Problème 1 : nombres irrationnels

L"ensemble des nombres rationnels est notéQ.

On rappelle que tout nombre rationnel non nul peut s"écrire sous la forme pq , où p et q sont des entiers relatifs premiers entre eux. Un nombre réel est dit irrationnel s"il n"appartient pas àQ. Dans ce problème, on se propose de démontrer l"irrationalité de quelques nombres réels. Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Partie A : quelques exemples de nombres irrationnels 1. Soit nun entier naturel. Démontrer que siAEnn"est pas entier, alors il est irrationnel. 2. En déduire que si pdésigne un nombre premier, alorsAEpest irrationnel. 3.

Démontrer que le nombre

ln2ln3 est irrationnel. 4.

On rappelle que e =+1X

k=01k!. On se propose de démontrer que le nombre e est un nombre irrationnel. Pour cela, on fait l"hypothèse qu"il existepetq, entiers naturels non nuls, tels que e=pq et on démontre que cette hypothèse conduit à une contradiction.

Pour tout entier naturelnnon nul, on pose :

u n=n X k=01k!etvn=un+1nn! 4.1. Démontrer que les suites (un)n2Net(vn)n2Nsont adjacentes, puis montrer que : u qPartie B : une preuve de l"irrationalité de

On se propose ici de démontrer que le nombreest un nombre irrationnel. Pour cela, on fait l"hypothèse

qu"il existeaetb, entiers naturels non nuls, tels que=ab et on démontre que cette hypothèse conduit

à une contradiction.

Étant donnés un entier naturel non nulnet un réelx, on pose : P n(x) =xn(abx)nn!etP0(x) =1

Étant donné un entier natureln, on pose :

I n=Z 0 P n(x)sinxdx 1. 1.1. P ourun entier naturel nnon nul, exprimer la dérivée dePnen fonction dePn1. 1.2.

Calculer sup

x2[0,]

Pn(x)en fonction dea,betn.

1.3.

Démontrer que :

8n2N8x2RPn

ab x =Pn(x) 2/6

1.4.Démontrer que :

8n2NIn>0

1.5. Après avoir justifié que la suite de terme général n! a24b n tend vers 0, démontrer la conver- gence de la suite(In)n2Net déterminer sa limite. 2. P ourtout entier naturel k, la dérivée d"ordrekdePnest notéeP(k) n. Par définition,P(0) n=Pn. En distinguant les trois cas suivants, démontrer queP(k) n(0)etP(k) n ab sont des entiers relatifs : 2.1.

0 k n1

2.2.n k 2n

2.3.k¾2n+1

Pour le cas 2.2, on pourra utiliser la relation entreP(k) n(0)et le coefficient dexkdansPn(x). 3. 3.1. Démontrer que pour tout entier naturel n,Inest un entier relatif. On pourra procéder par intégrations par parties successives. 3.2.

Conclure quant à l"hypothèse =ab

Partie C : développement en série de Engel et applications 1.

Soit (an)n2Nune suite croissante d"entiers telle quea0¾2. Démontrer que la suite(Sn)n2Ndéfinie

par :

8n2NSn=n

X k=01a

0...ak

est convergente de limite inférieure ou égale à 1a 01. Sixdésigne la limite de la suite(Sn)n2N, on dit quexadmet un développement en série de

Engel. On noterax= [a0,...,an,...].

2. Soit x2]0,1]. On définit deux suites(xn)n2Net(an)n2Nen posantx0=xet :

8n2Nan=1+E1x

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