 2006
Par exemple la vitesse v d'une particule peut être électrique E : u = v/E. ... 1893
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Ch 1. Ensembles et d´enombrementI. EnsemblesD´efinition 1Un ensemble est une collection de choses
qu"on appelle´el´ements. L"ensemble vide est not´e∅. Dans la suite, on consid`erera toujours un ensemble universel Ω(on lit"grand om´ega"), et tous les ensembles consid´er´es seront des parties deΩ. On noteP(Ω)l"ensemble des parties deΩ. Exemple. D´efinition 2SoientAetBdeux ensembles. On d´efinit : -A?B, l"union deAetB, est l"ensemble des´el´ements qui sont dansAou dansBou dans les deux. -A∩B, l"intersection deAetB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansAet dansB. -A\B, la diff´erenceAmoinsB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansA, mais pas dansB. -AΔB, la diff´erence sym´etrique deAetB, l"ensemble des´el´ements qui sont soit dansAsoit dansB, mais pas dansA∩B. -Acou A, le compl´ementaire deA, l"ensemble des´el´e- ments qui ne sont pas dansA. 1 On repr´esente graphiquement, d´es que c"est possible, les ensembles grˆace`ades diagrammes de Venn.Proposition 3Premi`eres relations :
- commutativit´e:A∩B=B∩A,A?B=B?A. - associativit´e:A∩(B∩C) = (A∩B)∩C=A∩B∩C,A?(B?C) = (A?B)?C=A?B?C.
- distributivit´e:(A?B)∩C= (A∩C)?(B∩C),A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C).
-(A?B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac?BcProposition 4 (R`egles de De Morgan)
n? i=1A i? ∩B=n? i=1(Ai∩B) n? i=1A i? ?B=n? i=1(Ai?B) n? i=1A i? c=n? i=1Aci,? n? i=1A i? c=n? i=1AciD´efinition 5SoientAetBdeux ensembles. On pose
C={(a,b) :a?A,b?B}. On appelleCl"ensemble
produit deAetBet on le noteA×B. 2 (exemples, g´en´eralisation) v´erifie les deux conditions : -Ai∩Aj=∅pour tousi?=j n? i=1A i= Ω (exemples, g´en´eralisation) D´efinition 7SoitA?Ω. On d´efinit surΩla fonction indicatrice deA,1lA, par : ?ω?Ω,1lA(ω) =?1siω?A0sinon
(exemple) 3II. Cardinaux
D´efinition 8SoitAun ensemble fini. Le cardinal deA, not´e|A|, est le nombre d"´el´ements que contientA. (exemple)Proposition 9Additivit´e
SoientAetBdeux ensembles finis, disjoints (c"est-`a-direA∩B=∅). Alors
|A?B|=|A|+|B|Proposition 10Multiplicativit´e
SoientAetBdeux ensembles finis, etC=A×B. Alors
|C|=|A| · |B| (preuve)Corollaire 11Principe du d´enombrement
On r´ealise deux exp´eriences qui peuvent produire respec- tivementnetmr´esultats diff´erents. Au total, pour les deux exp´eriences prises ensemble, il existen.mr´esultats possibles. Corollaire 12SoitAun ensemble fini de cardinaln. Le nombre de suites de longueurrconstitu´ees d"´el´ements deAestnr.
4Proposition 13 (Inclusion-exclusion)SoientAetB
deux ensembles finis. |A?B|=|A|+|B| - |A∩B| Plus g´en´eralement, pournensembles finisA1,...,An, |A1? ··· ?An|=n? i=1|Ai| -? iProposition 181)?n
p?=?n n-p? 2) ?n p?=?n-1 p?+?n-1 p-1?3)(x+y)n=?np=0?n
p?xpyn-p Corollaire 19SoitΩun ensemble fini de cardinaln. Le cardinal deP(Ω)vaut2n. preuve : il existe 1 partie`a0´el´ement, il existenparties`a1´el´ement, il existe?n p?parties`ap´el´ements, il existe 1 partie`an´el´ements.Finalement, le nombre total de parties est
n p=0? n p?=n? p=0? n p?1r1n-r= (1 + 1)n= 2n Th´eor`eme 20On consid`erenobjets, parmi lesquelsn1 sont indistinguables,...,nrsont aussi indistinguables. Le nombre de permutations diff´erentes estn! n1!···nr! exemple : combien d"anagrammes de STAT? 4!/2!=12 7 exemple :r´esultat du loto (6 num´eros). - mani`ere de voir 1 : on regarde en direct le tirage du loto et on obtient un arrangement de 6 nombres pris dans {1,...,49}. On a alorsω= (x1,...,x6): les 6 nom- bres sortis avec leur ordre d"arriv´ee. Quel est le nombre de tirages diff´erents? A 649= 49?48?47?46?45?44 = 10.068.347.520
Mais on peut gagner les 6 bons num´eros quel que soit l"or- dre de sortie des 6 num´eros... - mani`ere de voir 2 : on regarde les 6 nombres sortis sans s"occuper de l"ordre d"arriv´ee.On a alorsω={x1,...,x6}. D"o`uΩest l"ensemble des combinaisons de 6 nombres pris dans{1,...,49}.Quel est le nombre de tirages diff´erents?
496?=49?48?47?46?45?44
6?5?4?3?2= 13.983.816
remarque :(1,2,3,4,5,6)?= (2,1,3,4,5,6), mais {1,2,3,4,5,6}={2,1,3,4,5,6} 8Ch 2. Le mod`ele probabiliste
I. Ensemble fondamental et ´ev´ene-
ments D´efinition 21Une exp´erience al´eatoire est une action, une proc´edure, qui donne un r´esultat impr´evisible, mais dont on connaˆıt pr´ecis´ement l"ensemble des r´esultats pos- sibles. Cet ensemble, not´eΩ, est appel´eensemble fonda- mental ou univers ou ensemble des possibles.Exemples :
- lancer d"un d´e. On observera un r´esultatk? {1,...,6}. - sondageaupr`es de 1000 utilisateursd"un t´el´ephoneportable.On observera le nombre d"abonn´es`aorange.
- questionnaire`a100 r´eponses binaires. On observera des suitesωde 100 r´eponses prisesdans{0,1};ω? {0,1}100. - parcours d"un taxi. On observera une fonction continue (trajectoire). - mise en service d"un ordinateur. On observera sa dur´ee de fonctionnement qui appartient`aR+. 9 D´efinition 22Onappelle´ev´enement´el´ementairetout´el´e- mentωdeΩ. C"est un r´esultat possible de l"exp´erience al´eatoire. On appelle´ev´enement toute partie deΩ. Pour d´esigner des´ev´enements, on utilisera souvent des let- tres capitales du d´ebut de l"alphabet (A,B,...). Exemples : - on lance un d´e. AlorsΩ ={1,...,6}. L"´ev´enementA:"on obtient un chiffre pair"est consti- tu´edes trois´ev´enements´el´ementaires 2, 4 et 6. On a :A={2,4,6}.
- on lance trois fois une pi`ece de monnaie. Il est bon que les´ev´enements´el´ementaires d´ecrivent le plus pr´ecis´ement possible le r´esultat de cette exp´erience. On choisit donc de d´ecrireωpar un triplet(r1,r2,r3)qui donne les r´esul- tats des trois lancers (dans l"ordre). L"´ev´enementB:"on obtient pile au deuxi`eme lancer"estB={(f,p,f),(f,p,p),(p,p,f),(p,p,p)}
Il n"est parfois pas n´ecessaire de connaˆıtre tous ces d´etails. On pourra aussi choisir :ωrepr´esente le nombre de"face" obtenus. Alors,Ω ={0,1,2,3}. Le mod`ele est beau- coup plus simple, mais ne permet pas de d´ecrire des´ev´ene- ments tels queB. Et les calculs qui vont suivre ne sont pas forc´ement simples, eux. Il existe plusieurs mani`eres de mod´eliser l"ensemble fonda- mental. Le choix du mod`ele est un des aspects difficiles de ce cours. 10Vocabulaire probabiliste
Nous allons manipuler des ensembles, mais en utilisant un vocabulaire propre aux probabilit´es. Si le r´esultatωde l"exp´erience al´eatoire appartient`aA, on dit queωr´ealiseA, ou queAest r´ealis´e. Ainsi,Ω, qui est toujours r´ealis´e, est appel´e ´ev´enement certain. Et∅, qui n"est jamais r´ealis´e, est appel´e ´ev´enement impossible.SiAetBsont deux´ev´enements,
-A?Bse dit"AimpliqueB"(car siAest r´ealis´e,B aussi), -A?Bse dit"AouB"(car siA?Best r´ealis´e,AouBest r´ealis´e),
-A∩Bse dit"AetB", -Acest l"´ev´enement contraire deA, -A∩B=∅se dit"AetBsont incompatibles", ou encore disjoints. Exemple : On lance un d´e. On poseΩ ={1,...,6}. Soit Al"´ev´enement"on obtient un chiffre pair". Le contraire de A,Ac, est l"´ev´enement"on obtient un chiffre impair". 11II. Probabilit´es
Pensez`aquelques phrases de la vie courante qui conti- ennent le mot"probabilit´e". On constate qu"on parle tou- jours de la probabilit´ed"un´ev´enement. Consid´erons donc un´ev´enementA. Que repr´esente la probabilit´edeA, not´eeP(A)? Il existe plusieurs mani`eres de voir.
- Proportion : On lance un d´e. Quelle est la probabilit´edeA="obtenir un chiffre pair"? Chaque face du d´ea la mˆeme chance, et il y en a 6. Quant aux chiffres pairs, ils sont 3. D"o`u, intuitivement,P(A) =36= 1/2.
- Fr´equence : On lance une pi`ece de monnaie. Quelle est la probabilit´e d"obtenir FACE? On lance une pi`ece un grand nombre de fois. Notonsknle nombre de FACE obtenus en lan¸cantn fois la pi`ece. AlorsP(FACE) = limn→+∞k
n n - Opinion : Quelle est la probabilit´epour que les´etudiants votent au second tour des pr´esidentielles? Quelle est la probabilit´e pour que l"´equipe de Montceau gagne la coupe? pour que l"OL soit championne de France? 12 D´efinition 23Soit une exp´erience al´eatoire etΩl"espace des possibles associ´e. Une probabilit´esurΩest une appli- cation, d´efinie sur l"ensemble des´ev´enements, qui v´erifie : - axiome 2 : pour toute suite d"´ev´enements(Ai)i?N, deux `adeux incompatibles, P i?NA i? i?NP(Ai) - axiome 3 :P(Ω) = 1 Remarque : les´ev´enements(Ai)i?Nsont deux`adeux in- compatibles, si pour tousi?=j,Ai∩Aj=∅. D´efinition 24Soit une exp´erience al´eatoire mod´elis´ee par un espace des possiblesΩet une probabilit´eP. On appelle le couple(Ω,P)un espace de probabilit´e. Corollaire 25SiΩest d´enombrable (c"est-`a-dire fini ou en bijection avecN), on peut num´eroter les´ev´enements ´el´ementairesω1,ω2,.... Les´ev´enements´el´ementaires sont deux`adeux incompatibles, et pour tout´ev´enementA, on peut´ecrireA=?ω?A{ω}et, d"apr`es le deuxi`eme ax- iome,P(A) =?
ω?AP(ω)
13 Que signifie"un´ev´enementAa pour probabilit´e..."?0.95 :Ava tr`es probablement se produire.
0.03 :Aa tr`es peu de chance d"ˆetre r´ealis´e.
4.0 : incorrect.
-2 : incorrect.0.4 :Ava se produire dans un peu moins de la moiti´edes
essais.0.5 : une chance sur deux.
0 : aucune chance queAsoit r´ealis´e.
Proposition 26SoientAetBdeux´ev´enements.
1) SiAetBsont incompatibles,
P(A?B) =P(A) +P(B).
2)P(Ac) = 1-P(A).
3)P(∅) = 0.
5)P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).
(preuve) 14 Exemple :Trois´ev´enementsA,BetCsont repr´esent´es sur ce diagramme.Calculons
-P(A) -P(B∩Cc) -P(A?B) - la probabilit´epour que`ala foisBetCsoient r´ealis´esquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30[PDF] Ch6 : Théorème des milieux 1 Propriété de la droite des milieux 2
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