Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

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Chapitre 2

Limites et continuité pour une

fonction de plusieurs variables Vous devez repeindre les murs d"une pièce rectangulaire. Vous commencez par mesurer les longueurs des côtés de la pièce et obtenez environ 3m et 4m. La hauteur des murs est de

3m environ. Vous choisissez une peinture qui permet de couvrir 14m

2par litre. Vos mesures

vous permettent-elles de savoir à peu près le volume de peinture nécessaire à vos travaux?

Un pot d"un litre de peinture est vendu 40 euros. Pouvez-vous dire combien tout cela va-t-il vous coûter?

La différence entre les deux questions tient à la continuité ou la discontinuité des fonc-

tions qui entrent en jeu... Dans le chapitre précédent on a introduit les normes, qui jouent dansRnle rôle que joue la valeur absolue dansR. Cela nous permet d"introduire maintenant la notion de limite pour une suite de points dansRn. La définition est exactement de la même que dansR, en remplaçant simplement la valeur absolue par une norme. De la même façon, on pourra ensuite adapter à

des fonctions deRnla notion de continuité puis, modulo quelques difficultés supplémentaires,

la notion de dérivabilité au chapitre suivant.

2.1 Limites de suites dansRn

Définition 2.1.Soitkkune norme surRn. Soient(xm)m2Nune suite d"éléments deRnet l2Rn. On dit que la suite(xm)m2Ntend verslet on note x m!m!+1l si

8" >0;9N2N;8m>N;kxmlk6":

Autrement ditxmtend verslsi la quantité réellekxmlktend vers 0 au sens usuel. Sans surprise, on retrouve les mêmes propriétés de base que pour la limite d"une suite réelle :

Proposition 2.2.Soitkkune norme surRn.

(i)Unicité de la limite.Soient(xm)m2N2(Rn)N,l12Rnetl22Rn. Sixm!l1et x m!l2quandmtend vers+1, alorsl1=l2. (ii)Linéarité de la limite.Soient(xm)m2Net(ym)m2Ndeux suites d"éléments deRn. Soient l

1;l22Rn,;2R. Si

x m!m!1l1etym!m!1l2; 11 L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégralalors x m+ym!m!1l1+l2: Exercice2.1.Démontrer la proposition2.2 (ou au moins l"une des deux propriétés, la démonstration étant la même que pour les limites dansR). La définition de la limite d"une suite dépend du choix d"une norme surRn. Étant données deux normesN1etN2surRn, il se peut a priori que la suite(xm)m2Nconverge vers une limitelpour la normeN1mais pas pour la normeN2. Heureusement, cela ne peut pas se produire si les normesN1etN2sont équivalentes, et on a dit que surRntoutes les normes sont équivalentes. Ouf! Proposition 2.3.SoientN1etN2deux normes surRn. Soient(xm)m2Nune suite de points deRnetl2Rn. Alors on a N

1(xml)!m!10()N2(xml)!m!10:

On munit maintenantRnd"une norme quelconque, notéekk. Définition 2.4.On dit que la suite(xm)m2Nd"éléments deRnest de Cauchy si

8" >0;9N2N;8j;k>N;kxjxkk6":

Proposition 2.5.Rnest complet. Cela signifie que toute suite de Cauchy dansRnest convergente.

Démonstration.Voir le cours d"approfondissements mathématiques.Définition 2.6.SoitAune partie deRn. On appelle adhérence deAet on noteAl"ensemble

des points qui sont limites d"une suite d"éléments deA. Exemples2.7.Pourx2Rnetr >0, l"adhérence de la boule ouverteB(x;r)est la boule ferméeB(x;r).

L"adhérence deR2n f(0;0)gestR2.

2.2 Limite d"une fonction de plusieurs variables

On munitRnd"une norme notéekkRnetRpd"une norme notéekkRp. SoitDune partie deRnetfune fonction deDdansRp. Définition 2.8.Soita2Detl2Rp. On dit queftend verslenaet on note f(x)!x!al si

8" >0;9 >0;8x2 D;kxakRn6=) kf(x)lkRp6":

Remarque2.9.Comme pour la limite d"une suite, la limite d"une fonction en un point ne dépend pas du choix des normes surRnet surRp, qui sont des espaces de dimensions finies. Dans la suite on notera simplementkkau lieu dekkRnoukkRp. Cela n"amènera pas d"ambiguïté, mais attention tout de même à ne pas s"y perdre! Proposition 2.10.Soitf= (f1;:::;fp)une fonction d"un domaineDdeRnà valeurs dans R p(avecf1;:::;fpdes fonctions deDdansR). Soitl= (l1;:::;lp). Soita2D. Alorsfquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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