Antilles Guyane 2016 Enseignement de spécialité Corrigé

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Antilles Guyane 2016 Enseignement de spécialité Corrigé

Antilles Guyane. 2016. Enseignement de spécialité. Corrigé

EXERCICE 1

Partie A

1) a)Représentons la situation par un arbre de probabilités.

A B 0,65 0,35 D D D D 0,08 0,92 0,05 0,95 b)La probabilité demandée estP?D?. D"après la formule des probabilités totales, P

D?=P(A)×PA?D?+P(B)×PB?D?

=0,65(1-0,08) + (1-0,65)(1-0,05) =0,65×0,92+0,35×0,95=0,598+0,3325=0,9305. P

D?=0,9305.

c)La probabilité demandée estPD(A). P

D(A) =P?A∩

P?D?=0,65×0,920,9305=0,6427arrondi à10-4.

D(A) =0,6427arrondi à10-4.

2)NotonsXla variable aléatoire égale au nombre d"ampoules sans défaut. La variable aléatoireXsuit une loi binomiale

de paramètresn=10etp=0,92(probabilité qu"une ampoule sortie de la machine A soit sansdéfaut). En effet,

•10expériences identiques et indépendantes sont effectuées;

•chaque expérience a deux issues à savoir " l"ampoule est sansdéfaut » avec une probabilitép=0,92et

" l"ampoule a un défaut » avec une probabilité1-p=0,08.

La probabilité demandée estP(X?9).

P(X?9) =P(X=9) +P(X=10) =?10

×0,929×0,08+0,9210

=0,8121arrondi à10-4.

Partie B

1) a)Soita?0.

P(T?a) =?

a 0 puis

P(T?a) =1-P(T?a) =1-?1-e-λa?=e-λa.

b)Soientaettdeux réels positifs. http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. PT?t(T?t+a) =P((T?t+a)∩(T?t))P(T?t)=P(T?t+a)P(T?t) e-λ(t+a) e-λt=e-λt-λa+λt =e-λa=P(T?a).

2) a)On sait queE(T) =1

λet doncλ=110 000=0,000 1.

b)P(T?5000) =e-0,000 1×5000=e-0,5=0,6065arrondi à10-4. c)La probabilité demandée estPT?7000(T?12 000). P T?7000(T?12 000) =PT?7000(T?7000+5000) =P(T?5000) =e-0,5=0,6065arrondi à10-4. P

T?7000(T?12 000) =0,6065arrondi à10-4.

Partie C

1)Ici,n=1000etp=0,06. On note quen?30puis quenp=60etn(1-p) =940de sorte quenp?5et

n(1-p)?5. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil95% est p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96? p(1-p)⎷n?

0,06-1,96⎷

0,06×0,94⎷1000;0,06+1,96⎷

0,06×0,94⎷1000?

= [0,0452;0,0748]. en arrondissant de manière à élargir un peu l"intervalle.

2)La fréquence d"ampoules défectueuses observée estf=71

1000=0,071. La fréquencefappartient à l"intervalle de

fluctuation et on ne peut donc remmettre en cause l"affirmationde l"entreprise. http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. EXERCICE 21)SoitΩle point d"affixe2. Soientzun nombre complexe puisMle point du plan d"affixez.

M?C?|z-2|=1?|z-zΩ|=1?ΩM=1.

Cest donc le cercle de centreΩet de rayon1.

2)Soitaun réel. Soientxun réel puisMle point deDd"abscissex. Les coordonnées du pointMsont(x,ax)puis

l"affixe du pointMestzM=x+iax.

M?C?|zM-2|=1?|x+iax-2|=1?|(x-2) +iax|2=1

?(x-2)2+ (ax)2=1?x2-4x+4+a2x2-1=0 ??a2+1?x2-4x+3=0(E). Puisquea2+1 > 0,(E)est une équation du second degré. Son discriminant est Δ= (-4)2-4×?a2+1?×3=16-12a2-12=4-12a2= -12? a 2-1 3? = -12? a-1 ⎷3?? a+1⎷3?

1er cas.Sia >1

⎷3oua <-1⎷3, alorsΔ < 0et donc l"équation(E)n"a pas de solution. Dans ce cas, le cercleCet

la droiteDn"ont pas de point commun.

2ème cas.Sia=1

⎷3oua= -1⎷3, alorsΔ=0et donc l"équation(E)a exactement une solution. Dans ce cas, le cercleCet la droiteDont exactement un point commun. La droiteDest alors tangente au cercleC.

3ème cas.Si-1

⎷3< a <1⎷3, alorsΔ > 0et donc l"équation(E)a exactement deux solutions. Dans ce cas, le cercle

Cet la droiteDont exactement deux points communs.

12345
-1 -2 -31 2 3 4 5-1 a >1 ⎷3 a=

1⎷3

-1⎷3< a <

1⎷3

a= -

1⎷

3a <-

1⎷

EXERCICE 3Partie A1)Soitxun réel non nul.

f(x) =xe1-x2=x×e×e-x2=x2 x×e×1ex2=ex×x2ex2.

Déjà, lim

x→+∞e x=0. Ensuite, d"après un théorème de croissances comparées, limx→+∞e x2x2=limX→+∞e

XX= +∞. Par

passage à l"inverse, on obtient lim x→+∞x 2 ex2=0. En multipliant, on obtient finalement limx→+∞f(x) =0×0=0. lim x→+∞f(x) =0.

2) a)Pour tout réelx,

f ?(x) =1×e1-x2+x×? (-2x)e1-x2? =e1-x2-2x2e1-x2=?1-2x2?e1-x2. b)Pour tout réelx,e1-x2> 0et donc pour tout réelx,f?(x)est du signe de1-2x2= -2? x 2-1 2? = -2? x-1⎷2?? x+1⎷2?

Le cours sur le signe d"un trinôme du second degré permet alors de dresser le tableau de variations def:

x-∞-1⎷21⎷2+∞ f?(x)-0+0- 0?e/2 f -?e/2 0 f?1⎷2? =1⎷2e1-? 1 ⎷2? 2 =e1/2⎷2=1,16...etf? -1⎷2? e

2= -1,16...

Partie B

1)Il semble queCgsoit au-dessus deCfsurRet queCfetCgait un point commun et un seul, à savoir leur point

d"abscisse1.

2)Soitx?] -∞,0]. Puisque la fonction exponentielle est strcitement positive surR, on af(x)?0etg(x)> 0. En

particulier,f(x)< g(x).

3) a)Soitx > 0.

f(x)?g(x)?xe1-x2?e1-x ?ln? xe1-x2? ?ln?e1-x?(carxe1-x2> 0ete1-x> 0) ?ln(x) +ln? e1-x2? ?1-x?ln(x) +1-x2?1-x ?ln(x) -x2+x?0?Φ(x)?0. b)Pour tout réelx > 0, ?(x) =1 x-2x+1=1+x(-2x+1)x=-2x2+x+1x.

Pour tout réelx > 0,Φ?(x)est du signe de-2x2+x+1. Le discriminant de ce trinôme estΔ=12-4×(-2)×1=9. Le

trinôme-2x2+x+1a deux racines distinctes à savoirx1=-1+⎷ 9 -2×2= -12etx1=-1-⎷ 9 -2×2=1. Le cours sur le signe

d"un trinôme du second degré montre alors que la fonctionΦ?est strictement positive sur]0,1[, strictement négative

sur]1,+∞[et s"annule en1. La fonctionΦest donc strcitement croissante sur]0,1]et strictement décroissante sur

Φ(1) =ln(1) -12+1=0.

On en déduit que pour tout réelx > 0,Φ(x)?Φ(1)ou encoreΦ(x)?0.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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