Chapitre 3 : Les annuités

Professeur : Abdelouhab HAMLIRI

Module: Mathématiques financières

Plan du cours

Chapitre 1 : Les intérêts simples

Chapitre 2 : Les intérêts composés

Chapitre 3 : Les annuités

Chapitre 4 : Les emprunts

FOMSLPUH D IHV ŃORL[ G·LQYHVPLVVHPHQP

Chapitre 3 : Les annuités

Section 1 : Généralités

Les annuités sont des sommes payées/reçues à des intervalles de temps réguliers et constants.

La période qui sépare deux paiements successifs est désignée par période. Elle peut être

formulée en année, semestre, trimestre ou mois. 9 9 pital (annuités de capitalisation ou annuités de placement) la valeur actuelle ou ou produit par chaque versement. Les annuités constantes sont des annuités dont la somme versée est constante, alors que les annuités variables sont des annuités dont le mon chapitre, il sera seulement question des annuités constantes).

On distingue généralement entre annuités constantes de début de période, dites annuités de

placement, et les annuités de fin de période, dites annuités de remboursement. I-

Formalisation

A la fin de chaque période on procède au a ». On cherche à calculer la valeur acquise " Va

trimestriels ou mensuels. On parle alors dans ce cas de semestrialités, trimestrialités ou

mensualités. 4

Rappel :

Principe de la suite géométrique

de raison q et de premier terme a: (1) L E H M E H M H M H M (2) H M L H M E H M H M H M H M (2) (1) H M F 5 L H M 3 H M F s L H M s 3 L H 5 5 avec M s

Généralisation pour

termes 3 L H 5 5 avec M s en posant q = (1+i)

On trouve

3 L H 5 5 5 5

Exemple :

Calculer à

la valeur acquise par annuités constantes de dh après le dernier versement. s E E s E E s E E s E E

SUHPLqUHSpULRGH

5 8 8 8 8 srr E srr H s s E srr H s s srr H s 3 L H 5 5

Aǀec

M s 6 srr H s s s s s F s L vxv s

Valeur acquise au moment du dernier versement

Définition

des annuités (Vn) exprimée immédiatement après le versement de la dernière annuité.

Si on note par:

Vn : la valeur acquise par la suite des annuités de de capitalisation 6 H s E E s s E E F s 6 H s E E s E

Application n°1 :

montant de 150.000,00dhs chaque année. y lors du dernier versement.

Corrigé :

On a :

6 H s E E s E

Donc :

6 swr rrr H s E r r{ s r r{ 6 t tyz {u{ vw

Application n°2 :

y de 9 ans, pour constituer à la date du dernier versement, un capital de 450.000,00dhs, sachant que le taux trimestriel est de 2%.

Corrigé :

On a: rrr L H s E r rt s r rt

Donc :

rrr L ws L z xww wr Valeur acquise à une date postérieure au dernier versement

Définition

La valeur acquise de

annuités de périodes après le dernier versement.

Si on note par:

6 la valeur acquise par la suite des annuités e de fin de période : le nombre de périodes après de le dernier versement 7

Application n° 3 :

Une entreprise place 10.000,00dhs le 31/12 de chaque année au cours des années N à N+9 incluse au taux d y y

Corrigé :

y On a: 6 H 5 5 6 sr rrr H s E r ru s ru Donc 6 xuz y{ y On a: 6 n H 5 5 s E E 6 8 sr rrr H s E r ru s r ru H s E r ru Donc 6 sxw rvu ts

Application n°4 :

On verse 900,00dhs par mois pendant 5 ans (taux mensuel 0,75%). La capitalisation des intérêts est mensuelle. y Calculer la valeur acquise 6 mois après le dernier versement.

Corrigé :

On a: 6 n H 5 5 s E E 6 {rr H s E r rrryw s r rrryw H s E r rrryw Donc 6 rys sv II-

Dans de le cas des annuités de début de période, les versements ont lieu au début de chaque

période. 8 (2) dans (1) H 5 5 s E E avec n=1 suivante : s E E H 5 5

Application n° 1 :

Calculer le capital constitué un an après le dernier versement, par une suite de 12 annuités

Corrigé :

On a s E E H 5 5 ty wrr H s E r r{ s r r{ H s E r r{ Donc xru ysz rz

Application n° 2 :

Quel doit être la valeur de 6 placements égaux effectués, au début de chaque trimestre pour

avoir une valeur acquise de 18 790,98 DH, si le taux annuel est de 5%?

Corrigé :

ODSUHPLqUHSpULRGH

/DIRUPXOHGHVDQQXLWpVFRQVWDQWHVHQILQGHOD

SUHPLqUHSpULRGH

9 k s E 0 - 1 1,22% On a:quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Ensemble-7-

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Formalisation

Rappel :

Principe de la suite géométrique

Généralisation pour

On trouve

Exemple :

Calculer à

SUHPLqUHSpULRGH

Aǀec

Valeur acquise au moment du dernier versement

Définition

Si on note par:

Application n°1 :

Corrigé :

On a :

Donc :

Application n°2 :

Corrigé :

Donc :

Définition

La valeur acquise de

Si on note par:

Application n° 3 :

Corrigé :

Application n°4 :

Corrigé :

Application n° 1 :

Corrigé :

Application n° 2 :

Corrigé :

ODSUHPLqUHSpULRGH

SUHPLqUHSpULRGH