[PDF] Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles



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Chapitre 1

Ensembles et sous-ensembles

1. Notion d"ensemble - El´ement d"un ensemble

Unensembleest une collection d"objets satisfaisant un certain nombrede propri´et´es et chacun de ces objets est appel´e´el´ementde cet ensemble. Si xest un ´el´ement de l"ensembleE, on dit aussi quexappartient `aEet on notex?E. Sixn"appartient pas `aE, on notex??E. Deux ensembles sont´egauxs"ils ont les mˆemes ´el´ements.On admet l"existence d"un ensemble n"ayant aucun ´el´ement. Cet ensemble est appel´eensemble videet not´e∅.

Notations

•Il y a des notations r´eserv´ees pour certains ensembles ; par exemple,N est l"ensemble des entiers naturels ;Z,Q,RetCd´esignent respectivement l"ensemble des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres r´eels et des nombres complexes ;R?,R+,R?+d´esignent les r´eels non nuls, les r´eels positifs, les r´eels strictement positifs, etc. •L"ensembleEdont les ´el´ements sont 1, 2, 3, 4 est not´eE={1,2,3,4}. •Un ensemble `a un seul ´el´ementxest not´e{x}et on l"appelle lesingleton {x}. On a doncx? {x}(et pasx={x}). •Plus g´en´eralement, soitEun ensemble etP(x) une propri´et´e v´erifi´ee ou non suivant la valeur dex, ´el´ement de E ; l"ensembleAdont les ´el´ements sont les ´el´ementsxdeEqui v´erifientP(x) est not´eA={x|x?EetP(x)}ou

A={x?E|P(x)}.

2. Relation d"inclusion

D´efinition 1.1 -SoientAetBdeux ensembles. On dit queAest inclus dansBsi chaque ´el´ement deAest un ´el´ement deB.On noteA?B. On dit aussi "Aest contenu dansB" ou "Aest une partie deB" ou "Aest un sous-ensemble deB". AB A?B

Intersection et r´eunion

Remarques -•A?A

•SiA?BetB?C, alorsA?C

•A=Bsi et seulement si (A?BetB?A).

On traduit les propri´et´es pr´ec´edentes en disant que la relation d"inclusion est respectivementr´eflexive,transitiveetantisym´etrique. On peut rapprocher a=b. De telles relations sont appel´eesrelations d"ordre.

Exemples -•N?Z?Q

• {x?R|0< x <4} ?R+

D´efinition 1.2 -Soit E un ensemble. Les sous-ensembles de E forment un ensemble appel´eensemble des parties de Eet not´eP(E). Exemple -SiE={1,2}, alorsP(E) ={∅,{1},{2},E}. Remarque -Les trois assertionsx?E,{x} ?Eet{x} ? P(E) sont

´equivalentes.

Exercice -1◦) SoitE={1,2,3}. Donner tous les sous-ensembles deE. 2 ◦) Montrer, par r´ecurrence surn, qu"un ensemble `an´el´ements a 2 nsous-ensembles. 3 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE.

Montrer que (A?Bsi et seulement siP(A)? P(B)).

3. Intersection et r´eunion

D´efinition 1.3 -Soient A et B deux sous-ensembles d"un ensembleE. L"ensemble{x|x?Aetx?B}est appel´e l"intersection des ensemblesA etBet est not´eA∩B. SiA∩B=∅, on dit queAetBsont disjoints. L"ensemble{x|x?Aoux?B}est appel´e l"union des ensemblesAetBet est not´eA?B. BA

A∩B={x|x?Aetx?B}

BA

A?B={x|x?Aoux?B}

- 2 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On a :

1)A∩ ∅=∅etA? ∅=A

2)A∩B?AetA∩B?B

3)A?A?BetB?A?B

4)A?B=Asi et seulement siB?A

5)A∩B=Asi et seulement siA?B

Propri´et´es de∩et?-

Soient A, B, C trois sous-ensembles d"un ensembleE. On a :

1)A?B=B?A

2)A∩B=B∩A

3)A?(B?C) = (A?B)?C

4)A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

5)A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C)

6)A∩(B?C) = (A∩B)?(A∩C)

On traduit ces propri´et´es en disant que?et∩sontcommutatives(propri´et´es

1 et 2),associatives(propri´et´es 3 et 4), que?estdistributive par rapport `a∩

(propri´et´e 5) et∩estdistributive par rapport `a?(propri´et´e 6). Ces propri´et´es

seront ´etudi´ees dans le chapitre sur les lois de composition internes. Pour s"en souvenir, on peut les comparer aux propri´et´es analogues de l"addition et de la mutiplication dansR: poura,b,cr´eels, on aa+b=b+a, ab=ba, a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab)c, a(b+c) =ab+ac. Mais on n"a pas l"´equivalent de la propri´et´e 5 ; en g´en´eral, on n"a pasa+(bc) =ab+ac(trouver un exemple). !Ne pas oublier les parenth`eses. Par exemple,A∩B?Cn"a pas de sens. SiA= [0,1],B= [1,2] etC= [2,+∞[, on a (A∩B)?C={1}?[2,+∞[, etA∩(B?C) ={1}. G´en´eralisation -SiA1,A2,...,Ansont des sous-ensembles d"un ensemble E, on d´efinit de mˆeme la r´eunionA1?A2?...?Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a au moins l"un des ensemblesA1,A2,...ouAnet l"intersectionA1∩A2∩...∩Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a tous les ensemblesA1,A2,...,An: A

1?A2?...?An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}

A

1∩A2∩...∩An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}

Exercice -1◦) SoientA,B,C,Ddes sous-ensembles d"un ensembleE. Mon- trer que(A?B)∩(C?D) = (A∩C)?(A∩D)?(B∩C)?(B∩D).

Simplifier le r´esultat lorsque l"on aA?C.

2 ◦) SoitEun ensemble qui est la r´eunion de deux sous-ensembles AetB. On suppose queAetBsont finis et ont respectivementnet m´el´ements. SiAetBsont disjoints, combienEa-t-il d"´el´ements ? - 3 -

Compl´ementaire d"un ensemble

Plus g´en´eralement, siA∩Bap´el´ements, montrer queEen a n+m-p.

4. Compl´ementaire d"un ensemble

D´efinition 1.4 -SoientEun

ensemble etAun sous-ensemble deE. Le compl´ementaire deA dansEest l"ensemble {x|x?Eetx??A}. On le note?EAouE\Aou encore lorsqu"il n"y a pas d"ambigu¨ıt´e sur E, cA,Acou A. AE ?EA={x?E;x??A} Propri´et´es du compl´ementaire (Lois de De Morgan) -

SoientEun ensemble,AetBdes sous-ensembles deE.

1)?E(?EA) =A

2)A?Bsi et seulement si (?EB)?(?EA)

3)?E(A?B) = (?EA)∩(?EB)

4)?E(A∩B) = (?EA)?(?EB)

D´efinition 1.5 -SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On note

1 -A\Bl"ensemble{x?A|x /?B}et on l"appelle diff´erence deAetB.

2 -AΔBl"ensemble (A?B)\(A∩B) et on l"appelle diff´erence sym´etrique

deAetB.

Proposition 1.6 -AΔB= (A\B)?(B\A).

BA

A\B={x?A;x??B}

BA

AΔB= (A?B)\(A∩B)

Remarques -•La diff´erence sym´etrique correspond au "ou" exclusif :AΔB est l"ensemble des points qui appartiennent `aAou `aB, mais

PAS `aAetBen mˆeme temps.

•Lorsque l"on aB?A, la diff´erence deAetBest aussi le compl´ementaire deBdansA.

•A\B=A∩Bc.

•A?Bsi et seulement siA\B=∅.

- 4 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

!Ne pas oublier les parenth`eses.Trouver un exemple d"ensembles v´erifiant (A\B)\C?=A\(B\C). Exercice -1◦) SoientA={x?R|x2-3x+ 1>0}etB={x?R|x >0}. Montrer que les ensemblesAc,Bc,A∩B,A?B,A\B,B\Aet AΔBsont des intervalles ou des r´eunions d"intervalles et pr´eciser lesquels. 2 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE. Montrer que les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

1)A=B2)A\B=B\A3)AΔB=∅

3 ◦) Mˆeme question pour les six propri´et´es suivantes. (On peut montrer qu"elles sont toutes ´equivalentes `a la premi`ere) :

1)A?B2)Bc?Ac3)A∩B=A

4)A?B=B5)A\B=∅6)AΔB=B\A

5. Partitions

D´efinition 1.7 -SoientEun ensemble etA1,A2,...,Andes sous-ensembles deE. On dit que ces sous-ensembles forment une partition deEsi les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1) Leur r´eunion est ´egale `aE:E=A1?A2?...?An

2) Ils sont deux `a deux disjoints : sii,j? {1,2,...,n}eti?=jalors

A i∩Aj=∅

3) Chacun de ces ensembles est non vide : pour touti? {1,2,...,n}, Ai?=∅.

A1A2A3A4

Sur le dessin ci-dessus, les ensemblesA1,...,A4forment une partition de l"ensembleE. Exemples -•SoientE=N, A1le sous-ensemble form´e des entiers pairs, A

2le sous-ensemble form´e des entiers impairs. Alors, les sous-

ensemblesA1etA2forment une partition deE.

•SoientE=R, A1=R?+, A2=R?-, A3={0}. Alors, les

sous-ensemblesA1,A2etA3forment une partition deE. !Attention `a ne pas confondre les termes "disjoint" et "distinct."R- etR+sont distincts, mais pas disjoints.R-?etR+?sont distincts et disjoints. - 5 -

Produit

Exercice -Soienta,betcdes r´eels, aveca≥0. A quelle condition les sous- ensembles]0,a[,]- ∞,b]et[c,+∞[forment-ils une partition de R?

6. Produit

D´efinition 1.8 -- SoientEetFdeux ensembles,xun ´el´ement deEet yun ´el´ement deF. Le couple (x,y) est la donn´ee des deux ´el´ementsxet ydans cet ordre. Les ´el´ementsxetysont appel´es respectivement premi`ere et deuxi`eme coordonn´ee du couple (x,y). Deux couples (x,y) et (x?,y?) sont ´egaux si et seulement si on a (x=x?ety=y?). Le produit cart´esienE×F est l"ensemble des couples (x,y) o`ux?Eety?F. Exemples -•SiE=F=R, le produitR×Rest aussi not´eR2. On le repr´esente souvent par l"ensemble des points du plan affine euclidien, en choisissant un rep`ere orthonorm´e (O,e1,e2). Le couple (x,y) est repr´esent´e par le point d"abscissexet d"ordonn´eey. •SiA= [2,5] etB= [2,4], le produitA×Best un sous- ensemble deR2qui peut ˆetre repr´esent´e par le rectangle sur la figure ci-dessous.

A×B

OB A e1 e 224
2 5 Remarques -•Il ne faut pas confondre le couple (x,y) et l"ensemble{x,y}. Six?=y, on a (x,y)?= (y,x), mais{x,y}={y,x}. Le couple (x,x) est repr´esent´e par un point de la premi`ere diagonale et l"ensemble{x,x}est le singleton{x}.

•A?EetB?Fsi et seulement siA×B?E×F.

•Un produit cart´esien de deux ensembles est vide si et seulement si l"un au moins des deux ensembles est vide. G´en´eralisation -Si on consid`ere des ensemblesE1,E2,...,En, on peut de mˆeme d´efinir les n-uples (x1,x2,...,xn) o`ux1?E1,x2?E2,...,xn?Enquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24