Chapitre 114 – Le mouvement d’une particule dans un champ[PDF] particule chargée dans un champ magnétique avec fr
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Exercices sur le mouvement d"une particule chargée dans un champ élec- trique ou dans un magnétique.S. Benlhajlahsen 4 3 2 1Sommaire
I Séparateur d"isotopes1
II Filtre de vitesse1
III Electron dans un piège de Penning2
IV Cyclotron3
V Réfraction électronique4
VI Identification de particules dans une chambre à projection temporelle 5 VIIGradient de champ magnétique (Centrale 2016) 7I Séparateur d"isotopes `=30 cm!BZone sou-
mise à un champ ma- gnétique! v0FIGURE1On considère le dispositif de la figure 1. Le jet contient des ions H +2et D+2ayant une vitessev0=1000 ms1. Ce jet estcylindrique de diamètred=1 mm. On désire obtenir, à la sortie, un jet constitué uniquement de D+2. Le champ magnétique
Best uniforme.
1.Retr ouverl"expr essiondu rayon de courbur eRde la trajectoire d"une particule de massem, de chargeqet de vitesse
v, en mouvement dans le champ!B. 2.En déduir el"intensité Bdu champ magnétique à appliquer pour que seuls les isotopes D+2franchissent l"ouverture
percée.Application numérique : mH+2=3,351027kg etmD+22mH+2.II Filtre de vitesse
Un faisceau de particules de chargesq<0 pénètrent avec une vitessev0dans un condensateur plan créant un champ
électrique uniforme orienté comme indiqué sur le dessin. La sortie du condensateur est diaphragmée (voir figure 2).
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M1r2Ma+
Ma- MaFIGURE21.Quels doivent êtr ela dir ectionet le sens d"un champ magnétique !Bà superposer à!Epour que le faisceau ait une trajectoire rectiligne et franchisse ainsi le diaphragme? 2. Exprimer l"intensité Bde ce champ en fonction deEetv0. 3.Ce champ magnétique étant appliqué, on modifie la vitesse vdu faisceau incident. Analyser la trajectoire du faisceau
suivant quev>v0ouvDes expériences récentes de physique atomique ont pu porter sur un électron unique. Le but de cet exercice est d"expliquer
sommairement comment il est possible de piéger un électron dans une toute petite région de l"espace par un "piège de
Penning". Grâce à un dispositif approprié, on crée dans une petite région de l"espace, au voisinage d"un pointO, un champ
électrostatique défini en coordonnées cartésiennes par :E(M) =U02R2x!uxy!uy+2z!uz
Ce champ s"applique à un électron de massemet de chargeeest mobile autour du pointO. 1.Montr erque Oest une position d"équilibre de l"électron et discuter de sa stabilité pour un mouvement le long de l"axe
(Oz)ou dans le plan(xOy). On poseraW2z=eU0mR2. Les données sont rassemblés dans le tableau 1.charge élementairee=1,61019C
masse de l"électronm=9,11031kgTension des électrodesU0=9,3 V
Rayon des électrodesR=4,8 mm
Champ magnétiqueB0=0,55 TTABLE1 - Données pour le piège de Penning 2.Pour stabiliser la trajectoir ede l"électr on,on superpose au champ électr ostatiqueprécédent un champ magnétique
uniforme, indépendant du temps et parallèle à l"axe(Oz),!B0=B0!uz. On poseWC=eB0m la pulsation cyclotron. (a)Montr erque le mouvement suivant Ozn"est pas modifié par rapport à celui de la question précédente.
(b)On étudie maintenant le mouvement pr ojetédans le plan (xOy). Pour l"équation du mouvement, on posera
r=x+iy. Montrer que l"électron n"est piégé que siB0est supérieure à une valeurBC. (c)Résoudr ealors l"équation en rsans chercher à déterminer les constantes d"intégration. La mettre ensuite sous la
forme : r(t) =K1exp(iWt)+K2exp(iW+t) où on donnera les expressions puis les valeurs numériques deWetW+.Remarque : On peut considérer le mouvement dans le piège comme la superposition de trois mouvements : une oscillation suivant l"axe(Oz).Page 2/8 entraînement ou dérive sur un cercle à la pulsation magnétronWmdans le plan(xOy).une rotation cyclotroniqueWCtrès inférieure àWm.(d)On donneenfigure3deuxtrajectoiresobtenuespourdifférentesconditionsinitiales.Quelsmouvementschacune
de ces deux courbes font-elles apparaître?•Oz xy•Oz xyFIGURE3 - Trajectoires obtenues par simulation numérique.IV CyclotronOn étudie un cyclotron destiné à accélérer des protons. Les protons sont injectés au centre avec une énergie cinétique
négligeable. Un générateur permet d"appliquer entre les deux "dee" une tension alternative à haute fréquence :uc(t) =
U csin(wt+j), créant un champ électrostatique uniforme!E=ucg !ux. On admettra que les protons sont accélérés une première fois sur la distancegavant de décrire le premier demi-cercle.g•FIGURE41.Quelle doit-êtr ela fréquence du champ électrique si on considèr ele mouvement d"un pr otonde masse mp=1,6
1027kg et de chargee=1,61019C dans un champB=1,5 T.
2.En négligeant l"épaisseur gde l"espace accélérateur, calculer le rayonrndunième demi-cercle décrit par les protons.
On suppose qu"à la sortie de la source, ils traversent l"espace accélérateur lorsqueu=Uc.Applications numériques
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