[PDF] Chapitre 7 : Probabilité sur un univers dénombrable et



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TSI3 2021-2022

Chapitre 7 : Probabilité sur un univers

dénombrable et variables aléatoires discrètes.1 Probabilités sur un univers dénombrable

SoitEun ensemble.Eest dit dénombrable lorsqu"il peut s"écrire sous la forme EAE{xn,n2N}Définition 1 : ensemble dénombrable

Remarque

Cela signifie que l"on peut énumérer un à un les éléments deE

Exemples 1

1.Nest dénombrable.

2.Zest dénombrable.

3.Z£Nest dénombrable.

4.Qest dénombrable.

5.Rn"est pas dénombrable.

6.Z£Rn"est pas dénombrable.Une expérience aléatoire sur un univers dénombrable est une expérience dont :

- on connait les issues possibles. L"ensemble des issues, appelé univers et notéest dénom- brable

- on ne sait pas, avant la réalisation de l"expérience, laquelle des issues sera obtenue.Définition 2 : expérience aléatoire

On considère une expérience aléatoire et on notel"univers dénombrable associé. On appelle événement toute partie de.Définition 3 : événement Soitun univers dénombrable et soit (An) une suite finie ou infinie d"événements. On dit que (An) est un système complet d"événements lorsque : L esévénemen tss ontin compatiblesdeux à deux:8i6AEj,Ai\AjAE?.

L esévénemen ts" recouvrent"t outl "univers: [AnAE.Définition 4 : système complets d"événements

Chapitre 7 1 Proba. sur un univ. dén. et VA discrètes

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Exemples 2

Proposer quatre systèmes complets d"événements : deux finis et deux infinis dénombrables.

2.O nl anceune infin itéde f oisune p ièced em onnaieet o nnot el af aceobt enue.

a.Décrire l"univers. b.Proposer trois événements de cardinal infini. c.Proposer quatre systèmes complets d"événements : deux finis et deux infinis dénombrables.

3.O nconsidèr el "expériences uivante: on c onstruitun m otà p artirdes lett rest iréesau

hasardAouBet on s"arrête quand on veut.. a.Vérifier que l"univers est dénombrable. b.Proposer trois événements de cardinal infini. c.Proposer quatre systèmes complets d"événements : deux finis et deux infinis

dénombrables.Une probabilité sur un univers dénombrableest une application deP(), l"ensemble des

événements, dans [0;1] et vérifiant :

-P()AE1. P ourt outesu ite( An) d"événements deux à deux incompatibles : P n2NA

AEÅ1X

nAE0P(An)Définition 5 : probabilité sur un univers dénombrable

Exemple 3

On tire un nombre entier naturel non nul au hasard.!nest l"issue "le nombrena été tiré". Supposons qu"une probabilitéPsoit définie sur cet univers telle que

P(!n)AE12

1.Vér ifierq u"ona bi enP()AE1.

2.C alculerla pr obabilitédes événemen ts:

a.A : "Le nombre tiré est pair". b.B : "Le nombre tiré est strictement inférieur à 5". c.C : "Le nombre tiré est supérieur ou égal à 10". d.D : "Le reste de la division euclidienne du nombre tiré par 3 est 1".

Exemple 4

a.P(n)AEsinµ1n p1Ån. b.P(n)AE1n(nÅ1). Chapitre 7 2 Proba. sur un univ. dén. et VA discrètes

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2.P eut-ondéfin irune pr obabilitéu niformesur N?Soitun univers dénombrable etAetBdeux événements sur cet univers tels queP(B)È0.

La probabilité deAsachantBest le réel :

P B(A)AEP(A\B)P(B)Définition 6 : prababilité conditionnelle

Remarque

Cette définition se comprend si on l"illustre part un chemin sur un arbre de probabilité.Soitun univers dénombrable etAetBdeux événements sur cet univers tels queP(A)È0

etP(B)È0.

Alors :

P B(A)AEPA(B)P(A)P(B)Propriété 1 : formule de Bayes

Remarque

Cette propriété se comprend aisément si on l"illustre part un chemin sur un arbre de probabilité. Chapitre 7 3 Proba. sur un univ. dén. et VA discrètes

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Dans un arbre de probabilités, la probabilité d"un chemin est le produit des probabilités marquées sur ses branches

Autrement dit :

Si (An) est une suite d"événements telle quePµ

Å1\

nAE0A

6AE0 alors

P

Å1\

nAE0A

AEP(A0)£PA0(A1)£PA0\A1(A2)£PA0\A1\A2(A3)£...Propriété 2 : formule des probabilités composées

Soitun univers dénombrable. Si (An) est un système complet d"événements de probabili- tés non nulles, alors la sérieXP(B\An) converge et

P(B)AEÅ1X

nAE0P(B\An)AEÅ1X nAE0P An(B)P(An)Propriété 3 : formule des probabilités totales Soitun univers dénombrable etAetBdeux événements sur cet univers tels queP(B)È0.

On dit queAetBsont indépendants si et seulement siPB(A)AEP(A).Définition 7 : événements indépendants

Remarque :

On aAetBindépendants si et seulement siP(A\B)AEP(A)£P(B).Soit (,P)un espace probabilisé dénombrable. SoitA1,A2, ...Anune famillefinied"événe- ments.

On dit que les événements

{Ai}iAE1..nsont mutuellement indépendants si P

(A1\A2\...\An)AEP(A1)£P(A2)£...£P(An).Définition 8 : événements mutuellement indépendants

Chapitre 7 4 Proba. sur un univ. dén. et VA discrètes

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Exemples 5

1.O nl anceun dé p arfaità h uitf aces.O nnot eA1l"événement "la face obtenue est 1, 2,

7 ou 8",A2l"événement "la face obtenue est 2, 3, 6 ou 8" etA3l"événement "la face

obtenue est 3, 4, 5 ou 8". Montrer que ces trois événements sont mutuellement indépendants.

2.O nl ancedeux dés pa rfaitsdiscer nables(l "unest r ouge,l "autree stbleu ).

S oitE1l"événement : "la face obtenue sur le dé rouge est paire". S oitE2l"événement : "la face obtenue sur le dé bleu est impaire". S oitE3l"événement : "la somme des faces obtenues est paire". Montrer que les événementsE1,E2etE3sont deux à deux indépendants mais ne sont pas mutuellement indépendants.

Remarque :

Pourn¸3, le fait que les événements{Ai}iAE1..nsoient indépendants deux à deux n"implique

pas que les événements soient mutuellement indépendants, comme le prouve le contre-exemple précédent.

Exemple 6 (exemple de synthèse)

Deux joueurs A et B lancent à tour de rôle une pièce truquée. Le joueur A commence et la pièce amène face avec la probabilitép2]0,1[. Le premier qui obtient Face gagne le jeu, qui s"arrête alors.

1.Q uelleest la pr obabilitépou rqu ele j oueurA ga gnelors de son n -ièmelan cer?

2.Q uelleest la pr obabilitépou rqu ele j oueurA ga gne?

3.Q uelleest la pr obabilitépou rqu ele j eune s "arrêtep as?

4.Y a- t-ilu nev aleurde pqui assure que les deux joueurs ont la même probabilité de

gagner?

2 Variables aléatoires discrètes

2.1 GénéralitésSoitun univers dénombrable.

Une variable aléatoire réelle est une application définie sur, à valeurs dans un ensemble

R.Définition 9 : variable aléatoire

Soit (,P)un espace probabilisé fini, etXune variable aléatoire réelle définie sur.

On noteX() l"image deparX.

On appelle loi de probabilité deX, et on notePX, la fonction P

X:½X()![0,1]

x7!P(XAEx)Définition 10 : loi de probabilité Chapitre 7 5 Proba. sur un univ. dén. et VA discrètes

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Soit (,P)un espace probabilisé dénombrable, etXune variable aléatoire réelle définie sur On appelle fonction de répartition deXl"application : F

X:½R![0,1]

x7!P(X·x)Définition 11 : fonction de répartition

Exemples 7

1.O nl anceune pièce ind éfiniment.O nnot eXle rang d"apparition du premier "pile".

a.Donner la loi de probabilité deX. b.Donner la fonction de répartitionXet représenter graphiquement cette fonction de répartition. répartition :FX(x)AE1¡1k

2pour toutx2[k;kÅ1[.

a.Donner la loi de probabilité deX. b.CalculerP(X>7) etP(X2[3;8[). répartitionFX(x)AE1¡13 kpour toutx2[k;kÅ1[. a.Donner la loi de probabilité deX. b.CalculerP(XÈ3) etP(26X67).Soitquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7