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Morphologie mathématique
Squelette, squelette par zone d influence et ligne de partagedes eauxLuc Brun (d'apr
`es le cours de M. Coster)Morphologie math
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PlanSquelette (SK)Définitions propriétésLe squelette et les transformationsmorphologiques de baseConfigurations de voisinage et leséléments structurants bi-colorés,les transformations en tout ou rienAmincissement et épaississement,squelette et amincissementhomotopique, Points particuliersdu squeletteLa bissectrice conditionnelleSquelette par zone d'influence(SKIZ)
Segmentation par ligne de partage
des eaux (LPE)Approche par écoulement,LPE 1D par inondation,LPE 2D par inondation,Techniques de MarquageSwampingDynamique des bassinsLPE hiérarchiqueWaterfallDynamique des contours
Morphologie math
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Le squeletteBoule maximale :Une bouleB(x,ρ)est maximale dansXs'il n'existe pasB?(x?,ρ?)tel queB(x,ρ)?B?(x?,ρ?)?X
xx'Squelette :
Le squelette Sk (X) est l'union des centres des disques maximauxBcontenus dansX. En pratique les disques maximaux touchent∂Xen au moins 2 points. :∂X:Sk(X) x y r(y)Morphologie math´ematique - p.3/50
Propriétés du squeletteDans l'espace continu :Le squelette n'est pas une transformation croissanteLe squelette n'est pas une transformation continue (Le squelette est trèssensible au bruit)Le squelette est une transformation homotopique et idempotenteDiscontinuité de la squelettisation Homotopie
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Squelette et transformations morphologiques deAlgorithme de Lantuéjoul : Le squelette est l'union (pour tout lesλ >0) de
l'intersection (pour tout lesμ >0) de la différence entre l'érosion de X par λB, et de l'érosion de X parλBouverte parμB.Sk(X) =?
μEλB(X)-γμB(EλB(X))+
:XMorphologie math´ematique - p.5/50
Squelettes et résidusSquelette par ouverture (de Lantuéjoul)Sk(X) =?
iE iB(X)-γ1B(EiB(X))Érodés ultimes :Sk(X) =?
iU i(X) =? iE iB(X)-γRec(E(i+1)B(X) :EiB(X))Bissectrice conditionnelle :B(X) =?
iB i(X) =? iE iB(X)-δnB(E(i+1)B(X) :EiB(X))Morphologie math
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Squelette par Ouverture : Illustration
erosion ouverture residusMorphologie math´ematique - p.7/50
Érosion Ultime : Illustration
erosion ultimeerosion erosionerosion ouverture par reconstructionMorphologie math´ematique - p.8/50
Bissectrice conditionnelleRemarque :La bissectrice conditionnelle à un comportement intermédiaire entrel'ensemble des érodés ultimes et le squelette par ouverture. Elle dépend d'unparamètrenlié à la variation de taille des disques maximaux inscrits.
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Squelettes et Résidus : Récapitulatif
Sk(X) =?
iF i1(X)-Fi2(X)Résidus F1 F2Squelette par ouverture
érosion
ouverture unitaireRésidus ultimes
érosion
ouverture par reconstructionBissectrice
érosion
ouverture géodésiqueMorphologie math´ematique - p.10/50
Propriétés de la squelettisationDans le cas numérique,L'intersection des ouvertures parμBest remplacée par une ouverture avec
1B,le squelette par ouverture n'est pas connexe. La topologie (homotopie)n'est pas préservée.
?Le squelette homotopique est obtenu par amincissementFormes Squelette par ouverture
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Amincissements et épaississementLes amincissements et épaississement sont obtenus comme résidu detransformations bi-colorées.Amincissement :L'amincissement de l'ensembleXconsiste à enlever les points qui
correspondent à une configuration donnée. C'est le résidu morphologique entre l'image initiale et la transformation en tout ou rien correspondant à cette configuration.T(X) =X-ηT(X)Épaississement :L'épaississement d'un ensemble X consiste à ajouter les points correspondantà une configuration donnée.
T(X) =X?ηT(X)
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ExempleT=
ηB(X)θB(X)
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Exemple de séquence d'amincissement
r´esultat stable
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Amincissements et épaississements homotopiquesDéfinition :Un amincissement (épaississement) homotopique conserve la topologie del'ensemble de départ.Règles de construction des éléments bicolorésLe pixel central est à 1 (amincissement) ou 0 (épaississement)L'inversion de la couleur du point central ne doit pas modifier la topologie
associée inversion inversionTransformation homotopique
Transformation non homotopique
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Squelettes par amincissementsDéfinition :Le squelette par amincissement utilise une famille d'éléments structurants qui
préservent l'homotopie (M, L ou D). La famille est obtenue par rotation de la configuration L, M ou D. L'amincissement s'arrête lorsqu'il n'y a plus de modification des pixels de l'image. SkL(X) = (θL(X))∞= (X-ηL(X))∞Afin d'amincir dans toutes les directions il nous faut une famille d'élémentsstructurants se déduisant les un des autres par rotations.Pour une maille carré on obtient 8 éléments avec une rotation deπ
4. Pour une maille triangulaire on a 6 éléments avec une rotation deπ 3.Morphologie math
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Exemple avec l'élément L en 8 connexitéOn a 8 élémentsL1,...,L81L(X) =θL8(...θL3(θL2(θL1(X))))
L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8Morphologie math´ematique - p.17/50
Différentes familles d'éléments structurants (1/2)En 6 connexitéFamille
Amincissement
LSquelette homotopique L : Lskel
MSquelette homotopique M : Mskel
DSquelette homotopique D : Dskel
EÉbarbage
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Différentes familles d'éléments structurants (2/2)En 8 connexitéFamille
Amincissement
LSquelette homotopique L : Lskel
MSquelette homotopique M : Mskel
EÉbarbage
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Exemples en 6 connexité
Lsk(X)Msk(X)
Dsk(X)Lsk(X)Ébardé parE.
Morphologie math
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Exemples en 8 connexité
Lsk(X)Msk(X)Lsk(X)ébardé parE.
Morphologie math
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Points particuliersLes points particuliers d'un squelette sont les points ayant moins ou plusde deux voisins.Les points extêmes (arité 1),Les points multiples (arité≥3)Point extrême
Point multiple
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Détection des points particuliersEn maille triangulaireFamille
Points particuliers
EPoints extrêmes
FPoints triples
F'Points triples
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Détection des points particuliersEn maille 8 connexeFamille
Points particuliers
EPoints extrêmes
FPoints multiples
F'Points multiples
F"Points multiples
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Squelette par zone d'influence (SKIZ)Squelette (SK)Définitions propriétésLe squelette et les transformationsmorphologiques de baseConfigurations de voisinage et leséléments structurants bi-colorés,les transformations en tout ou rienAmincissement et épaississement,squelette et amincissementhomotopique, Points particuliersdu squelette
La bissectrice conditionnelleSquelette par zone d'influenceApproche par écoulement,LPE 1D par inondation,LPE 2D par inondation,Techniques de MarquageSwampingDynamique des bassinsLPE hiérarchiqueWaterfallDynamique des contours
Morphologie math
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Squelette par zone d'influence (SKIZ)Soit un ensemble X composé d'objets disjoints. A chaque objetXion peut
associer une zone d'influenceYi, telle que chaque point y deYiest plus proche deXique de tout autre objetXj(i?=j). Yi={y|?j?=i,d(y,Xi)< d(y,Xj)}Le squelette par zone d'influence (ou SKIZ) de X, notéSkiz(X), est par
définition le complément de l'union de tout lesYi(zones d influence);