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Chapitre6
Morphologiemath´ematique
Chapitrer´edig´eparIsabelleBLOCH
6.1Introductionetpr´eliminaires
???,puis ?ou? op´eration
Compatibilit
95
96CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
l'originedel'espace1: param`etred'´echelle: ?dansundomaine???de ?de ?born´e ???born´e
Semi-continuit
D ?surdesensemblesde ??oudesfonctionsde ??dans ?est croissantesi: ??oudesfonctions de ??dans ?estextensivesi: estanti-extensivesi: ??oudesfonctionsde ??dans ?est idempotentesi: ??oudesfonctionsde ??dans ?sont o`u ??d´esignelecompl´ementairede ?dans ??(c'est-`a-dire
6.2.LESQUATREOP´ERATIONS97
valeurmaximale ?,ladualit´es'exprimepar: noninversibles). lespointssuivants: efficace. phologiques.
6.2Lesquatreop´erations
`aunespacediscret. ?signifiealorseffectuer?
98CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
6.2.2Erosionetdilatationbinaires
quicorrespond`al'additionvectorielle: ???(6.1) D ?(6.2) (6.3) o`u co¨ıncideavec lesformules6.2ou6.3): -elleestextensive( ?)silecentrede?appartient`a?, -elleestcroissante( deuxdilatationsparundisquederayon1.
6.2.LESQUATREOP´ERATIONS99
Lafigure6.1illustreceseffets.
D ?(6.4) ?(6.5) parrapport`alacompl´ementation: ??(6.6) -elleestanti-extensivesilecentrede ?appartient`a?, -elleestcroissante, avecl'intersection):
100CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
???(6.7)
Lafigure6.2illustreceseffets.
recalage).Envoiciquelquesexemples: ?(c'est-`a-direlescompo- santesconnexesde ?),commemaximar´egionaux delafonctiondistance; objets.
6.2.3Erosionetdilatationdefonctions
fectuerdedeuxmani`eres:
6.2.LESQUATREOP´ERATIONS101
(6.8) espacededimension D ?parun el´ementstructurant ?estlafonctiond´efiniepar: ?(6.9) -elleestextensivesilecentrede ?appartient`a?, -elleestcroissante,
Lafigure6.4illustreceseffets.
102CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
D ?parun´el´ement structurant ?estlafonctiond´efiniepar: ?(6.10) ?dansunvoisinage,d´efinipar?,de cepoint. -elleestdualedeladilatation, -elleestanti-extensivesilecentrede ?appartient`a?, -elleestcroissante,
Lafigure6.5illustreceseffets.
deladilatation`aunfiltrederanf (silevoisinagecomporte morphologiqueduterme. struturant
4-connexit´e,s'exprimeentoutpoint
?decoordonn´ees? ?delatramepar: calculerladilatation.
6.2.LESQUATREOP´ERATIONS103
pas). ?de ???dans tellesque ?estborn´e. D ?parunefonction ?estlafonction d
´efiniepar:
??(6.11) D ?parunefonction ?estlafonctiond´efinie par: ???(6.12) rantsbinaires(plans). desdeuxcˆot´esdel'´egalit´e.
104CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
6.2.4Ouvertureetfermeturebinaires
etd'unedilatation,appel´eeouverture. D ???(6.13) -elleestanti-extensive( ?????)5, -elleestcroissante( -elleestidempotente(
Onadeplus
?,etsi ??d´esignel'ouvertde lesstructurescommelefaitl'´erosion.
Lafigure6.6illustreceseffets.
D ??(6.14) -elleestextensive( -elleestcroissante,
6.2.LESQUATREOP´ERATIONS105
-elleestidempotente.
Onadeplus
?,etsi ??d´esigneleferm´ede ?(6.15)
Lafigure6.7illustreceseffets.
6.2.5Ouvertureetfermeturenum´eriques
D ?parun el´ementstructurant ?estd´efiniecommedanslecasbinairepar: ??(6.16) phologique.
Lafigure6.8illustreceseffets.
D ?par un
´el´ementstructurant
?estd´efiniecommedanslecasbinairepar: ???(6.17)
106CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
3). structurant.
Lafigure6.9illustreceseffets.
3).
6.3Cadretopologique
6.3.CADRETOPOLOGIQUE107
Danslasuite,onnote
?l'ensembledesferm´esde compacts,pourlatopologieusuellede D ?estengendr´eeparlafamille: o`u ??et?? D
´efinition16.Convergencedans
?:Unesuitedeferm´es? ??convergevers ???sipourtoutouvert? quiintersecte ?ettoutcompact?quin'intersectepas ?,ona:
Onmontrequelar´eunionde
?????dans D ??,not´ee ?estlar´eunion despointsd'adh´erence. D ?d'unensemble?dans ?estsemi-continuesup´erieurement (s.c.s.)sipourtout ?de?ettoutesuite??? ?de?convergeantvers?:
L'intersectionde
?????dans s.c.i., -l'applicationde ????dans ?qui`a? ?associe ?ests.c.s., -demˆeme,l'applicationde ??dans?qui`a???? ?associe ?ests.c.s., -l'applicationde ????dans ?qui`a? ?associe ??ests.c.s., -demˆeme,l'applicationde ??dans?qui`a???? ?associe????ests.c.s., -l'applicationde ????dans ?qui`a? ?associe ??ests.c.s., -demˆeme,l'applicationde ??dans?qui`a???? ?associe??? ?ests.c.s. D ?estengendr´eeparlafamille: o`u ???et??
108CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
?,et
´equivalentesur
D ?et??est d
´efiniepar:
o`u ?o`u ?estladistance euclidienneclassiquesur
6.4Cadrealg´ebrique
6.4.1Treillis
D ???)etuneborneinf´erieure(not´ee ???).Untreillis
L'ensembledesfonctionsde
??dans D ?estsemi-continuesup´erieurementen ?si: o`u ??estunvoisinagede ?dans ??dans ?,onassociesonsous-graphe
L'ensembledesfonctionss.c.s.de
??dans
6.4.CADREALG´EBRIQUE109
commenousl'avonsvudanslapartie6.2. sous-graphessontdesensemblesde D
´efinition24.Dansuntreilliscomplet
unefonction ?(6.18) o `u ?sur?quicommuteavecl'inf,c'est-`a-dire telleque: ???(6.19) D
´efinition25.Unepaired'op´erateurs
??sur?estuneadjonctionsiestseulementsi: ???(6.20) -si ??estuneadjonction,alors ?estune´erosionalg´ebriqueet ?estunedilatationalg´ebrique; -unop´erateurcroissant ?telque? soituneadjonction; -unop´erateurcroissant ?telque? soituneadjonction;
Surletreillisbool´eendespartiesde
??ou?
110CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
6.4.4Ouvertureetfermeturealg´ebriques
D Si ?(6.21)
Deplus,
??et
6.5Cadreprobabiliste
6.5.1Ensemblesferm´esal´eatoires
D ???sur ?engendr´eeparlesouverts delatopologieentoutouriensur ?,c'est-`a-direparles ??etles ??pourtouslescompacts?de?ettousles ouverts ?de?: al´eatoire. D ?,not´e ?estd´etermin´e parladonn´eed'uneprobabilit´e ?sur? D estlafonctionnelle???? ?d´efiniepar: ?.On
6.5.2Unexemple:lesch´emabool´een
SoitunprocessusdePoisson
???d'intensit´e?(? duprocessustombentdans ?vaut: ?????(6.22) avec ?,o`u ?sontdisjoints,alors ??etdans? ?sontind´ependantes(voirchapitre4, section4.5). ?.Lesch´emabool´een d'intensit´e?etdegrainprimaire ??estalorsd´efinipar: ?(6.23) o`ules ??ettranslat´esauxpointsduprocessusde ?estfini,pour (6.24) o`u
6.6.1Mesures
quand donnantlasurfacede ?(o`u? ?estunsegmentdelongueur ?dansunedirection?)quand ?varie,permet l'espacevarie.
6.6.2Erod´eultime
?.Plusformellement,l'´erod´eultime d'unensemble ?estd´efinipar: ?(6.25)
112CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
o`u ?d´esignel'´erod´ede ?detaille?et intersectionnonvideavec
L'´erod´eultimed'unensemble
l'int´erieurde ?(distancedespointsde ?`a
6.6.3Rehaussementdecontraste
d'unefonctionmajorante ?etdedeuxparam`etres?et ?telsque? ?et?? ??.Ler´esultat ?decette suivantlar`eglesuivante: ??si?? si?? ??si?? avec??? encorel'ouverturede ?(resp.dilatationoufermeture). et6.5.
6.6.4Gradientmorphologique
Soit continuparlafonction ?suivante: etdanslecasdiscretpar:
FIG.6.11-Exempledegradientmorphologique.
6.7.1Filtresaltern´ess´equentiels
?s'exprimecomme:
6.7.2Filtresauto-duaux
detelfiltre. ?par: ??(6.26)
114CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
o`u ?d´esignel'identit´e. alg´ebrique.
6.7.3Chapeauhaut-de-forme
?estd´efinie,aussibienencontinuqu'en discret,commelafonction: de l'´el´ementstructurant.
6.7.4Granulom´etries
culesdetaillesdonn´eescroissantes. D ?departiesde ??estunefamillede fonctionsparam´etr´ees ??(avec ?)d´efiniessur ?telleque: 1. ?(??anti-extensive), 2. ?(??croissante), 3. 4. ?d´efinitunegranu- lom´etrie.Onmontremˆemeque ?etla classedesensemblesde enplusgrosses. danslacourbe.
6.7.5Ouverturesurfacique
?estainsid´efiniepar: ?estconnexeet ?(6.27)
116CHAPITRE6.MORPHOLOGIEMATH´EMATIQUE
o`u ?d´esigneuneouverturepar??etquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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