Chapitre 1 - Ensembles de nombres

Chapitre1

Ensemblesdenombres

Enmat hématiquesnoussommesconfrontésàdenombreu xensemblesquireg roupent desobjets demê menature.Lesplus simplesd'entrese uxsontdesens emblesdeno mbres .Nousallonsétudiés certainespropriétésdecesd erniersdanscechapitre. Commenousall onsleconstat ercertainsnombres appara issentna turellementdansleviedetous lesjour s(notammentlorsq u'ils'agitdedénombrerdesquantitésdiver sesetvariées).Pourtantla constructionhistorique(d'unpoin tdevuemathématique)decesensemblesn'estpasforcément cellequel'o nimagine.

1.1Nomb resentiers

Lesno mbreslesplussimplesà manipu lersontlesnomb resentiers.Ilsappar aissent naturellement dèslor squel'onsouhait eénumér erdesquantité s(untroupeaude bêtesp arexemple). Définition1.1.1.L'ensembleNdésignel'ensemble desentierspositifs.Autrementdit,

N={0;1;2,...;100;...}

Remarque.Lesno mbresentierssontconnus depuisEuclide(env iron300av.J.C. ),lanotationNest introduiteparPeanoen1894et saconstr uctionformelleaétéétablie(demanièreindépendante) parPeano etDedekindàlafin du19èm esiècle. Ilpe ut-êtrecommodedetrouverune notationindiquantled éfautd'une quantité.Parexe mple, danslec ommerc e,lorsqu'unmarchanddoitdel'argen tàquelqu'un. Définition1.1.2.L'ensembledesentiersrelatif sZdésignel'ensemblede snombresentiers.Au- trementdit,

Z={...;!100;!4;!3;...;0;1;2...;100;...}

Remarque.Enpart iculier,N"Zcecisi gnifiequetouslesélémentsde Nsontégale mentdes 7

8CHAPITRE1.ENSEMBL ESDENO MBRES

étudieronslapropriétésdecesdeux ensembl esplusendétailsdu rantl'année. Lesno mbresentiersrelatifs( possédantéventuellem entunsigne"!»)appa raissentdansdes textesdumathém aticien sindienÂrybhata(476!550):i lsp ermettentd etraiterlanotiondedettes etde recettes. Cesnombressontégal ementprés entsdanslesécritsduperseA buI-Wa fa(940!998); enrev anche,ilfautattendreles travau xdeStevin(15 48!1620)p ourqu'ilsap paraisentenEurope. Lacon structionformelledecetteensembleestd enouveauobtenueparDedek ind(1831!1916)et lan otationZ(dumot allemandZahlensignifiantnombres)estpopulariséeparlemathématicien polycéphaleBourbaki(néen1935).

1.2Nombr esfractionnaires

D'autresnombresapparai ssentnaturellementda nslaviedetouslesjou rs,ils'ag itdesnombres fractionnaires.Cesdernierssontobtenuslorsq uedesprop ortionsd'unquant itédonnéeestm iseen jeu(le tiersd'un gâteau,unedemi- heure,etc). Cesensemblescon tiennentlesensemblesd'entiers introduitsplustôt.

1.2.1Nombres décimauxD

Lesno mbresdécimauxapparais sentnaturellementlors quel'onpren ddesmesures(lalon gueur dec ettefeuillemesure 20,2cm,cetteballepèse1,67gram me,etc).Voici d'autresnombresdu mêmegen re.

Exemple1.2.1.

!1,0;20,23;345 ,89745; 435
10 2 435
100
=4,35 ouen core 10 3 =10$10$10=1000 ;10 !4 =0,0001 Dema nièregénérale,toutce snombrespeuvents'écrirecom melequotientd'unnombreentier etd 'unepuissancede1 0.Parexemple,

20,23=

2023
100
2023
10 2 Définition1.2.1.L'ensembledesnombresdécimau xDestcomp osédenombresdelaforme a 10 n aveca#Zetn#N. Remarque.Bienentend u,toutnombreentierestun nombredécima l. Iles timporta ntd'observeretderetenirquet outnombredécimaladmet undéveloppement décimalavecunnombrefinidechi!resaprès lavirgule.C'estdecette manièr equ'ilest possibledelescaractéri ser. Exemple1.2.2.Voiciquelque sexemplespermettantd'il lustrercettepropriété: 1 2 =0,5;! 3 25
=!0,12; 217
125
=1,736

1.2.NOM BRESFRACTIONNAIRES9

1.2.2Nombre srationnels

Voiciundeuxi èmeens embledefractions,plusgé néral.Celui-ciappar aitnaturellementdansde nombreusessituationduquoti dien:imaginonsqu'ungroupede3 ami ssouhaitepartag erungâteau en3p ar tégales,celaforce àdécouperlegâteauent iers;i .e.ilfautdéterminer 1 3 dugâ teau. Définition1.2.2.L'ensembledesnombresrationn elsQestcom posédenombredelaforme a b aveca#Z,b#Z Remarque.NotonsqueQcontienttoutlesautresen semblesdéjàdécri ts(i.e. N"Z"D"Q) .Commenousleverronsl'inclusionréciproqueestfausse.Autrementdit,nousallonspouvo ir trouverdesnombresa ppartenant àQquines ontnid esdécimaux,ni desent iers. Lano tiondefractionestdéjà présent edansdespapyruségyptiens(notammen tlepapyrus Rhinddatantde!1650av .J.C.)mais leurvéritablecons tructionmath ématiqueda tedestrava ux dePe anoen1895;ilc hoisitl alettreQ(del'ita lienquozientesignifiantquotient)pourdésignerde telsnombr es.

Voyonsquelquese xemplesdenombresrationn els.

Exemple1.2.3.1.

1 3 =0,33333...#Qcar 1 3 a b aveca=1#Zetb=3#Z 2. 14 !21 #Qench oisissanta=14etb=21.Notonsquecettefractionpeut-êtresimplifiée: 14 !21 2$7 !3$7 2 3

3.6#Qcar6=

6 1 4. 2,3 0,7 #Qcar 2,3 0,7 2,3 0,27 100
100
230
27
Commenousl'av onsvu,lesnom bresdécimauxadmetten ttoujoursunnom brefini dechi!res aprèslavirgul e.L'e nsembledesnombresration nelsétantplusgra nd,nouspouvonsàpré sent considérerdesnombresayant uneinfi nitédechi!resaprèsl avirguleàunec onditionquenou s allonsdétaillé aprèsunexemple.

Exemple1.2.4.1.Le nombre

107
22
(ene!ectuantladivision 107par 22).Noustrouvons 107
22
=4,86363636363... Puisqu'ilyauneinfinitédec hi!resaprèsl avirgule,il nes'agitpasd' unnombre décimal. Cependant,nouspouvonsconsta terqu'unmoti fserépète:

4,8636363...

lesvaleu rs63serépètentdema nièrein finie,ils 'agitdelapériodedunom bre.

10CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

2. 13193
49950
Proposition1.Tousélémen tsdeQvérifientl'undespoint ssuivants: •ilp ossèdeunnombrefinidechi!resaprès lavirgule(c'estunnombr edécim al)

•ilp ossèdeunepériodeden ombresquiseré pèteindéfinimentaprèslavirgu le;cen 'est

doncpasun nombredé cimalmaisu nnombrerationnel. Ilco nvientàprésentdedétermi ner lanatured'unnombreàp artirdeceq uenousv enonsde voir.

Régulièrementdansl'annéenousallonsfairededé monstra tions.Ils'agitde propos erunesérie

d'argumentsmathématiquesafindejust ifierqu'unepropriétéestvérifiée(parexemple).Voyonssur

unex emple.

Exemple1.2.5.Observonsque

1 3 =0,3333333...

Cen ombreadmetunepério de(lechi!re3) qui serépètede manièreinfi nieaprèslavirgule.D' après

cequ enousavo nsvu,ils'agi td'unélémentdeQmais 1 3 /#D.Commentjustifierrigoureusement cela? Avanttoutesc hoses,ilestimport antdenotercertainsfai ts. Définition1.2.3.Touslesno mbresdivi siblespar3peuvents'écriredel afaçonsuivante:

3aaveca#Z(1.2.1)

Exemple1.2.6.Ils u"tdeprendrequelquesexemplespours'enconvaincre:

3=3$1;27=3$9;...

Enrev anche,5n'estpasdivisibl ep ar3cariln'estpaspos sibled'expr imer5souslaforme5=3a aveca#Z(ici,ilestess entielq ueasoitunenti errela tif). Rappelonségalementqu'un critèrededivisibilitéaétévuaucollège. Proposition2.[Critèredivisibilité]Unnomb reestdivisiblepar3sila sommede schi!resqui le composeestdivisibl epar3. Exemple1.2.7.Parexem ple,27estdivisiblepar3c ar2+7= 9estdivis iblepar3;25n'estpas divisiblepar3car3nedivisepa s2+5= 7. Nouspouvon sàprésentnousattaquerà lad émonstrationdurésultatsuivant.

Proposition3.

1 3 #Qmais 1 3 /#D. Démonstration.Ladém onstrationdececisefaitparl'absurde:nousallonssupposerle contrairedece quenousso uhaitonsdé montre r(i.e. 1 3 #D)afind'aboutiràunecontradiction . Cettecontradi ctionsignifieraquenotrehypothèsedebasen 'estpaspo ssible.

1.3.NOM BRESRÉELS11

Supposonsdonc,parl'absur de,que

1 3 existea#Zetn#Ntelque 1 3 a 10 n Nousallons voirquecetteidentitév anousamenerà unecontradiction(etcelan'es tpasgênant denepa sco nnaitrel avaleurdeaoude n).P ourcela,ilsu "td'observerquecetteidentitépeut s'écriresouslaforme 10 n =3a.

Ainsi,10

n estunmu ltiple de3(pardéfinition,cf.1.2.1),ce ciestabsurd ecarlasom medeschi!res composant10 n (cenom bren'estriend'autre que1suivitdenzéros)vaut1qu in'estpasdivi sib le par3(c f.pr oposition2)

1.3Nombr esréels

Voyonsenfinunder nierensemble ,plus grandencore:celuidesnombresréels.Intuitivement, ilco ntienttouslesnombresqu enouspouvon srenco ntrerdanslaviedetouslesjours.Ilestdonc composédetouslesenti ers,det outeslesfracti onsmai sausside tousle sautresnombr esqu'iln 'est pasposs ibled'exprimersouslaform ed'unefractionoud'unnombreentier( certainsracinescarré es parexe mple). Définition1.3.1.L'ensembledesnombresréelsRestcomp osédetouslesnombresusuels:

R={...;!;

2;!4; 45
7 ;0,234;4372 ...} Remarque.1.Il estsouv entutiled ereprésentercetense mbledenombregraphiquementàl'aide d'unedroit egraduée.Danscecas ,ilestalorspossibl ed'associeràunnombre rée làtout point Mdece ttedroitegraduée. Cenombreestappeléa bscissedupointM.

2.Ce rtainsnombrescomme!ou

contenantcesnombresn'aétéin vent équ'àlafindu19ièmes iècleparl esmathémat iciens

CantoretDedekin d.Enpa rticulier,!#Ret!/#Q,nousdironsque!estirr ationnel.

3.Gros sièrementunnombreréel(

bienunnombre dont l'écrituredéci maleestco mposéed'uneinfinitédechi!resaprèsl avirgule

sansmotifpériodique;demanièregénérale,l esnom bressetrouvantdansRmaispasdans

Qsontappelé snombresirrationnels.

Commenousl'a vonsfaitrema rquerplustôt,lesincl usionssuivantessontvérifiées

N"Z"D"Q"R

Bienenten du,ilexisteencoredenombre uxense mblesenmathématiquesmaisilfaudrapa tienter encorepourlesét udier.Enattend antreven onssurunequestionhist oriquequialongtempsembêtée

l'écolePythago ricienne.Pendantlongtemps,lesélèvesdePythagoreétaientpe rsuadésquetoute

longueurpouvantêtrede ssinéedevaitaussis'écrire commeunnom brerationnel i.e.sou slaformed'unef rac tion a b #Q.

12CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

Ilsfur entbienennuyéfaceà l'hypoténus ed'untrianglerectangleisocèlede côté1.Ene!et,d'ap rès

leth éorèmedePythagorel'hypoté nuseme sure

2etcommenousallonslevoir

2/#Q(celasera

traitédansunD. M.).

Proposition4.

2/#Q. Démonstration.Cf.D.M. (donnédansle chapitred'arithmé tique) Ilco nvientàprésentdesavoird éte rminerlanatured'unnom bre.

Exercicesàtraiter:42et 43page27.

1.4Encad rementpardesnombresdécimaux

Iln' estpaspossibled 'écrire

iles talorspra tiquedetrouve runencadrementdecelui- ciàl'aidedenomb resdé cimaux(quisont plussimpl esàmanipuler). Définition1.4.1.Unenc adrementdécimald'unnombrerée lxestuneinégalitédela forme d 1 &x&d 2 avecd 1 ,d 2 #D.

Ladi !érenced

2 !d 1 correspondàl'amplitudedel'e ncadrement.

Exemple1.4.1.Iles tévident que1,4<

2'1,414...<1,5estunencadrementde

2 d'amplitude1,5!1,4=0,1=10 !1 D'unecertain emanière,trouverunencad rementd'unnombrerevientàfairedesarrondis( à l'inférieurouausupérieur)d 'unnom breenn econservantqu'uncer tainnombredechi!resaprès la virgule.Voyonssurquelqu esexemples.

Exemple1.4.2.1.Pu isquenousavonsl'encad rement

3,14&!'3,14159...&3,15.

L'arrondiaucentième(deuxchi!resaprèsl avirgule)de !vaut3,14.

2.Pui squenousavonsl'encadre ment

1,414&

2&1,415

doncl'ar rondià10 !3 (aumil lième,c'est-à-direavec3chi!resaprèsl avirgule)de 2vaut

1,414.

Exercicesàtraiter:34p age27et44p age28.

1.5.SOU S-ENSEMBLESDER13

1.5Sous- ensemblesdeR

Iles tparfois utiled'étudierdessous -ensemblesdeR,c'estàdireunecollectiondenombreréels. Cettepartiees tessentiellepourl erestedel 'année.

1.5.1Lesin tervalles

Lorsquenousétudieron sdesfonctions, nousauronsàconsidérerdesso us-ensem blesparticuliers deRappelésintervalles.Ilpeuts'agirdesegments,dedemi-droitesouencoredeladroitedesréel s touteentière .Unpointimportantestqu ece sensemblesn'ontpasde"trous»etsontd'unseul Débutonsparlessegment s.Cesdern iers(colo riésenrouge)consisteenl'ensembledesnombres réelscomprisent redeuxvaleursaetb Remarque.Ilfa utprendregar dedansquelsenslessym boles[et]sontpl acés.Silecroch etest

tournévers"l'interieur»,c elasignifiequel' extrémitédusegme ntest inclusedansl'e nsemble;

aucon traire,silecrochetestt ournéve rs"l'extérieur»,ce lasignifiequel'e xtrémitédusegme nt

Voyonsàprésentl eca sdesdemi-droites:

14CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

Remarque.Attentionaufaitsuivant:l essymb oles±(neso ntpasdesnombresr éelset ,auly cée, lecr ochetsetrouvantàcôtéd ecesy mboleesttoujoursouvert(pourexclurec ettevaleur).Notons aup assagequeR=]!(;+([. Parlasu ite,il seraimportantdesav oirpas serd'unenota tionà l'au tre(inégalités,exp ression avecdescro chets,des sins). Exercicesàtraiter:52,53,54, 58,59,60et61 pages28-29.

1.6.VAL EURABSOLUE15

1.6Vale urabsolue

Lava leurabsolueestun enouvellefonctionquiper metdemes ureladis tancese ntredeuxpoints, elleestégal ementuti lepourobtenirunerepr ésentationalternativedecertainsinterv alles . Définition1.6.1.Lava leurabsolued'uneno mbreréelxestdéfini ecommesuit: |x|= xsix)0 !xsix&0

Voyonssurquelque sexemple s.

Exemple1.6.1.1.|7|=7car7)0alorsque|!2,3|=!(!2,3)= 2,3car!2,3&0. 2.|1! 2|=

2!1car1<

2*1,414...donc1!

2<0,pou rcalculerl avaleurabsolue

nousdevons prendrel'opposé de1! 2.

3.|1+!|=1+!car1+!>0.

Voiciquelques propriétéssatisfaitespa rlavaleurabsolue.

Proposition5.Danscequ isuit a,b#R

1.|a|)0,|a|=|!a|et|a|

2 =a 2

2.|a!b|=|b!a|et|ab|=|a|$|b|

3.(I négalitétriangulaire)|a!b|&|a|+|b|

Ladéfi nitiondedistanceci-dessousen termed evaleurabsolue,perm etd'interprétercert aines desasse rtionsdelapropositionprécédente s.L adista nceentredeuxpo intsaetbestdéfini ecomme suit. Définition1.6.2.Soienta,b#Ralorsladistanc ed(a;b)entreaetbestdéfini epar d(a;b)=|a!b| Remarque.Enpart iculier,|a|=d(0;a).De plus,l efaitque|a!b|=|b!a|peuts'inte rpréter géométriquementendisantqueladistanceentre aetbestlamêm equecell eentrebeta.

1.6.1Représ entationalternativedesintervalles

Pourquecel asoitmoin sabstrait,n ousallonsvoi rqu'ilestpossibledereliercette notion de distanceaveclesinte rvalles.

Exemple1.6.2.L'ensemble

x#[!2;4] peuts'expr imeràl'aided'unevaleurabsolue .Po urcela,ilsu"tdetrouverlemilieudusegment [!2;4]poure nsuitedét erminerquelledistances éparecelui-cides extrémit és.

1.le milieu dusegmentvaut

!2+4 2 l'intervalle[!2;4]estc omposédetous lesnombresréelsse trouvantau plusàunedistance3 de1. Autrem entdit, x#[!2;4]+,d(x;1)&3+,|x!1|&3

16CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

Bienenten du,ilestpossibledeprocéd erdem êmedansd' autressi tuations. Exemple1.6.3.1.Enre pren antlesargumentsprécéden ts,noustrou vonsquex#]4;8[corres- pondàl'ens emb ledesxsetr ouvantàunedistanceauplus (str ictement) 6de2.Autrement dit, x#]4;8[+,d(x;2)<6+,|x!2|<6.

2.Enp oursu ivantnotreraisonnement,ilestp ossibledec onsidéreruncaspluscom plexe: x#

]!(;!4]-[8;+([.P ourcela,ilsu"tdedéterminerlemilieu(ici,ilvaut2)dusegment [!4;8]pui sderegarderàquel ledist ancecepointse trouv edesextrémitésdesdemi-droites: d(2;!4)=d(2;8)=|2!8|=6. L'ensemblequinousintéresse correspond doncàtoutlesr éelsxsetr ouvantaumo insàune distance6dupoint2: x#]!(;!4]-[8;+([+,d(x,2)>6+,|x!2|>6. Iles timportan td'êtrecapabledefaireladém archeinverse:trouverl'ensemblededépartà partirdesonexpress ion impliquant unevaleurabsolue.

Exemple1.6.4.1.L' ensembledesréelsxtelsque

|x!4|&3 correspondàl'ensembledesnomb ress etrouvantàunedistanceau plus3d unombre2.

Autrementdit,

|x!4|&3+,x#[1;7]. puisquelespoin tsautorisé slespluséloignésde4so ntforcément4!3=7et4+3=7.

2.Dan slemêmees prit,

|x!2|>5+,x#]!(;!3]-[7;+([. Formellement,toutcequiprécèdeestrés umédanslapro positionsuiva nte.

1.l'e nsembledesx#Rtelsque|x!a| ]a!r;a+r[.
2.l 'ensembledesx#Rtelsque|x!a|)rdésignel'ensemble desréels]!(,a!r[-]a+r;+([.
Cesnouv ellesnotionspeuventaussiin tervenirdelamanièresuivante. desnombre sxsetr ouvantàunedistancede2dup oin t3.Unpeti tdessinpermetd etrouv erque dansceca sx=5oux=!1. Remarque.Miseengarde :l'équa tion|x+2|=4peuts'écriresouslaforme|x!(!2)|=4.Ilfaut donctrouv erl'ensembledesnombress etrouvantàunedistancede 4dupoi nt!2.
Exercicesàtraiter:72,75,76 page 29.

1.7.POUR ALLERPLUSLO IN17

1.7Pour allerplus loin
Certainesquestionsliéesà lathéoriedesensemblessonte xtrêmementcomplexes.Dansl eur quêtedeforma lisme, lesmathématiciensontcherchéàtrou verun elisted' axiomepermettant
deco nstruiretoutelathéoriemathém atiques(ensembl e,fonctions,équations,géo métrie,etc)à
partirdecettelis tee nutilisantuniquemen tdesraisonnementslogico- déductifs.Enfaisantainsi, ilvo ulaitaussis'assure rquelesmathémat iquesétaientbienqu elquechosedecohérents .Ene!et,
puisquetoutesle spropriétésquevousa vezpurencon tréesdansvotres colaritéserve ntàdémontrer
qued'a utresrésultatssontvrais,i lseraitbienembêtantquele socle d'untelédifice(lesax iomes) soitbanca letcompromettetout elastru cture.ils'agitentoutcasde l'und escélè bresproblèmes énoncésparHilber ten1900lor sdudeuxièmecongrèsint erna tionaldesmathémati ciens. commesuit:àp artirdetoute lis ted 'axiomeraisonnabl e(permettantdefairedel'arit hmétiq ue,
dela géomét rie,...)ilestpossibledetrouveruné noncémathématiqueindécidable.Autrement
dit,ilexi steunpro blèmemathématiquepourl eq ueliln'estpasposs iblededémontrerouréfuter savé racité. Voiciunautre problè me,moinsvertig ineux,survenantenthéoriedesensembles .Ils'a gitdu paradoxedeRusselquiaét édéc ouvertparlemathéma ticie néponymeen1901.Ilp roposel e contextesuivant:supposonsquedansunevill e,lebarb iernerasequel eshommesquineserasent pasmême setpo salaquestions uivant e "quidoit raserlebarbier?» Unpe titraisonneme ntparl'absurde,montrequelebarbiernepeuxexistersansquoinous aurionsunecontrad iction.
1.8Lis ted'exercices potentielssupplémentaires
•savoiràquelensem ble unnombreappa rtient:exercices13!15,18,26,28page 26. •Droitegraduéeet ensembledenombres:ex ercice 43page27(placercesnombr essurundr oite aprèsavoirc ompléterletabl eau). •arrondietencad rement: exercices45page28.Exercice49page28 enD M. •Intervalles:exercices56,57,59,61page 28/29.I mposerlestroisécritures àchaquefois . •Distances:exercices67,72,75,76page 29. Lesex ercicessuivantsp euventégalementêtrefaitpours' entrainer:36page27,42p age 27,
50,51,55,58page 28,73,74p age29.

1.9Bila nduchapitre
Voicilescompé tencesàac quérirdurantcechapitre: •Utiliserdesrésultatsvu saucollè ge(théorèmesdeThalèsetPythagore,...
18CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES
•Déterminerlanatured'unnombr e. •Représentergraphiquementuninterv alleetsavoirdéterminerunemani ère littéraledele représenter. •Démontrerqu'unnombren'es tpasdécimal.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] Chapitre 1 - Ensembles de nombres