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Correction de l"épreuve de mathématiques du CRPE 2014 du sujet du PG3

Denis Vekemans

Exercice 1

Affirmation 1Sans utiliser de calculateur ni poser l"opération, on peut affirmer quel"écriture décimale

du nombre47518comporte17chiffres. Vrai! 4

7518= 214518

= (25)1454 = 6251014, qui comporte effectivement exactement17chiffres : un6, un2, un5puis quatorze0.

Affirmation 2

Il y a six chaussettes dans le tiroir.

Faux!S"il y six chaussettes dans le tiroir, alors dire qu"elles sont toutes rouges sauf deux induit qu"il

y a exactement quatre chaussettes rouges; et dire qu"elles sont toutes vertes sauf deux induit qu"il y a exactement quatre chaussettes vertes. On dénombre alors au moins quatre chaussettes rouges et

quatre chaussettes vertes, soit au moins huit chaussettes. Ceci contredit le fait qu"il puisse y avoir six

chaussettes dans le tiroir. Remarque. Le tiroir contient forcément trois chaussettes : une rouge, une verte et une bleue.

Affirmation 3

Il y a dans le sac exactement quatre billes noires.

Faux!Soitnle nombre de billes noires contenues dans le sac. La probabilité de tirer une boule noire

est alors de n

11+n(formule de Laplace). Or, d"après les données, cette probabilité estde0,3125. Donc,

n

11 +n= 0,3125n= 0,3125(11 +n)

n= 3,4375 + 0,3125n

0,6875n= 3,4375

n=3,4375

0,6875= 5

Il y a dans le sac exactement cinq billes noires et non quatre.

?. Université du Littoral Côte d"Opale; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville; 50, rue Ferdi-

nand Buisson BP 699; 62 228 Calais cedex; France 1

CRPEPG32014

Affirmation 4Le prix de250grammes de mélange est1,90=. Faux! - Le prix d"arabica contenu dans le mélange est de0,452,00== 0,90=; - le prix de robusta contenu dans le mélange est de0,551,80== 0,99=. Le prix total du mélange est ainsi de0,90=+ 0,99== 1,89= = 1,90=.

Remarque. "Un mélange de café se compose de45%d"arabica et de55%de robusta" : il est supposé,

mais ce n"est pas dit que ces pourcentages sont massiques, mais celaaurait été bien de le spécifier car

les pourcentages auraient pu, dans ce contexte, être sur le prix,ou volumiques, ou ...

Affirmation 5

L"automobiliste va rattraper le cycliste à13h30min. Faux! À midi, le cylciste a parcouru la distance de5h15km/h= 75km.

Quand l"automobiliste démarre, à midi, il est donc séparé du cylciste d"une distance de75km, mais

il le rattrappe ensuite à la vitesse de90km/h?15km/h= 75km/h(vitesse de l"automobiliste par rapport au cylciste). L"automobiliste va donc rattrapper le cycliste en(75km)/(75km/h) = 1h.

Il sera donc13het non pas13h30min.

Affirmation 6

Toutes les arêtes de l"octaèdre sont de même longueur.. Vrai!SoitR=OA=OB=OC=OD=OS=OTle rayon de la sphère. -SOAest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,SA= 2R, -SOBest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,SB= 2R, -SOCest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,SC= 2R, -SODest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,SD= 2R, -TOAest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,TA= 2R, -TOBest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,TB= 2R, -TOCest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,TC= 2R, -TODest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,TD= 2R, -AOBest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,AB= 2R, -BOCest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,BC= 2R, -CODest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,CD= 2R, -DOAest un triangle isocèle rectangle enO, donc, par le théorème de Pythagore,DA= 2R.

Chacune des douze arêtes mesure donc

2R.

Exercice 2

1. (a) Les diviseurs de28sont1,2,4,7,14et28, doncf(28) = 1+ 2+ 4+7+ 14+28 = 56 = 228

et28est un nombreparfait. (b) Les diviseurs de12sont1,2,3,4,6et12, doncf(12) = 1+2+3+4+6+12 = 28>24 = 212 et12est un nombreabondant.

2. - Le plus petit entier naturel est1, le seul diviseur de1est1, doncf(1) = 1<2 = 21et1est un

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nombredéficient.1est donc le plus petit nombredéficient. - Il suit l"entier naturel2, les diviseurs de2sont1et2, doncf(2) = 3<4 = 22et2est un nombre déficient. - Il suit l"entier naturel3, les diviseurs de3sont1et3, doncf(3) = 4<6 = 23et3est un nombre déficient. - Il suit l"entier naturel4, les diviseurs de4sont1,2et4, doncf(4) = 7<8 = 24et4est un nombredéficient. - Il suit l"entier naturel5, les diviseurs de5sont1et5, doncf(5) = 6<10 = 25et5est un nombre déficient. - Il suit l"entier naturel6, les diviseurs de6sont1,2,3et6, doncf(6) = 12 = 26et6est un nombreparfait.6est donc le plus petit nombreparfait. - Il suit l"entier naturel7, les diviseurs de7sont1et7, doncf(7) = 8<14 = 27et7est un nombre déficient. - Il suit l"entier naturel8, les diviseurs de8sont1,2,4et8, doncf(8) = 15<16 = 28et8est un nombredéficient. - Il suit l"entier naturel9, les diviseurs de9sont1,3et9, doncf(9) = 13<18 = 29et9est un nombredéficient. - Il suit l"entier naturel10, les diviseurs de10sont1,2,5et10, doncf(10) = 18<20 = 210et10 est un nombredéficient. - Il suit l"entier naturel11, les diviseurs de11sont1et11, doncf(11) = 12<22 = 211et11est un nombredéficient. - Il suit l"entier naturel12, les diviseurs de12sont1,2,3,4,6et12, doncf(12) = 28>24 = 212 et12est un nombreabondant.12est donc le plus petit nombreabondant.

3. Soitpun nombre premier. Les diviseurs depsont1etp, doncf(p) = 1 +p <2p(on a bien

1 +p <2pou encore1< pcar le plus petit nombre premier est2) etpest un nombredéficient.

Denis Vekemans -3/6-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

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Exercice 3

Partie I

1.

2. Le quadrilatèreADEFpossède

- un angle droit enA(celui du triangle rectangleABC), - un angle droit enD(car(AF)//(DE)et(AF)(AD)induit(DE)(AD): quand deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l"une est perpendiculaire à l"autre), - et un angle droit enF(car(AD)//(FE)et(AF)(AD)induit(AF)(FE): quand deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l"une est perpendiculaire à l"autre), donc trois angles droits et est, par conséquent, un rectangle.

Le rectangleADEFest un carré si et seulement s"il possède deux côtés consécutifs de même longueur,

c"est-à-dire lorsqueAD=AF.

PosonsAD=AF=x cm.

Au vu des parallèles(DE)et(AB)et des sécantes(AC)et(BC), le théorème de Thalès donne CD

CA= (CECB=)DEAB.

En remplaçantCD=CA?AD= 10cm?x cm= (10?x)cm,CA= 10cm,DE=AF=x cm(car les côtés opposés d"un rectangle sont de même longueur) etAB= 6cm, on obtient 10?x

10=x66(10?x) = 10x

60?6x= 10x

60 = 16x

x=60

16=154

Conclusion.ADEFlorsqueAD=15

4cm. Denis Vekemans -4/6-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

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Partie II

1. - On trace le cercle de centreDpassant parE, ce cercle coupe le segment[DF]en un point que l"on

nommeA. - On trace le cercle de centreEpassant parDet le cercle de centreApassant parD, ces deux cercles se coupent en les points distinctsDet un autre que l"on nommeB. - Le cercle de centreEpassant parDcoupe le segment[EF]en un point que l"on nommeC. - On trace le cercle de centreCpassant parE, ce cercle coupe le cercle de centreDpassant parEen les points distinctsEet un autre que l"on nommeG. - Les droites(DB)et(EG)se coupent enH, centre du cercle inscrit du triangleDEF.

2. Le périmètre du triangleDEFestEI+ID+DK+KF+FJ+JE(carI[ED],J[FE]et

K[DF]).

- On sait déjà queDF= 13cm(la longueur de l"hypoténuse est donnée). - Le cercle est tangent enIà la droite(ED)(par propriété du cercle inscrit), donc(HI)(ED). Le cercle est tangent enJà la droite(EF)(par propriété du cercle inscrit), donc(HJ)(EF). Ensuite, le quadrilatèreEIHJpossède trois angles droits (enE, enIet enJ) et est donc un Denis Vekemans -5/6-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

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rectangle. CommeHI=HJ= 2cm(rayon du cercle inscrit), ce rectangle possède deux côtés consécutifs de même longueur et est donc un carré.

On déduitEI=EJ= 2cm.

- Les trianglesHIDetHKDsont isométriques car -HD=HD([HD]est un côté commun à ces deux triangles); -HI=HK= 2cm(rayon du cercle inscrit);

?HID=?HKD(en effet, le cercle est tangent enIà la droite(ED)(par propriété du cercle inscrit),

donc(HI)(ED)et?HID= 90°; le cercle est tangent enKà la droite(DF)(par propriété du cercle inscrit), donc(HK)(DF)et?HKD= 90°).

Il s"ensuit queDI=DK.

- De même que précédemment, on obtiendraitFK=FJ.

Ainsi, le périmètre du triangleDEFest

EI+ID+DK+KF+FJ+JE= 2cm+DK+DK+KF+KF+ 2cm

= 2cm+ 2(DK+KF) + 2cm = 2cm+ 2DF+ 2cm = 2cm+ 213cm+ 2cm = 30cm. Denis Vekemans -6/6-Mathématiques et sciences expérimentales et technologiequotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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