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p listesarrangementspermutations Chapitre n 11 Dénombrement Thème 11A.p-listes, arrangements, permutationsChapitre n o11. Dénombrement1 Exercices d"introdution

Exercice 1 (Des cas usuels)

1.Combien y a-t-il de codes possibles pour une carte bleue?

?Réponse: 10

4.2.Combien y a-t-il de numéros de téléphone commençant par 0694?

?Réponse: 10

4.3.Combien y a-t-il de mots (ayant un sens ou non) de 5 lettres de l"al-

phabet occidental??Réponse: 26

5=11881376.Exercice 2

Pour son vélo, Toto possède un antivol à code qui est une succession de trois chiffres compris entre 0 et 9. Mais Toto a oublié son code.1.Combiendecombinaisonsdoit-ilessayerdans le pire des casavantde retrouver la bonne?2.Même question en supposant que Toto se souvient que son code (a)commence par le n o8 ;(b)se termine par un chiffre pair ; (c)ne contient que des chiffres pairs ; (d)ne contient que des chiffres impairs ; (e)contient au moins un chiffre pair ; (f)contient exactement un chiffre pair. ?Un corrigé de2.1.Toto doit essayer 10

3combinaisons au maximum.2.(a) 102; (b) 500 ; (c) 53=75 ; (d) 75 ; (e) 103-75=925 ; (f)

3×5×102=1500.?

Exercice 3

On veut placer huit boules dans onze boites numérotéss de 1 à 11. De combien de façon peut-on le faire si l"on met dans chaque coffre :1.au plus une boule et (a)les boules sont toutes différentes? (b)les boules sont identiques?

2.un nombre quelconque de boules (qui sont deux à deux distinctes)?

Exercice 4

Six chevaliers ontle choixde six tavernespourgiter ce soir. Ilschoisissent chacun une taverne au hasard. Déterminer le nombre de solutions pos- sibles si on suppose :(i)qu"il n"y ait aucune rencontre? (ii)que trois cavaliers se rencontrent et que les trois autres ne se ren- contrent pas?Exercice 5

grillée, 15 mangent des oeufs, 6 mangent des oeufs et de la viande grillée.1.Combien de patients mangent

(i)des oeufs ou de la viande grillée. (ii)des oeufs mais pas de viande grillée.

2.On constitue un groupe quatre patients parmi les 120 de l"échantillon. Dénombrer

les groupes tels que :(a)aucun des quatre patients ne mangent des oeufs ou de la viande grillée. (b)exactement trois patients mangent des oeufs mais pas de viande grillée. (c)exactement trois patients mangent des oeufs et de la viande grillée. Hypokhâgne B/L - 2010/20111/5Lycée Félix Éboué, le 23/03/11 Thème 11A.p-listes, arrangements, permutationsChapitre n o11. Dénombrement2 Applications, familles,p-listes

2.1 VocabulaireExemple 1 (Code)

Un code de carte bleue est la donnée de quatre chiffres numérotés (car l"ordre compte)C1,C2,C3,C4, éléments de {0,···,9}. On peut donc le voir comme une application de [[1;4]] dans {0,···,9}. Ré- ciproquement, toute application [[1;4]]u??{0,···,9}détermine un et un seul code :

(C1,C2,C3,C4), avecC1=u(1),···,C4=u(4).Définition 1 (p-liste)SoientUun ensemble etpun entier naturel. Unep-liste deUest une

application de [[1,p]] dansU.Construire unep-liste deUrevient à choisir l"imagex1de 1,·, l"image

x pdep. Il est équivalent de choisir unefamille(x1,···,xp) d"éléments de U. Construire unep-liste deUrevient à choisir choisir successivement (en tenant compte de l"ordre)péléments deU(avec repetitions possibles).Remarque 1 (Convention) U

0={?}, c"est-à-dire que?est la seule 0-liste deU(et Card(U0)=1).Exemple 2 (Suite numérique)

De même, une suite de scalaires (xn)n?Ndéfinit une application x:?N-→K i?→x(i):=xi.

On noteKNl"ensemble des suites à valeurs dansK.Proposition 2 (Nombre dep-listes)SiUest fini alors l"ensemble desp-listesUpest fini

et possède [Card(U)]péléments.Plus généralement, si Card(E)=pet Card(F)=nalors Card?FE?=np.Exercice 6 (Démonstration de la proposition)

On posen=Card(U) et on montre par récurence surp?0 que Card(Up)=np.1.Justifier que, lorsquep=0, les conventions concernantU0etn0sont cohé-

rentes.2.Que vaut Card(U1)?3.Hérédité: Soit un entierk?1.•On suppose que :Card(Uk)=nk(HR).•On souhaite montrer que :Card(Uk+1)=nk+1(CR).(a)Combien existe-t-il d"applications de [[1,k]] dansU?(b)Soit

[[1,k]]???U l"une d"elles. Combienfadmet-elle de prolongements à [[1,k+1]]?(c)En déduire (CR).

4.Conclure; puis étudier le cas particuliern=p.Remarque 2 (Autre formulation)

SoientEetJdeux ensembles.•On noteA(J,E) ouEJl"ensemble des applications deJversE.•SiEetJsont finis alorsEJest fini etCard(EJ)=Card(E)Card(J).SoientEetFdeux ensembles.Définition 3 (Application deEdansF)Lorsqu"à tout élémentxdeEon associe un unique élémenty=u(x)

deF, on dit qu"on définit uneapplicationudeEdansF. On note E u??F .Hypokhâgne B/L - 2010/20112/5Lycée Félix Éboué, le 23/03/11 Thème 11A.p-listes, arrangements, permutationsChapitre n o11. DénombrementDéfinir une applicationudeEdansFc"est associer, à chaque élémentx deE, un et un seul élémentu(x) deF. L"ensemble des applications deEdansFest notéFE.Exemple 3 (Application induite par une fonction)

La fonctionfdéfinit surRpar

f(x)=1x 2-1 induit une application deDf=R\{-1;1} dansR(qu"on note encoref).3 Injections et arrangements On considère deux ensemblesEetFainsi qu"une applicationEf??F .Définition 4 (Injection)

On dit quefest uneinjectionsi pour tousx,x??E,

f(x)?=f(x?) dès quex?=x?.Remarque 3 (Caractérisations d"une injection)

Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i)fest injective;(ii)Contraposée: pour tousx,x??E,

sif(x)=f(x?) alorsx=x?;(iii)tout élément deFadmetau plusun antécédent parf.Exercice 7 (Illustration)

Étudier l"injectivité des applications suivantes : c:?R-→R x?→x2;C:?R-→R x?→x3;α:?R-→R x?→|x|;Définition 5 (Arrangement)

Soient un entierp?1 et un ensembleU.

Unarrangementpàpdes éléments deUest une injection de [[1,p]]

dansU.Choisir un arrangementpàpdes éléments deUrevient à :•choisir unep-liste (x1,···,xp) deUoù lesxisont deux à deux dis-

tinctes;•c"est-à-dire : choisir successivement (en tenant compte de l"ordre)p éléments dansU, sans répétition.Proposition 6 (Nombre d"arrangements) On suppose queUest est un ensemble fini et on posen=Card(U). Le nombre d"arrangementspàpdes éléments deUne dépend que de netpet se noteApquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2