[PDF] 13 Combinatoire et probabilit´es - Université Laval



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13 Combinatoire et probabilit´es - Université Laval

1.3. COMBINATOIRE ET PROBABILIT´ES33

1.3 Combinatoire et probabilit´es

Lacombinatoire(ouanalyse combinatoire) est l"´etude des ensembles finis du point de

vue du nombre de leurs ´el´ements. Elle porte sur le d´enombrement de configurations d"objets

satisfaisant des conditions donn´ees. La combinatoire sert d"outil dans plusieurs probl`emes

´el´ementaires enth´eorie des probabilit´es, domaine des math´ematiques qui trouve son origine

dans l"´etude des jeux de hasard.

1.Deux principes de comptage.

Les deux principes suivants jouent un rˆole fondamental en combinatoire.

Principe d"addition :

Soit deux ensemblesAetBcontenant respectivementmetn´el´ements et tels que A∩B=∅. Alors l"ensembleA?Bcontientm+n´el´ements.

Principe de multiplication :

Soit deux ensemblesAetBcontenant respectivementmetn´el´ements. Alors l"ensemble

A×Bcontientm·n´el´ements.

Il va de soi que chacun de ces principes peut se g´en´eraliser `a un nombre fini quelconque d"ensembles. Ainsi, dans le cas du premier, siA1 ,A 2 ,...,A k forment une partition de l"ensembleE, alors #E=#A 1 +#A2 +···+#A k Le premier principe affirme essentiellement que le tout est la somme de ses parties. Quant au second, il peut ˆetre vu comme une cons´equence de l"autre. En effet, siA= {a 1 ,a 2 ,...,a m }, alorsA×Bpeut se partitionner enmensemblesE 1 ,E 2 ,...,E m ,o`u Ei ={(a i ,b):b?B}. ChaqueE i comprenantn´el´ements, on a #(A×B)=#E 1 +#E 2 +···+#E m =n+n+···+n(mfois le termen) =m·n. Le principe additif peut se g´en´eraliser de la fa¸con suivante :Si#A=met#B=n, alors#(A?B)≤m+n(avec ´egalit´e lorsqueA∩B=∅).Exemples:

(a) J"ai dans ma biblioth`eque 50 livres de math´ematiques en fran¸cais et 40 livres de math´ema-

tiques en anglais (et aucun dans une autre langue). Je peux donc y choisir un livre de math´ematiques de 50 + 40 = 90 fa¸cons diff´erentes.

(b) Mon coll`egue de travail poss`ede 30 livres de math´ematiques en fran¸cais. Sinrepr´esente

le nombre de livres math´ematiques fran¸cais qui peuvent ˆetre consult´es dans nos deux bureaux, alors 30≤n≤80, puisque un exemplaire du mˆeme livre pourrait se retrouver dans chacune de nos deux biblioth`eques.

(c) En lan¸cant une pi`ece de monnaie et un d´e, on peut obtenir 2·6=12r´esultats diff´erents :

(p,1),(p,2),(p,3),(p,4),(p,5),(p,6), (f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5),(f,6), o`uprepr´esente "pile" etf"face".

34CHAPITRE 1. UN COFFRE D"OUTILS

Les principes de comptage pr´ec´edents sont souvent exprim´es en termes de choix : ´Etant donn´e deux piles d"objets, si un objet peut ˆetre choisi dans la premi`ere dem fa¸cons et aussi un objet choisi dans la seconde denfa¸cons, alors le choix d"un objet de l"une ou l"autre des piles peut se faire dem+nfa¸cons. ´Etant donn´e deux piles d"objets, si un objet peut ˆetre choisi dans la premi`ere dem fa¸cons et aussi un objet choisi dans la seconde denfa¸cons, alors le choix de deux objets, un dans chacune des piles, peut se faire dem·nfa¸cons.

Exemples:

(a)Montrer qu"`a partir d"un ensemble comprenantn´el´ements, on peut former2 n sous- ensembles.

SoitA={a

1 ,a 2 ,...,a n }.D´eterminer un sous-ensembleXdeArevient `a se demander, pour chaquei=1,2,...,n,sia i ?X. Mais pour chaque ´el´ementa i deA, on a deux possibilit´es:oubienonmeta i dansX, ou bien on ne l"y met pas. Et comme on r´ep`ete un tel choixnfois, on a donc

2×2×···×2

nfois =2 n sous-ensembles pouvant ˆetre form´es. L"arbre suivant illustre le processus pour le cas d"un ensembleA={a,b,c}`a trois ´el´ements. Pour chaquex?A, une fl`eche vers le haut indique qu"on prendx, et une fl`eche vers le bas indique qu"on ne le prend pas. a a bb c c c cb cc c c b (b)Trouver le nombre d"entiers positifs dont le d´eveloppement en basebcomprendkchiffres. Comme il y ab-1 possibilit´es pour le chiffre de gauche (0 ne peut y figurer) etbpour chacun des autres chiffres, le nombre total de tels entiers est (b-1)·b k-1 (c)Trouver le nombre de nombres impairs dont le d´eveloppement d´ecimal comprend quatre chiffres distincts. On s"int´eresse aux nombres impairs allant de 1000 `a 9999 dont les chiffres sont tous diff´erents. On a donc quatre choix `a faire. Il est plus commode de commencer par le chiffre des unit´es, pour lequel il y a 5 possibilit´es : 1,3,5,7 ou 9. Comme le chiffre des unit´es de mille ne peut ˆetre 0, il reste 8 choix possibles apr`es le choix du chiffre des

1.3. COMBINATOIRE ET PROBABILIT´ES35

unit´es. Le chiffre des centaines peut alors ˆetre choisi de 8 fa¸cons, quels que soient les deux

premiers choix, puis celui des dizaines de 7 fa¸cons. Il y a donc en tout 5·8·8·7 = 2240 nombres r´epondant aux conditions du probl`eme. (d)Trouver le nombre de nombres de 1 `a 1000 dont le d´eveloppement d´ecimal comprend une seule fois le chiffre 3. SoitE, l"ensemble de tous les nombres r´epondant `a la question et consid´erons la partitionquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2