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2 5 Remarques -Il ne faut pas confondre le couple (x,y) et l"ensemble{x,y}. Six?=y, on a (x,y)?= (y,x), mais{x,y}={y,x}. Le couple (x,x) est repr´esent´e par un point de la premi`ere diagonale et l"ensemble{x,x}est le singleton{x}.
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Chapitre 1
Ensembles et sous-ensembles
1. Notion d"ensemble - El´ement d"un ensemble
Unensembleest une collection d"objets satisfaisant un certain nombrede propri´et´es et chacun de ces objets est appel´e´el´ementde cet ensemble. Si xest un ´el´ement de l"ensembleE, on dit aussi quexappartient `aEet on notex?E. Sixn"appartient pas `aE, on notex??E. Deux ensembles sont´egauxs"ils ont les mˆemes ´el´ements.On admet l"existence d"un ensemble n"ayant aucun ´el´ement. Cet ensemble est appel´eensemble videet not´e∅.Notations
Il y a des notations r´eserv´ees pour certains ensembles ; par exemple,N est l"ensemble des entiers naturels ;Z,Q,RetCd´esignent respectivement l"ensemble des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres r´eels et des nombres complexes ;R?,R+,R?+d´esignent les r´eels non nuls, les r´eels positifs, les r´eels strictement positifs, etc. L"ensembleEdont les ´el´ements sont 1, 2, 3, 4 est not´eE={1,2,3,4}. Un ensemble `a un seul ´el´ementxest not´e{x}et on l"appelle lesingleton {x}. On a doncx? {x}(et pasx={x}). Plus g´en´eralement, soitEun ensemble etP(x) une propri´et´e v´erifi´ee ou non suivant la valeur dex, ´el´ement de E ; l"ensembleAdont les ´el´ements sont les ´el´ementsxdeEqui v´erifientP(x) est not´eA={x|x?EetP(x)}ouA={x?E|P(x)}.
2. Relation d"inclusion
D´efinition 1.1 -SoientAetBdeux ensembles. On dit queAest inclus dansBsi chaque ´el´ement deAest un ´el´ement deB.On noteA?B. On dit aussi "Aest contenu dansB" ou "Aest une partie deB" ou "Aest un sous-ensemble deB". AB A?BIntersection et r´eunion
Remarques -A?A
SiA?BetB?C, alorsA?C
A=Bsi et seulement si (A?BetB?A).
On traduit les propri´et´es pr´ec´edentes en disant que la relation d"inclusion est respectivementr´eflexive,transitiveetantisym´etrique. On peut rapprocher a=b. De telles relations sont appel´eesrelations d"ordre.Exemples -N?Z?Q
{x?R|0< x <4} ?R+
D´efinition 1.2 -Soit E un ensemble. Les sous-ensembles de E forment un ensemble appel´eensemble des parties de Eet not´eP(E). Exemple -SiE={1,2}, alorsP(E) ={∅,{1},{2},E}. Remarque -Les trois assertionsx?E,{x} ?Eet{x} ? P(E) sont´equivalentes.
Exercice -1◦) SoitE={1,2,3}. Donner tous les sous-ensembles deE. 2 ◦) Montrer, par r´ecurrence surn, qu"un ensemble `an´el´ements a 2 nsous-ensembles. 3 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE.Montrer que (A?Bsi et seulement siP(A)? P(B)).
3. Intersection et r´eunion
D´efinition 1.3 -Soient A et B deux sous-ensembles d"un ensembleE. L"ensemble{x|x?Aetx?B}est appel´e l"intersection des ensemblesA etBet est not´eA∩B. SiA∩B=∅, on dit queAetBsont disjoints. L"ensemble{x|x?Aoux?B}est appel´e l"union des ensemblesAetBet est not´eA?B. BAA∩B={x|x?Aetx?B}
BAA?B={x|x?Aoux?B}
- 2 -ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES
SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On a :1)A∩ ∅=∅etA? ∅=A
2)A∩B?AetA∩B?B
3)A?A?BetB?A?B
4)A?B=Asi et seulement siB?A
5)A∩B=Asi et seulement siA?B
Propri´et´es de∩et?-
Soient A, B, C trois sous-ensembles d"un ensembleE. On a :1)A?B=B?A
2)A∩B=B∩A
3)A?(B?C) = (A?B)?C
4)A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
5)A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C)
6)A∩(B?C) = (A∩B)?(A∩C)
On traduit ces propri´et´es en disant que?et∩sontcommutatives(propri´et´es1 et 2),associatives(propri´et´es 3 et 4), que?estdistributive par rapport `a∩
(propri´et´e 5) et∩estdistributive par rapport `a?(propri´et´e 6). Ces propri´et´es
seront ´etudi´ees dans le chapitre sur les lois de composition internes. Pour s"en souvenir, on peut les comparer aux propri´et´es analogues de l"addition et de la mutiplication dansR: poura,b,cr´eels, on aa+b=b+a, ab=ba, a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab)c, a(b+c) =ab+ac. Mais on n"a pas l"´equivalent de la propri´et´e 5 ; en g´en´eral, on n"a pasa+(bc) =ab+ac(trouver un exemple). !Ne pas oublier les parenth`eses. Par exemple,A∩B?Cn"a pas de sens. SiA= [0,1],B= [1,2] etC= [2,+∞[, on a (A∩B)?C={1}?[2,+∞[, etA∩(B?C) ={1}. G´en´eralisation -SiA1,A2,...,Ansont des sous-ensembles d"un ensemble E, on d´efinit de mˆeme la r´eunionA1?A2?...?Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a au moins l"un des ensemblesA1,A2,...ouAnet l"intersectionA1∩A2∩...∩Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a tous les ensemblesA1,A2,...,An: A1?A2?...?An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}
A1∩A2∩...∩An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}
Exercice -1◦) SoientA,B,C,Ddes sous-ensembles d"un ensembleE. Mon- trer que(A?B)∩(C?D) = (A∩C)?(A∩D)?(B∩C)?(B∩D).Simplifier le r´esultat lorsque l"on aA?C.
2 ◦) SoitEun ensemble qui est la r´eunion de deux sous-ensembles AetB. On suppose queAetBsont finis et ont respectivementnet m´el´ements. SiAetBsont disjoints, combienEa-t-il d"´el´ements ? - 3 -Compl´ementaire d"un ensemble
Plus g´en´eralement, siA∩Bap´el´ements, montrer queEen a n+m-p.4. Compl´ementaire d"un ensemble
D´efinition 1.4 -SoientEun
ensemble etAun sous-ensemble deE. Le compl´ementaire deA dansEest l"ensemble {x|x?Eetx??A}. On le note?EAouE\Aou encore lorsqu"il n"y a pas d"ambigu¨ıt´e sur E, cA,Acou A. AE ?EA={x?E;x??A} Propri´et´es du compl´ementaire (Lois de De Morgan) -SoientEun ensemble,AetBdes sous-ensembles deE.
1)?E(?EA) =A
2)A?Bsi et seulement si (?EB)?(?EA)
3)?E(A?B) = (?EA)∩(?EB)
4)?E(A∩B) = (?EA)?(?EB)
D´efinition 1.5 -SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On note1 -A\Bl"ensemble{x?A|x /?B}et on l"appelle diff´erence deAetB.
2 -AΔBl"ensemble (A?B)\(A∩B) et on l"appelle diff´erence sym´etrique
deAetB.Proposition 1.6 -AΔB= (A\B)?(B\A).
BAA\B={x?A;x??B}
BAAΔB= (A?B)\(A∩B)
Remarques -La diff´erence sym´etrique correspond au "ou" exclusif :AΔB est l"ensemble des points qui appartiennent `aAou `aB, maisPAS `aAetBen mˆeme temps.
Lorsque l"on aB?A, la diff´erence deAetBest aussi le compl´ementaire deBdansA.A\B=A∩Bc.
A?Bsi et seulement siA\B=∅.
- 4 -ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES
!Ne pas oublier les parenth`eses.Trouver un exemple d"ensembles v´erifiant (A\B)\C?=A\(B\C). Exercice -1◦) SoientA={x?R|x2-3x+ 1>0}etB={x?R|x >0}. Montrer que les ensemblesAc,Bc,A∩B,A?B,A\B,B\Aet AΔBsont des intervalles ou des r´eunions d"intervalles et pr´eciser lesquels. 2 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE. Montrer que les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :1)A=B2)A\B=B\A3)AΔB=∅
3 ◦) Mˆeme question pour les six propri´et´es suivantes. (On peut montrer qu"elles sont toutes ´equivalentes `a la premi`ere) :1)A?B2)Bc?Ac3)A∩B=A
4)A?B=B5)A\B=∅6)AΔB=B\A
5. Partitions
D´efinition 1.7 -SoientEun ensemble etA1,A2,...,Andes sous-ensembles deE. On dit que ces sous-ensembles forment une partition deEsi les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :1) Leur r´eunion est ´egale `aE:E=A1?A2?...?An
2) Ils sont deux `a deux disjoints : sii,j? {1,2,...,n}eti?=jalors
A i∩Aj=∅3) Chacun de ces ensembles est non vide : pour touti? {1,2,...,n}, Ai?=∅.
A1A2A3A4
Sur le dessin ci-dessus, les ensemblesA1,...,A4forment une partition de l"ensembleE. Exemples -SoientE=N, A1le sous-ensemble form´e des entiers pairs, A2le sous-ensemble form´e des entiers impairs. Alors, les sous-
ensemblesA1etA2forment une partition deE.SoientE=R, A1=R?+, A2=R?-, A3={0}. Alors, les
sous-ensemblesA1,A2etA3forment une partition deE. !Attention `a ne pas confondre les termes "disjoint" et "distinct."R- etR+sont distincts, mais pas disjoints.R-?etR+?sont distincts et disjoints. - 5 -Produit
Exercice -Soienta,betcdes r´eels, aveca≥0. A quelle condition les sous- ensembles]0,a[,]- ∞,b]et[c,+∞[forment-ils une partition de R?6. Produit
D´efinition 1.8 -- SoientEetFdeux ensembles,xun ´el´ement deEet yun ´el´ement deF. Le couple (x,y) est la donn´ee des deux ´el´ementsxet ydans cet ordre. Les ´el´ementsxetysont appel´es respectivement premi`ere et deuxi`eme coordonn´ee du couple (x,y). Deux couples (x,y) et (x?,y?) sont ´egaux si et seulement si on a (x=x?ety=y?). Le produit cart´esienE×F est l"ensemble des couples (x,y) o`ux?Eety?F. Exemples -SiE=F=R, le produitR×Rest aussi not´eR2. On le repr´esente souvent par l"ensemble des points du plan affine euclidien, en choisissant un rep`ere orthonorm´e (O,e1,e2). Le couple (x,y) est repr´esent´e par le point d"abscissexet d"ordonn´eey. SiA= [2,5] etB= [2,4], le produitA×Best un sous- ensemble deR2qui peut ˆetre repr´esent´e par le rectangle sur la figure ci-dessous.A×B
OB A e1 e 2242 5 Remarques -Il ne faut pas confondre le couple (x,y) et l"ensemble{x,y}. Six?=y, on a (x,y)?= (y,x), mais{x,y}={y,x}. Le couple (x,x) est repr´esent´e par un point de la premi`ere diagonale et l"ensemble{x,x}est le singleton{x}.