1) Droites orthogonales

a) Vecteurs orthogonaux Definition : deux vecteursu?et v? sont orthogonaux si et seulement si . 0uv=? ? b) Droites orthogonales

Definition :

- deux droites D et D" de vecteur directeurs u?et v? non nul sont orthogonales si les vecteurs u?et v? sont orthogonaux. - Si de plus elles sont sécantes, elles sont dites perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"une est orthogonale à l"autre Remarque : dans le plan, deux droites orthogonales à une même troisième sont paralleles, mais pas dans l"espace (prendre les axes du repere orthgononal.)

Proposition : Soit

Pun plan, A P? et une droite D P?. Il existe une unique droite D"de P passant par A et perpendiculaires à D.

2) Orthogonalité d"une droite et d"un plan

Remarque : existence d"une droite perpendiculaire à un plan.

P un plan

?sous espace de dimension 2, P possède un vecteur normal qui dirige toute droite orthogonale D... a revoir a) Definition Definition : Soit D une droite de E et P un plan de E. D est orthogonale à P si D est orthogonale à toute droite de P Autrement dit : D et P sont orthogonaux lorsque pour toutes bases (v?,w??)vectorielles de P?? on a : u?.v?=0 et u?.w?? = 0 avec u?vecteur directeur de D. Remarque : pour qu"une droite soit perpendiculaires à un plan, il suffit qu"elle soit perpendiculaires à deux droites secantes de ce plan b) Proprietes Soient deux droites D et D" distinctes et deux plan P et P" distincts.

Propriétés :

- Si D et D" sont paralleles, alors tout plan orthogonal à l"une est orthogonal à l"autre. - Si P et P" sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"un est orthogonale à l"autre

Preuve :

- Soit u? (resp. "u??) vecteur directeur unitaire de D (resp.D"). Alors "u u= ±? ??. Si P est dirigé par ( v?,w??) alors . 0 . 0 ". 0 ". 0 "

P D u v et u w

P D u v et u w P D

Si// " "P P P P? =?? ???, on pose (v?,w??) une base de vecteur unitaire. Soit D une droite perpendiculaire à P alors . 0 . 0 "P D uv et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ?? " . 0 . 0P D u v et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ??

Corollaire :

Si deux droites distinctes sont orthogonales à un même plan, alors elles sont paralleles. Si deux plans distincts sont orthogonaux à une même droite alors ils sont paralleles Si un plan P et une droite D?P sont orthogonaux à une même droite alors D et P sont paralleles. Proposition : Il existe une unique droite D passant par un point A de E donné et orthogonale à un plan P donné.

3) Plans perpendiculaires

Proposition : L"intersection de deux plans non parallèles et distincts est une droite. Preuve : par les equations de plan ou par les dimensions Definition : Deux plans P et P" de E sont dits perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Propriété : Un plan P est perpendiculaire à un plan P" si et seulement si il contient une droite

D orthogonale à P"

Preuve passer par les bases vectorielles

Proposition : Si deux droites secants non confondus sont perpendiculaires à un même plan P, alors l"intersection D des deux plans est orthogonale à P. Proposition : S P et P" sont non confondus, perpendiculaires d"intersection D, tout plan P"" orthogonal à D coupe P et P" en deux droites orthogonales

4) Application

a) Projection orthogonales sur un plan Soit P un plan de E. l"application qui a tout point M de E associe le pied de la perpendiculaire à P passant par M est appelée projection orthogonale sur P. b) Le plan mediateur d"un segment Soient A et B deux point distincts de E. l"ensemble P des points de E équidistants de A et de B est le plan orthogonal à (AB) passant par le milieu I de [A,B]. P est appelé le plan mediateur de [AB]. c) Theroeme des 3 perpendiculaires Theoreme : P un plan et A,B,C un triangle rectangle en B dans P. Soit D?E, D?P tel que ADB soit en triangle rectangle en A. Alors CBD est un triangle rectangle en B

Autrement dit :

[]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AD AB et AB BC BD BC? ? ? ? Exercice : montrer que les hauteurs issues de A et B d"un tetraede ABCD sont concourantes si et seulement si (AB) et (CD) sont orthogonalesquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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