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TSI3 2021-2022
Chapitre 7 : Probabilité sur un univers
dénombrable et variables aléatoires discrètes.1 Probabilités sur un univers dénombrable
SoitEun ensemble.Eest dit dénombrable lorsqu"il peut s"écrire sous la forme EAE{xn,n2N}Définition 1 : ensemble dénombrableRemarque
Cela signifie que l"on peut énumérer un à un les éléments deEExemples 1
1.Nest dénombrable.
2.Zest dénombrable.
3.Z£Nest dénombrable.
4.Qest dénombrable.
5.Rn"est pas dénombrable.
6.Z£Rn"est pas dénombrable.Une expérience aléatoire sur un univers dénombrable est une expérience dont :
- on connait les issues possibles. L"ensemble des issues, appelé univers et notéest dénom- brable- on ne sait pas, avant la réalisation de l"expérience, laquelle des issues sera obtenue.Définition 2 : expérience aléatoire
On considère une expérience aléatoire et on notel"univers dénombrable associé. On appelle événement toute partie de.Définition 3 : événement Soitun univers dénombrable et soit (An) une suite finie ou infinie d"événements. On dit que (An) est un système complet d"événements lorsque : L esévénemen tss ontin compatiblesdeux à deux:8i6AEj,Ai\AjAE?.L esévénemen ts" recouvrent"t outl "univers: [AnAE.Définition 4 : système complets d"événements
Chapitre 7 1 Proba. sur un univ. dén. et VA discrètesTSI3 2021-2022
Exemples 2
Proposer quatre systèmes complets d"événements : deux finis et deux infinis dénombrables.2.O nl anceune infin itéde f oisune p ièced em onnaieet o nnot el af aceobt enue.
a.Décrire l"univers. b.Proposer trois événements de cardinal infini. c.Proposer quatre systèmes complets d"événements : deux finis et deux infinis dénombrables.3.O nconsidèr el "expériences uivante: on c onstruitun m otà p artirdes lett rest iréesau
hasardAouBet on s"arrête quand on veut.. a.Vérifier que l"univers est dénombrable. b.Proposer trois événements de cardinal infini. c.Proposer quatre systèmes complets d"événements : deux finis et deux infinisdénombrables.Une probabilité sur un univers dénombrableest une application deP(), l"ensemble des
événements, dans [0;1] et vérifiant :
-P()AE1. P ourt outesu ite( An) d"événements deux à deux incompatibles : P n2NAAEÅ1X
nAE0P(An)Définition 5 : probabilité sur un univers dénombrableExemple 3
On tire un nombre entier naturel non nul au hasard.!nest l"issue "le nombrena été tiré". Supposons qu"une probabilitéPsoit définie sur cet univers telle queP(!n)AE12
1.Vér ifierq u"ona bi enP()AE1.
2.C alculerla pr obabilitédes événemen ts:
a.A : "Le nombre tiré est pair". b.B : "Le nombre tiré est strictement inférieur à 5". c.C : "Le nombre tiré est supérieur ou égal à 10". d.D : "Le reste de la division euclidienne du nombre tiré par 3 est 1".Exemple 4
a.P(n)AEsinµ1n p1Ån. b.P(n)AE1n(nÅ1). Chapitre 7 2 Proba. sur un univ. dén. et VA discrètesTSI3 2021-2022
2.P eut-ondéfin irune pr obabilitéu niformesur N?Soitun univers dénombrable etAetBdeux événements sur cet univers tels queP(B)È0.
La probabilité deAsachantBest le réel :
P B(A)AEP(A\B)P(B)Définition 6 : prababilité conditionnelleRemarque
Cette définition se comprend si on l"illustre part un chemin sur un arbre de probabilité.Soitun univers dénombrable etAetBdeux événements sur cet univers tels queP(A)È0
etP(B)È0.Alors :
P B(A)AEPA(B)P(A)P(B)Propriété 1 : formule de BayesRemarque
Cette propriété se comprend aisément si on l"illustre part un chemin sur un arbre de probabilité. Chapitre 7 3 Proba. sur un univ. dén. et VA discrètesTSI3 2021-2022
Dans un arbre de probabilités, la probabilité d"un chemin est le produit des probabilités marquées sur ses branchesAutrement dit :
Si (An) est une suite d"événements telle quePµÅ1\
nAE0A6AE0 alors
PÅ1\
nAE0AAEP(A0)£PA0(A1)£PA0\A1(A2)£PA0\A1\A2(A3)£...Propriété 2 : formule des probabilités composées
Soitun univers dénombrable. Si (An) est un système complet d"événements de probabili- tés non nulles, alors la sérieXP(B\An) converge etP(B)AEÅ1X
nAE0P(B\An)AEÅ1X nAE0P An(B)P(An)Propriété 3 : formule des probabilités totales Soitun univers dénombrable etAetBdeux événements sur cet univers tels queP(B)È0.On dit queAetBsont indépendants si et seulement siPB(A)AEP(A).Définition 7 : événements indépendants
Remarque :
On aAetBindépendants si et seulement siP(A\B)AEP(A)£P(B).Soit (,P)un espace probabilisé dénombrable. SoitA1,A2, ...Anune famillefinied"événe- ments.On dit que les événements
{Ai}iAE1..nsont mutuellement indépendants si P(A1\A2\...\An)AEP(A1)£P(A2)£...£P(An).Définition 8 : événements mutuellement indépendants
Chapitre 7 4 Proba. sur un univ. dén. et VA discrètesTSI3 2021-2022
Exemples 5
1.O nl anceun dé p arfaità h uitf aces.O nnot eA1l"événement "la face obtenue est 1, 2,
7 ou 8",A2l"événement "la face obtenue est 2, 3, 6 ou 8" etA3l"événement "la face
obtenue est 3, 4, 5 ou 8". Montrer que ces trois événements sont mutuellement indépendants.2.O nl ancedeux dés pa rfaitsdiscer nables(l "unest r ouge,l "autree stbleu ).
S oitE1l"événement : "la face obtenue sur le dé rouge est paire". S oitE2l"événement : "la face obtenue sur le dé bleu est impaire". S oitE3l"événement : "la somme des faces obtenues est paire". Montrer que les événementsE1,E2etE3sont deux à deux indépendants mais ne sont pas mutuellement indépendants.Remarque :
Pourn¸3, le fait que les événements{Ai}iAE1..nsoient indépendants deux à deux n"implique
pas que les événements soient mutuellement indépendants, comme le prouve le contre-exemple précédent.Exemple 6 (exemple de synthèse)
Deux joueurs A et B lancent à tour de rôle une pièce truquée. Le joueur A commence et la pièce amène face avec la probabilitép2]0,1[. Le premier qui obtient Face gagne le jeu, qui s"arrête alors.1.Q uelleest la pr obabilitépou rqu ele j oueurA ga gnelors de son n -ièmelan cer?
2.Q uelleest la pr obabilitépou rqu ele j oueurA ga gne?
3.Q uelleest la pr obabilitépou rqu ele j eune s "arrêtep as?
4.Y a- t-ilu nev aleurde pqui assure que les deux joueurs ont la même probabilité de
gagner?2 Variables aléatoires discrètes
2.1 GénéralitésSoitun univers dénombrable.
Une variable aléatoire réelle est une application définie sur, à valeurs dans un ensemble