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Chapitre 3

Théorie des files d'attente

2

Qu'est-ce qu'une file d'attente

3

Exemples de files d'attente

System

Servers

Customers

Bank

Tellers

Customers

Hospital

Doctors, nurses, beds

Patients

Computer System

CPU, I/O devices

Jobs

ManufacturingSystem

Machines, workers

Parts

Airport

Runways, gates,security check-instations

Airplanes,travelers

Communicationsnetwork

Nodes, links

Messages,packets

4

Notations simplifiée de Kendall

2 5

Notations complète de Kendall (1)

6

Processus de naissance et de mort

a/ La probabilité d'une arrivée pendant un intervalle de temps ǻt est Ȝǻt, Ȝétant le nombre moyen des arrivées par unité de temps; b/ La probabilité d'un départ pendant un intervalle de temps ǻt est µǻt, µ étant le nombre moyen des départs par unité de temps; c/ La probabilité que plusieurs arrivées ou plusieurs départs aient lieu durant l'intervalle de temps ǻt est nul. 7

Processus des arrivées

Soit N(t)le nombre de client dans la file d'attente à la date t Soit f(n)=Prob (N(t)=n). Déterminer la loi de densitéf? Prob(N(t+ ǻt)=n) = Ȝǻt Prob(N(t)=n-1)+(1-Ȝǻt) Prob(N(t)=n) tn entnf fest la densité d'une loi de poisson de paramètre Ȝt 8 Temps de serviceSoit T la variable aléatoire qui représente le temps de service (le temps d'attente entre deux arrivées successif)

Déterminer la loi de T ?

g(ș+ǻș) = (1-Ȝtǻș) g(ș) t etg

T suit la loi exponentielle de paramètre Ȝt

3 9

Loi exponentielle (1)

10

Loi exponentielle (2)

Soit T

n l'instant auquel se produit la nième arrivée (avec T 0 =0). On a tnnnnnn etNTNtTNtTTtTT d

1 0)(Prob1 0)()(Prob1 Prob1Prob

111
11 M/M/1 12

Performances

•L: le nombre moyen de clients dans le système, •L q : le nombre moyen de clients en attente, •W: le temps moyen de séjour d'un client dans le système, aussi appelé temps moyen de réponse, •W q : le temps moyen d'attente d'un client

On a les lois de Little:

L=ȜW

L q = ȜW q 4 13

Équations d'équilibre (1)

1)(Prob 1 )(Prob )(Prob 1 1 1)(Prob 1 )(Prob

ntNttntNttntNttntNttnttN P O 14

Équations d'équilibre (2)

Si on néglige les termes en ǻt

2

1)(Prob )(Prob -1)(Prob )(Prob)(Prob

ntNntNntNtntNnttN 10011
ppdtdppppdtdp nnnn 15

Équations d'équilibre (3)

nn n p 1 1 16

Performance M/M/1

00 1 nn n n npnXL OPPO f 2 2 1 nnq pnL 1LW OPPO O q q LW 5 17

Exemple: Attente chez un médecin

Durée moyenne d'une consultation est 15 min

Le médecin donne des rendez vous toutes les 20 min 3 O L

On a Ȝ=3 et µ=4

Nombre de patient présent :

Attente moyenne :

heures 43 O q W 18

Distribution du temps de séjour

Dans une file M/M/1 FIFO en régime stationnaire, le temps de réponse d'un client arrivant alors que le système compte nclients est formé

1. de son temps de service T

1

2. de la somme des (n1)temps de service des clients le précédant

dans la file T 2 , ..., T n

3. du temps de service résiduel du client occupant le serveur T

n+1 Le temps de service étant exponentiel, il est sans mémoire et ce temps résiduel est un temps de service complet. S n+1 est distribué selon une loi d'Erlang n+1 (ȝ) (somme de n+1 exponentielles i.i.d.). 19

Distribution du temps de séjour

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