[PDF] FICHE DE RÉVISION DU BAC - Studyrama

Quand la taille de l'échantillon augmente, la fluctuation diminue ; plus la taille de l'échantillon est grande, plus la distribution des fréquences de l'échantillon est proche de la distribution théorique des fréquences de l'expérience aléatoire.
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Quand la taille de l'échantillon augmente, la fluctuation diminue ; plus la taille de l'échantillon est grande, plus la distribution des fréquences de l'échantillon est proche de la distribution théorique des fréquences de l'expérience aléatoire.
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FICHE DE RÉVISION DU BAC

MATHÉMATIQUES - SERIES S / ES-L / STMG / STI2D / STL

ÉCHANTILLONNAGE - ESTIMATION

1

LE COURS

[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Note liminaire

Programme selon les sections :

- intervalles de fluctuation, intervalles de confiance : toutes sections

Prérequis

Notion de limite - fréquence (statistiques) - loi binomiale - loi normale centrée réduite

Plan du cours

1. Intervalles de fluctuation

2. Intervalles de confiance

1. Intervalles de fluctuation

Définitions :

ces n répétitions.

Ex : Si on lance 50 fois une pièce (

Intervalle de fluctuation :

- Un intervalle de fluctuation relatif aux échantillons de taille n au seuil de 95% est un intervalle qui a 95% de chances de contenir la fréquence f d'un Ġchantillon de taille n.

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MATHÉMATIQUES - SERIES S / ES-L / STMG / STI2D / STL

ÉCHANTILLONNAGE - ESTIMATION

2

LE COURS

[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Prise de décision :

avec le modèle.

Propriété :

Soit un échantillon de taille n, soit p la probabilitĠ associĠe au succğs d'une edžpĠrience.

L'interǀalle

est un intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

Conditions d'application :

Pour pouvoir calculer cet intervalle, il faut :

Remarque :

Calcul des bornes : on prend pour la borne inférieure la valeur approchée par défaut et pour la borne supérieure la

valeur approchée par excès.

Exemple :

On veut vérifier si une pièce est bien équilibrée. Pour un lancer de pièce, la probabilité de tomber sur " pile » est Pour 50 lancers, un intervalle de fluctuation au seuil de 95% est donc

On lance 50 fois la pièce et on obtient

(2 fois " pile » sur 50). f n'appartient pas ă I. La pièce est donc mal équilibrée.

Intervalle de fluctuation asymptotique :

Soit une variable aléatoire

suivant la loi binomiale

On pose

la variable aléatoire correspondant à la fréquence du "succès » ( peut prendre valeurs : Soit On appelle intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire au seuil l'interǀalle tel que : (plus n est grand, plus la probabilité que soit dans l'interǀalle se rapproche de

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ÉCHANTILLONNAGE - ESTIMATION

3

LE COURS

[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Propriété : On a :

et

Théorème :

Soit Z un variable aléatoire suivant la loi normale . Pour tout , il existe un unique réel tel que : est alors un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil

Cas particulier :

est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%

Conditions d'application :

Pour pouvoir calculer cet intervalle, il faut :

2. Intervalles de confiance

Estimation :

choisir de prendre un échantillon de taille n de cette population, et de relever dans cet échantillon la fréquence f

de cette caractéristique. À partir de f, on peut calculer un intervalle dans lequel se trouve p. (principe du sondage)

Intervalle de confiance :

Un intervalle de confiance

au seuil de 95% est un intervalle qui a 95% de chances de contenir la proportion p.

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ÉCHANTILLONNAGE - ESTIMATION

4

LE COURS

[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

L'interǀalle

est un intervalle de confiance au seuil de 95%.

Conditions d'application :

Pour pouvoir calculer cet intervalle, il faut :

Remarque :

L'amplitude de cet interǀalle est égale à : . Elle ne dépend donc pas de f.

Propriété :

est un autre intervalle de confiance au seuil de 95%.

Conditions d'application :

Pour pouvoir calculer cet intervalle, il faut :

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