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Chapitre1
Ladivisioneuclidienneetses
cons´equences
1.1Ladivisioneuclidienne
M´ethodesalgorithmiques:
M´ethodena¨ıve:
Entrera≥0etb>0;
n←0;r←a;
Tantque(r>b)faire
r←r-b; q←q+1;
FaitRetournerqetr;
1 latailledea.
Recherchedichotomique
Entrera≥0etb>0;
n←0; n←n+1; Fait
α←2n-1;β←2n;
Pourkde1`an-1faire
Sinon FinSi
FinPourRetournerq=αetr=a-bq;
Tantque,onaunencadrementduquotientq:
log2(b)=O(ln(a)). 2 euclidiennedesentiersrelatifs.
1.2Sous-groupesdeZ
quieststableparadditionetsoustraction. g´en´erateur.
1.3Diviseurs
Proposition1.3.1.Poura?Zetb?Z,ilya ´equivalenceentreadivisebet bZ?aZ. Proposition1.3.2.a)Le g´en´erateurpositifddeaZ+bZestlePGCDdeaetb:c"est leplusgranddiviseurcommun`aaetb. Proposition1.3.3.a)Le g´en´erateurpositifdeaZ∩bZestlePPCMdeaetb:c"est lepluspetitmultiplecommun`aaetb.
1.4L"algorithmed"Euclide
Proposition1.4.1.Soient:a?Z,b?Z.Ona pourtoutm?Z:
PGCD(a,b)=PGCD(b,a-mb).
3
FonctionPGCD(a,b);
a←|a|;b←|b|;
Si(b>a)Alors
a↔b; FinSi
Si(restnul)Alors
Retournerb;
Sinon
RetournerPGCD(b,r);
FinSi
FonctionPGCD(a,b);
a←|a|;b←|b|;
Si(b>a)Alors
a↔b; FinSi
Tantque(bestnonnul)faire
a←b;b←r;
FaitRetournera;
1.5Th´eor`emedeBezout
deuxdiviseurspositifs:1etp. uncouple(u,v)telqueau+bv=1. 4 diviseundesfacteurs.
Equationax+by=c.
Proposition1.5.5.a)L"´equationax+by=cadessolutionssietseulementsi le
PGCDdeaetbdivisec.
sont:(x=x0-kb,y=y0+ka),k?Z.
Bezout
a←|a|;b←|b|;
Si(b>a)Alors
a↔b;
Si(restnul)Alors
Retourner(b,0,1);
Sinon (d,u?,v?)←PGCDE(b,r); u←v?;v←(u?-qv?);
Retourner(d,u,v);
FinSi
1.7D´ecompositionenfacteurspremiers
commeunproduitdefacteurspremiers. 5 en entr´eelesentiersinf´erieursou´egaux`aT[N]2;ensortieonobtientlesfacteurspremiers avecleurexposant.
1.8NombresdeFermatetdeMersenne
LesnombresdeFermatsont:
F n=22n+1,n≥1.
LesnombresdeMersennesontlesnombres:
M p=2p-1,avecppremier. 6
Chapitre1
Ladivisioneuclidienneetses
cons´equences
1.1Ladivisioneuclidienne
M´ethodesalgorithmiques:
M´ethodena¨ıve:
Entrera≥0etb>0;
n←0;r←a;
Tantque(r>b)faire
r←r-b; q←q+1;
FaitRetournerqetr;
1 latailledea.
Recherchedichotomique
Entrera≥0etb>0;
n←0; n←n+1; Fait
α←2n-1;β←2n;
Pourkde1`an-1faire
Sinon FinSi
FinPourRetournerq=αetr=a-bq;
Tantque,onaunencadrementduquotientq:
log2(b)=O(ln(a)). 2 euclidiennedesentiersrelatifs.
1.2Sous-groupesdeZ
quieststableparadditionetsoustraction. g´en´erateur.
1.3Diviseurs
Proposition1.3.1.Poura?Zetb?Z,ilya ´equivalenceentreadivisebet bZ?aZ. Proposition1.3.2.a)Le g´en´erateurpositifddeaZ+bZestlePGCDdeaetb:c"est leplusgranddiviseurcommun`aaetb. Proposition1.3.3.a)Le g´en´erateurpositifdeaZ∩bZestlePPCMdeaetb:c"est lepluspetitmultiplecommun`aaetb.
1.4L"algorithmed"Euclide
Proposition1.4.1.Soient:a?Z,b?Z.Ona pourtoutm?Z:
PGCD(a,b)=PGCD(b,a-mb).
3
FonctionPGCD(a,b);
a←|a|;b←|b|;
Si(b>a)Alors
a↔b; FinSi
Si(restnul)Alors
Retournerb;
Sinon
RetournerPGCD(b,r);
FinSi
FonctionPGCD(a,b);
a←|a|;b←|b|;
Si(b>a)Alors
a↔b; FinSi
Tantque(bestnonnul)faire
a←b;b←r;
FaitRetournera;
1.5Th´eor`emedeBezout
deuxdiviseurspositifs:1etp. uncouple(u,v)telqueau+bv=1. 4 diviseundesfacteurs.
Equationax+by=c.
Proposition1.5.5.a)L"´equationax+by=cadessolutionssietseulementsi le
PGCDdeaetbdivisec.
sont:(x=x0-kb,y=y0+ka),k?Z.
Bezout
a←|a|;b←|b|;
Si(b>a)Alors
a↔b;
Si(restnul)Alors
Retourner(b,0,1);
Sinon (d,u?,v?)←PGCDE(b,r); u←v?;v←(u?-qv?);
Retourner(d,u,v);
FinSi
1.7D´ecompositionenfacteurspremiers
commeunproduitdefacteurspremiers. 5 en entr´eelesentiersinf´erieursou´egaux`aT[N]2;ensortieonobtientlesfacteurspremiers avecleurexposant.
1.8NombresdeFermatetdeMersenne
LesnombresdeFermatsont:
F n=22n+1,n≥1.
LesnombresdeMersennesontlesnombres:
M p=2p-1,avecppremier. 6quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
Division Euclidienne et Division Décimale