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Limites de fonctions et asymptotes
1. Limite en +∞ou -∞p14. Limites et opérationsp7
2. Asymptotesp3
3. Lilite infinie en un point ap4
Limites de fonctions et asymptotes
1. Limites en ∞.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a; +∞[, a appartenant à ℝ.Chercher la limite de fx quand
x tend vers +∞, c'est étudier le comportement des réels fx quand on prend pour x des valeurs aussi grande que l'on veut. On observe trois types importants de comportement:1)Si pour
x assez grand, les images fx sont aussi grandes que l'on veut, on dit que fx tend
vers +∞ quand x tend vers +∞.On note alors:
limx∞ fx=∞fxM dès que xx0.Exemples:
limx∞x2=∞ limx∞ x=∞2)Si pour
x suffisamment grand, les images de fx sont aussi petites que l'on veut, on dit que fx tend vers -∞ quand x tend vers +∞. On note alors: limx∞fx=-∞ Limites de fonctions et asymptotesfxm quand xx0.Exemple: limx∞-x2=-∞
3)Si pour x suffisamment grand, les images
fx sont aussi proches d'un réel l que l'on veut, on dit que fx tend vers l quand x tend vers +∞. On note alors: limx∞fx=l. La droite d'équation: y=l est alors appelée asymptote horizontale à la courbe de f en +∞. l-fxl dès que xx0.Exemples:
limx∞ 1 x=0 limx∞1 x=0.Remarques:
-Certaines fonctions n'ont aucun de ces comportements en +∞. On dit alors que la fonction n'a pas de
limite en +∞. Par exemple: la fonction sinus n'a pas de limite en +∞. -Sif est définie sur ]-∞; a[, on définit de même des limites quand x tend vers -∞. On notera
limx-∞ fx une telle limite.Exemples: limx-∞x2=∞
limx-∞ x3=-∞ limx-∞6-1 x=6Limites de fonctions et asymptotes
2. Asymptotes.
Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a; +∞[La droite d'équation
y=axb est asymptote à la courbe représentative de f en +∞ s'il existe une fonction h telle que: pour tout x appartenant à ] a;+∞[, fx=axbhx et limx∞hx=0.Propriété: Soit
f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a; +∞[ La droite d'équation y=axb est asymptote à la courbe représentative de f en +∞ si et seulement si limx∞fx-axb=0.Preuve:
-Supposons que soit asymptote à c en +∞.Il existe dont une fonction h telle que pour tout x appartenant à ]a; +∞[, fx=axbhxoù
limx∞hx=0.Limites de fonctions et asymptotes
Alors fx-axb=hx donc limx∞fx-axb=0.
-Supposons que limx∞fx-axb=0. Posons hx=fx-axb pour x appartenant à ]a; +∞[.On a donc limx∞hx=0.
De plus, axbhx=axbfx-axb=fx pour
x appartenant à ]a; +∞[. Donc fx=axbhx avec limx∞hx=0.Donc est asymptote à c en +∞.
Remarques:
-Pour a=0, on retrouve le cas de l'asymptote horizontale. -On a, de même, que est asymptote à c en -∞ s'il existe une fonction h telle que fx=axbhx où limx-∞hx=0.Exemple: Soit la fonction
f définie sur ℝ* par fx=-x2x1 x.1.Démontrer que pour tout
x appartenant à ℝ*, fx=-x11 x.2.Déterminer les asymptotes en +∞ et en -∞ à la courbe cf représentative de la fonction
f.3.Préciser la position de cf par rapport à son asymptote.
Correction.
1.Soit
xℝ*, -x11 x=-x1x1 x=-x2x1 x=fx. D'où pour tout x appartenant à ℝ*, fx=-x11 x.2.Soit la droite d'équation y=-x1.
x--x1=1 x. limx∞ 1 x=0 et limx-∞ 1 x=0. D'où est asymptote à cf en +∞ et en -∞. x--x1=1 x. 1 x >0 pour x0 et 1 x0 pour x0. Donc est au dessus de cf pour x0 et est en dessous de cf pour x0.3. Limite infinie en un réel a.
3.1. Commençons par un exemple.
Soit f la fonction définie sur ℝ* par fx=1 x.Limites de fonctions et asymptotes
Les réels fx dépassent n'importe quel réel A aussi grand que l'on veut pourvu que x soit positif et assez proche de 0. On dit que f a pour limite +∞ à droite en 0 et on note limx0,x01 x=∞.De même, limx0,x01
x=-∞.3.2. Définition.
Si f est définie sur ]a-;a[ ou sur ]a;a[, ou sur leur réunion, on dit que fx tend vers +∞ quand x tend vers a si fx peut-être rendu aussi grand que l'on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a.Limites de fonctions et asymptotes
On définit de façon analogue le fait que fxtende vers -∞ quand x tend vers a.3.3. Propriété.
On admettra la propriété suivante.
Propriété:
-Si limxagx= 0+, alors limxa 1 gx=∞. -Si limxagx= 0-, alors limxa 1 gx=-∞.Exemples:
1)limx2x-22
=0+ d'où limx2 1 x-22=∞.2)limx3,x3x-3=0+ d'où
limx3,x3 1 x-3=∞, limx3,x3x-3=0- d'où limx3,x3 1 x-3=-∞d'où limx31 x-3 n'existe pas.3.4. Asymptote verticale.
Limites de fonctions et asymptotes
Définition:
Soit f une fonction, cf sa courbe représentative et a un réel. Lorsque la limite (ou la limite à droite, ou à gauche) de f en a est +∞ ou -∞, on dit que la droite d'équation x=a est asymptote verticale à la courbe cf. La courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ\{1} par fx=1 x-12 admet pour asymptote la droite d'équation x=1.4. Limites et Opérations
Soit f et g deux fonctions, l et l' deux réels, a désigne indifféremment un nombre réel, +∞ ou -∞.Limites de fonctions et asymptotes
4.1. Somme.limxa
fxlll+∞-∞+∞ limxa indéterminéeExemples:
limx∞ x23x=limx∞ x2limx∞ x-5x=limx-∞24.2. Produit.
limxa limxa gxl'+∞-∞+∞ ou -∞+∞-∞-∞ limxafgxll'+∞ si l0-∞ si l0-∞ si l0+∞ si l0Forme indéterminée+∞+∞-∞Exemple: limx∞x2
-31 x=∞×-3=-∞4.3. Inverse.
limxa limxa1 fx 1 l00+∞-∞Forme indéterminée4.4. Quotient.
limxa fxl0l≠0+∞ ou - ∞ limxa gxl'≠00-∞ ou +∞+∞ ou - ∞ limxa f gxl l'Forme indéterminée0Forme indéterminée.Limites de fonctions et asymptotes
Exemple:
limx∞21 x=2 et limx∞x2=∞ d'où limx∞21
x x2=04.5. Quelques règles.
On retiendra les règles suivantes, que l'on peut facilement démontrer grâce aux règles de calculs.