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I) Les nombres entiers
Nous avons vu dans le chapitre précédent les ensembles des entiers naturels Գ et des entiers
relatifs Ժ, petit rappel :łentiers naturels est noté Գ.
Գ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;
łentiers relatifs est noté Ժ.
Ժ = { ; -4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;Avec Գ ؿ
II) Les décimaux et les nombres rationnels
1) Définition
łdécimaux est noté ॰.
॰ fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 -à-dire fraction décimale.łrationnels est noté Է.
࢈ avec ࢇ entier relatif et ࢈ entier relatif non nul.Remarques :
décimale, donc tout nombre décimal est aussi un nombre rationnel. Donc ॰ؿ2) Démonstration obligatoire :
avec אܽԺ et ݊א ଷ est un nombre décimal.Alors il existe deux nombres entiers ܽ
Par conséquent ଵ
ଷ = ܽ avec אܽ Or un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or la somme des chiffres de tout nombre de la forme ͳͲ est égal à 1 suivit de ݊ zérosPourtant nous avons montré que si ଵ
ଷ est un nombre décimal, alors, ͳͲ est divisible par 3, donc : " ଵ ଷ est un nombre décimal » nous mène à une contradiction, on3) Exemples
Exemple 1 : La fraction ଵ
ଷ est un nombre rationnel, elle est le quotient de deux nombres. Nous avons vu dans la précédente démonstration que ଵ (On peut aussi faire la division décimale après la virgule est infinie).Donc ଵ
ଷ pas un nombre décimal mais un nombre rationnel.Exemple 2 : La fraction ଷ
ସ est un nombre rationnel, il est le quotient de deux nombres. Si on fait la division décimale de 3 par 4 on obtient 0,75 et 0,75 = ହDonc ଷ
ସ est aussi un nombre décimal.III) Les nombres réels
1) Les nombres irrationnels
a) Définition : irrationnels. Ce sont tous les nombres ayant une infinité de chiffre après la virgule et qui ne ࢈ avec ࢇ entier relatif et b entier relatif non nul. Par exemples ξ ; ξૠ ; ࣊ sont des nombres irrationnels. b) Démonstration obligatoire : Prouver que ξ est irrationnelNous allons utiliser
Pour cela supposons le contraire : ξʹ est un nombre rationnel, dans ce cas il existe deux nombres entiers et ݍ avec ݍ്Ͳ tel que ξʹ = étant une fraction irréductible.St : 2 = ;
un nombre pair et dans le chapitre (nombres entiers : nombre pair est pair, q ainsi que leurs réciproques) on peut donc en déduire que est aussi un nombre pair. Dans ce cas il existe un nombre entier ݇tel que = ʹ݇, ݇א que précédemment, est donc aussi un nombre pair. On arrive donc à une absurdité, car dans ce cas on obtient que les nombres et sont simultanément pairs alors que et ݍdevrait être premiers entre eux puisque
2) Les nombres réels
Définition :
nombres réels tous les nombres rationnels et irrationnels. Cet ensemble est noté Թ.653 Գ Ժ ॰ Է Թ
-123 14,22 ߨ
On écrit : Գ ؿԺ ؿ॰ ؿ Է ؿ nombres est inclus dans le précédent ( ensemble appartiennent aussi aux ensembles situés à droite dans la relation)3) La droite numérique
Définition :
appelé abscisse du point M dans le repère (O, I). Réciproquement à tout nombre réel ࢞ lui correspond un unique point M de la droite graduée appelée droite numérique. Remarque importante s est noté Թ, il contient tous les nombres connus et étudiés en classe de seconde, cet ensemble est infini et totalementܽ et ܾ
de longueur, correspondant au nombre.Exemple 1 :
Le nombre ξʹ a été placé avec précision sur la droite numérique en reportant au compas la
ଷ ; ; M est ξʹ .Exemple 2 :
Les abscisses des points A, B, C, D, E et F sont respectivement :ݔ = 0 ; ݔ = 1 ; ݔ = 4 ; ݔ = -2 ; ݔா = 2,46 et ݔி = - ξ͵
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