Loi de Planck : gaz de photons à l’équilibre thermique

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Université Grenoble Alpes. Master 1 Physique.

TD de physique statistique.

F rédéricF aure

.TD 9.Gaz de photons à l"équilibre thermique : loi de Planck.Références : [2, chap.7], [3, Chap.VI,p.818,p.919], [1, Tome II, chap.13, p.235]. Les mots

entourés de couleurs dans ce document pdf ont un h yperlienv erswikip edia

Table des matières

1 Loi de Planck : gaz de photons à l"équilibre thermique

1.1 Introduction

1.2 Loi de Planck, 1900.

1.3 Le rayonnement du Soleil

1.4 Loi du déplacement de Wien

2 Nombre de photons par mètre cubes et "photons fossiles" dans l"univers

1 Loi de Planck : gaz de photons à l"équilibre thermique

vidéo de la solution

1.1 Introduction

Soit un volumeVfixé, qui contient ungaz de photons à l"équilibre thermo dynamiqueà la températureTfixée. Cela signifie que ces photons sont en contact avec de la matière qui est à la températureT, car il n"y a pas d"interaction directe entre les photons pouvant donner l"équilibre thermique. La distribution d"énergie de ces photons étudiée ici s"appelle laloi de Planckouspectre du corps noir.L"allure de ce spectre dépend de la températureT. La position du maximum

de ce spectre par rapport à l"intervalle des fréquences visible explique la couleur apparente du

gaz de photons.Exemple 1.1. 1 -A la surface du Soleil (blanc-jaune), le magma a l atemp ératureT= 60000K. L"étoile

Bételgeuse

qui est rouge a une temp ératureT= 2400K. L"étoile Bellatrixqui est bleue a la température de surfaceT= 22000K. Dans un four, on p euta voirT= 6000K. Cf [3, p826-917] pour une barre de fer. Le forgeron a des tables de couleurs , lui donnant la température, à partir de la couleur observée. Le ra yonnementfossile de l"univ ers suit la loi de P lanckp ourT= 2,725K±0.002. Attention, ce gaz de photons n"est pas à l"équilibre thermique car il ne subit plus d"in- teractions. Il ne s"agit donc pas d"une "véritable température".

1.2 Loi de Planck, 1900.

On va établir la loi de Planck qui donne la densité d"énergieu(ω)(par intervalle de fréquence

et par unité de volume) d"un gaz de photons à l"équilibre thermique à la températureT. Pour

cela il faut considérer une théorie quantique du champ électromagnétique ("théorie quantique

des champs"). 1.

Co nsidérantl"équation d"ondes p ourle

c hampélectro magnétique "classique" ∂2t⃗E= c

2∆⃗E(idem pour⃗B) appliqué à une onde plane⃗E=⃗E0ei(ωt+⃗k.⃗x)déduire que la fonc-

tion Hamiltonien

1estω

⃗x,⃗k =c ⃗k sur l"espace des phases ⃗x,⃗k ∈R3×R3(aussi appelée "relation de dispersion"). 2. Une onde plane (c hampclassique de la question 1) est comme un oscillateur harmonique classique de fréquenceω. (Réf : Voir ce coursd"in troduction,c hap2,section 2.2.4 , ou ce [ 4 ]). D"après la quantification du champ électromagnétique , il faut le décrire par un oscillateur harmonique quantique, i.e. par des états quantiqueφω,Nd"énergieEω,N= où le niveau entierN∈Nest appelé le nombre de photons. Pourquoi peut-on dire que les photons sont des bosons? 3.

L aloi de Boltzmann, stipule q uel"état φω,Napparaît avec la probabilitéP(φω,N) =

ωexp

-Eω,NkT . Appliquant la mesureRd⃗xd⃗k(2π)3sur les modes du champ classiques dans l"espace des phases, associée à la loi de Weyl et sans oublier les deux états de polarisa- tions, montrer que l"énergie totale moyenne du gaz de photons à températureTdéfinit par ⟨E⟩= 2Zd⃗xd⃗k(2π)3X

N≥0E

ω,NP(φω,N)

peut s"écrire sous la forme ⟨E⟩=VZ 0 u

T(ω)dω

avec la densité d"énergie par unité de volumeuT(ω)dωque l"on explicitera. Exprimer la densitéu0(ω)àT= 0K qui s"appelledensité d"énergie du vide. Montrer que la différence est v 2c3 -1 appeléeloi de Planck. 4. Ca lculerl"énergie v olumiquedu vide quan tiqueélectromag nétiquedans l"in tervallede

fréquence visibleλ∈[0.4µm,0,8µm].1. Pour comprendre pourquoi on l"appelle fonction Hamiltonien, voir cec ours,c hapitre1.

1.3 Le rayonnement du Soleil

Le rayonnement du Soleil a un spectre dont la composition est voisine de celle d"un "corpsquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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Loi de l'émission du rayonnement (loi de Planck): une