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1
Chapitre 1: Compléments sur les
espaces vectoriels, les endomorphismeset les matricesTable des matières
1 Rappels sur les espaces vectoriels 2
1.1 Définitions d"espaces et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Construction d"espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Dimension d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 Produits et sommes d"espaces vectoriels 4
2.1 Produits d"espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.2 Sommes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.3 Sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.4 Bases adaptées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63 Rappels sur les applications linéaires 7
3.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73.2 Caractérisation de l"injectivité et de la surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73.3 Endomorphismes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83.4 Applications linéaires et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94 Compléments sur les endomorphismes 9
4.1 Polynômes d"endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94.2 Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105 Rappels sur les matrices11
5.1 L"espace vectorielMnp(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
5.2 L"espace vectorielMn(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
5.3 Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135.4 Noyau, image et rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165.5 Déterminant d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166 Compléments sur les matrices et le déterminant 18
6.1 Déterminant de Van der Monde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186.2 Matrices par blocs et sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196.3 Déterminant d"une matrice par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206.4 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216.5 Trace d"une matrice, d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217 Formes linéaires et hyperplans 22
7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227.2 Caractérisation des hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227.3 Equations d"un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 S. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018
21 Rappels sur les espaces vectoriels
Dans toute la suite,Kdésignera les ensemblesRouC. On notera+Ket×Kles additions et multiplications
classiques surK. On note0Ket1Kles éléments neutres pour chacune de ces lois.1.1 Définitions d"espaces et sous-espaces vectoriels
Definition 1Un espace vectoriel surK, notéK-ev, est un triplet (E,+,×) oùEest un ensemble,+ :E×E?→Eest une
loi de composition interne et.:K×E?→Eest une loi de composition externe tel que La loi + vérifie les propriétés suivantes :Commutativité :?(x,y)?E2, x+y=y+x.
Associativité :?(x,y,z)?E3,(x+y) +z=x+ (y+z).
Existence d"un élément neutre :?0E?Etel que?x?E , x+ 0E=x. Existence d"un symétrique :?x?E ,?y?Etel quex+y=y+x= 0E. La loi.vérifie les propriétés suivantes : Distributivité sur + :?(x,y)?E ,?(λ,μ)?K2, λ.(x+y) =λ.x+λ.yet (λ+Kμ).x=λ.x+μ.x.Compatibilité avec1K:?x?E ,1K.x=x.
Compatibilité avec×K:?(λ,μ)?K2,?x?E ,(λ×Kμ).x=λ.(μ.x)Les éléments deEsont appelés des vecteurs. Les éléments deKsont appelés des scalaires.
Remarque :On peut additionner ou soustraire deux vecteurs mais on ne peut pas les multiplier entre eux, on
peut juste les multiplier par un scalaire.Definition 2On appelle sous-espace vectoriel de(E,+,×)un ensembleFinclus dansEet stable par la structure d"espace
vectoriel définie surE: -Stabilité de l"élément neutre :0 E?F -Stabilité par addition :?(x,y)?F2, x+y?F -Stabilité par multiplication :?x?F?λ?K, λ.x?FSoit(E,+,×)un espace vectoriel surK.SiFest un sous-espace vectoriel de(E,+,×)alors(F,+,×)est un espace vectoriel surK.Proposition1Soient(E,+,×)un espace vectoriel etF?E. Il y a équivalence entre :
1.(F,+,×)est un sous-espace vectoriel de(E,+,×).
2.Fest non vide et?(x,y)?F2,?(λ,μ)?K2, λx+μy?F.Proposition21.2 Construction d"espaces vectoriels
SoitEun espace vectoriel surKetF= (x1,...,xp)une famille finie de vecteurs deE. L"ensemble contenant toutes les combinaisons linéaires des vecteurs deF p? i=1α i.xi,?i?[[1;p]], αi?K? est un espace vectoriel surK.Proposition3S. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018 3 Definition 3SoitEun espace vectoriel surKetF= (x1,...,xp)une famille finie de vecteurs deE.On appelle espace vectoriel engendré par la familleF, et on note Vect(F) ou Vect(x1,...,xp), l"ensemble
contenant toutes les combinaisons linéaires des vecteurs deF.V ect(F) =V ect(x1,...,xp) =?
p? i=1α i.xi,?i?[[1;p]], αi?K?SoitEun espace vectoriel surKetFune famille finie de vecteurs deE. 1. V ect(F) est le plus petit (pour l"inclusion) sous-espace vectoriel deEcontenantF. 2.V ect(F) est l"intersection de tous les sous-espaces vectoriels deEcontenantF.Proposition4SoitEun espace vectoriel surKetFetF?deux familles finies de vecteurs deE.
1.Si F?? Falors Vect(F?)?Vect(F)
2.V ect?
Vect(F)?
= Vect(F).Proposition5SoitEun espace vectoriel surKet soientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE.Alors,F∩Gest un sous-espace vectoriel surK(donc unK-espace vectoriel).Proposition6Remarque :Une union de deux sous-espaces vectoriels n"est pas un sous-espace vectoriel.
Definition 4SoientEun espace vectoriel surKetFetGdeux sous-espaces vectoriels deE. On appelle somme de F et G, et on noteF+G, l"ensemble défini parF+G={u+v , u?Fetv?G}. x?F+G?.SoitEun espace vectoriel surKetFetGdeux sous-espaces vectoriels deE.F+Gest un sous-espace vectoriel deE. Plus précisément,F+G=Vect(F?G).Proposition71.3 Dimension d"un espace vectoriel
Definition 5SoitEunK-espace vectoriel. Soit(e1,...,ep)une famille finie de vecteurs deE. On dit que la famille(e1,..,ep)est librelorsqu"elle n"est pas liée
?(λ1,...,λp)?Kp,p? k=1λ k.ek= 0E? ?k?[[1;p]], λk= 0. On dit aussi que les vecteurse1,...,epsont linéairement indépendants.Definition 6SoitEunK-espace vectoriel. Soit(e1,...,ep)une famille finie deE. On dit que la famille(e1,...,ep)est génératrice deEou qu"elle engendreElorsque tout vecteur deEest une combinaison linéaire de la famille(e1,...,ep):
E=Vect(e1,...,ep)ouS. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018 4Definition 7SoitEunK-espace vectoriel. Soit(e1,...,ep)une famille finie deE. On dit que la famille(e1,...,ep)est une base deElorsque elle est libre et génératrice deE.
Definition 8SoitEunK-espace vectoriel. On dit queEest de dimension finielorsqueEpossède une famille génératrice
finie. ?(e1,...,ep)?Eptel queE=Vect(e1,...,ep)Sinon, il est dit de dimension infinie.
Toutes les bases d"unK-espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal.Proposition8Definition 9
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. On appelle dimension deEle cardinal commun à toutes les bases deE.On note cet entier dim
K(E)ou simplement dim(E)
2 Produits et sommes d"espaces vectoriels
2.1 Produits d"espaces vectoriels
Definition 10SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels.
On appelle produit cartésien deEet deFl"ensemble des couples formés par un vecteur deEet un vecteur
deF.E×F={(x,y), x?E, y?F}
Definition 11SoientE1,...,EpdesK-espaces vectoriels.On appelle produit des espaces vectorielsE1,...,Epl"ensemble desp-uplets formés par un vecteur de chaque
espace vectorielEi. p k=1Ek=E1×...×Ep={(x1,...,xp),?i?[[1,p]], xi?Ei}SoientE1,...,EpdesK-espaces vectoriels. L"ensemblep?
k=1E kest unK-espace vectoriel.Proposition9SoientE1,...,EpdesK-espaces vectoriels de dimension finie.Alors, l"espace vectoriel
p? k=1E kest de dimension finie et dim p? k=1E k? =p? k=1dim(Ek)Proposition10S. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018 52.2 Sommes de sous-espaces vectoriels
Definition 12SoitEunK-espace vectoriel. SoientF1,...,Fpdes sous-espaces vectoriels deE.On appelle somme des sous-espaces vectorielsF1,...,Fpl"ensemble des vecteurs deEformés par des combi-
naisons linéaires des vecteurs de chaque sous-espace vectorielFi. p k=1F k=F1+...+Fp=? z?E| ?(x1,...,xp)?p? k=1F ktel quez=x1+...+xp?On dit que la somme
p? k=1F kest directelorsque la décomposition est unique p i=1F k=F1?...?Fp=? z?E| ?!(x1,...,xp)?p? k=1F ktel quez=x1+...+xp?SoitEunK-espace vectoriel. SoientF1,...,Fpdes sous-espaces vectoriels deE. 1.L"ensem ble
p? k=1F kest un sous-espace vectoriel deE. 2.L"ensem ble
p? k=1F kest plus petit (pour l"inclusion) sous-espace vectoriel deEcontenantp?k=1Fk 3. p? k=1F k=Vect?p?k=1Fk?Proposition11SoitEunK-espace vectoriel. SoientF1,...,Fpdes sous-espaces vectoriels deE. On a équivalence entre
1.La somme
p? k=1F kest directe.2.?(x1,...,xp)?p?
k=1F k,p? k=1x k= 0E? ?k?[[1,p]], xk= 0E.3.?i?[[1,p]], Fi∩??
k?=iFk?={0E}.Proposition12Remarque :Il ne suffit pas que les sous-espaces vectoriels soient 2 à 2 en somme directe.
SoitEunK-espace vectoriel. SoientF1,...,Fpdes sous-espaces vectoriels deEde dimension finie.Alors, le sous-espace vectoriel
p? k=1F kest de dimension finie et dim p? k=1F k? k=1dim(Fk)avec égalité si, et seulement si, la somme est directe.Proposition132.3 Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Definition 13SoitEunK-espace vectoriel. SoientF1,...,Fpdes sous-espaces vectoriels deE.On dit que les sous-espaces vectorielsF1,...,Fpsont supplémentaires dansElorsque leur somme est directe
S. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018
6 et donneEtout entier : E=p? k=1F kou encore?x?E,?!(xi,...,xp)?p? k=1F ktel quex=x1+...+xpSoitEunK-espace vectoriel. SoientF1,...,Fpdes sous-espaces vectoriels deE. E=p? k=1F k?p? k=1F ketE=p? k=1F k Si, de plus,F1,...,Fpsont de dimension finie alors E=p? k=1F k?? ??p k=1F k dim(E) =p? k=1dim(Fk)?? ??E=p? k=1F k dim(E) =p?k=1dim(Fk)Proposition14Remarque :Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels, il faut avoir 2 des 3 propriétés.
Exemple :SoitEunK-espace vectoriel de dimension finienet soit(e1,....,en)une base deE. Alors E=p? k=1Vect(ek) =p? k=1K.ekOn a aussi
E=Vect(e1)p?
k=2Vect(ek) =Vect(e1)?Vect(e2,e3)p? k=4Vect(ek) =... On obtient une décomposition en sous-espaces supplémentaires en fractionnant une base deE.2.4 Bases adaptéesSoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. SoientFun sous-espace vectoriel deE.
Toute famille libre (ou base) deFpeut-être complétée en une base deEProposition15Definition 14
SoitEunK-espace vectoriel. SoientFun sous-espace vectoriel deE.Toute base deEdont les premiers vecteurs forment une base deFest appelée base adaptée au sous-espace vectorielF.
Definition 15SoitEunK-espace vectoriel. SoientF1,...,Fpdes sous-espaces vectoriels supplémentaires dansE.
Une base deEobtenue en concaténant des bases de chaque sous-espaces vectorielFkest appelée base adaptée à la somme directep? k=1F k.Remarque :Les matrices d"endomorphismes dans des bases adaptées ont des formes particulières, plus simples.
Remarque :Pour définir un endomorphisme surE, il suffit de le définir sur chaque sous-espace vectoriel qui
forme une décomposition deE.S. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018 7SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels. SoientF1,....,Fpdes sous-espaces vectoriels supplémentaires de
E:E=p?
k=1F k.Soitu1? L(F1,F),...,up? L(Fp,F). Alors,
Il existe une unique application linéaireu? L(E,F)telle que?i?[[1,p]], uEi=uiProposition163 Rappels sur les applications linéaires
3.1 Applications linéaires
Definition 16SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels. On appelle application linéaire deEdansFtoute fonction
f:E→Ftelle que1.?(x,y)?E, f(x+y) =f(x) +f(y).
2.?x?E,?λ?K, f(λx) =λf(x)
On noteL(E,F)l"ensemble des applications linéaires deEdansF.Remarque :Sifest linéaire deEdansFalorsf(0E) = 0F.SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels et soitf:E→F. On a équivalence entre
1.f? L(E,F).
2.?(x,y)?E,?λ?K, f(x+λy) =f(x) +λf(y)Proposition17Definition 17
SoitEunK-espace vectoriel.
Une application linéaire deEdansEest appelée un endomorphisme deE. On noteraL(E)au lieu deL(E,E).SoientE,FetGtroisK-espaces vectoriels.
L"ensembleL(E,F)est un sous-espace vectoriel deF(E,F): ?(f,g)? L(E,F)2,?(λ,μ)?K2, λf+μg? L(E,F) La composée de deux applications linéaires est linéaire?(f,g)? L(E,F)× L(F,G), g◦f? L(E,G).Proposition183.2 Caractérisation de l"injectivité et de la surjectivité
Definition 18SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels. Soitf? L(E,F). 1.On app elleno yaude fet on note Ker(f) l"ensemble
Ker(f) =f-1({0F}) ={x?E, f(x) = 0}
2.On app elleimage de fet on note Im(f) l"ensemble
Im(f) =f(E) ={f(x), x?E}={y?F,?x?E, y=f(x)}S. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018 8 SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels. Soitf? L(E,F). 1.Ker( f) est un sous-espace vectoriel deE.
2.Im( f) est un sous-espace vectoriel deF.Proposition19SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels. Soitf? L(E,F).
1.fest surjective lorsque Im(f) =F.
2.fest injective deEdansFsi, et seulement si, Ker(f) ={0E}.Proposition20Definition 19
SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels.
Lorsquefest linéaire et bijective deEdansF, on dit quefest un isomorphisme deEdansF. On dit queEetFsont isomorpheslorsqu"il existe un isomorphisme deEdansF. Lorsquefest linéaire et bijective deEdansE, on dit quefest un automorphisme deE. On appelle groupe linéaireet on noteGL(E)l"ensemble des automorphismes deE.3.3 Endomorphismes particuliers
Definition 20SoitEunK-espace vectoriel différent de{0K}. SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deEsupplémen-
taires dansE:F?G=E. ?x?E,?!(xF,xG)?F×Gtel quex=xF+xGL"application
?E→E x?→xFest appelée la projection surFparallèlement àG(ou de directionG).On la notepGFou plus simplementpF.
L"application?E→E
x?→xGest appelée la projection surGparallèlement àF(ou de directionF).On la notepFGou plus simplementpG.SoitEunK-espace vectoriel différent de{0K}. SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deEsupplé-
mentaires dansE:F?G=E. SoientpFetpGles projections associées.1.pFest un endomorphisme deEetpF◦pF=pF.
2.Ker( pF) =Get Im(pF) =F.
3.pGest un endomorphisme deEetpG◦pG=pG.
4.Ker( pG) =Fet Im(pG) =G.
5.pF◦pG= 0L(E)etpG◦pF= 0L(E)(endomorphisme nul)Proposition21SoitEunK-espace vectoriel différent de{0K}.Soitp:E→E. On a équivalence entre :
1.pest linéaire etp◦p=p.
2.pest la projection sur Im(p)parallèlement à Ker(p).Proposition22Definition 21
SoitEunK-espace vectoriel différent de{0K}. SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deEsupplémen-
taires dansE:F?G=E. ?x?E,?!(xF,xG)?F×Gtel quex=xF+xGS. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018 9L"application
?E→E x?→xF-xGest appelée la symétrie par rapport àFparallèlement àG.On la notesGFou plus simplementsF.
L"application?E→E
x?→xG-xFest appelée la symétrie par rapport àGparallèlement àH.On la notesFGou plus simplementsG.SoitEunK-espace vectoriel différent de{0K}. SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deEsupplé-
mentaires dansE:F?G=E. SoientsFetsGles symétries associées.1.sFest un endomorphisme deEetsF◦sF=idE.
2.Ker( sF-idE) =Fet Ker(sF+idE) =G
3.sGest un endomorphisme deEetsG◦sG=idE.
4.Ker( sG-idE) =Get Ker(sG+idE) =F
5.sF◦sG=-idEetsG◦sF=-idEProposition23SoitEunK-espace vectoriel différent de{0K}. Soits:E→E. On a équivalence entre :
1.sest linéaire ets◦s=idE.
2.sest la symétrie par rapport à Ker(s-idE)parallèlement à Ker(s+idE).Proposition243.4 Applications linéaires et dimension
Definition 22SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels différents de{0K}. Soitf? L(E,F).On appelle rang defet on note rg(f)la dimension de son image : rg(f) =dim(Im(f)).SoientEunK-espaces vectoriels différents de{0K}et de dimension finie etFunK-espaces vectoriels
différents de{0K}. Soitf? L(E,F). Alors rg(f) = dim(E)-dim(Ker(f)) ce que l"on réécrit souventdim(E) = dim(Ker(f))+dim(Im(f))Proposition25SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels différents de{0K}et demêmedimension finie. Soitf? L(E,F).
On a équivalence entre
1.fest injective deEdansF.
2.fest surjective deEdansF.
3.fest bijective deEdansF.Proposition264 Compléments sur les endomorphismes
4.1 Polynômes d"endomorphismes
Definition 23SoitEunK-espace vectoriel. Soitu? L(E). Pourn?N, on noteunl"endomorphismeucomposénfois :un=u◦...◦u???? nfois. Par convention,u0=idE.S. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018 10 Definition 24SoitEunK-espace vectoriel. Soitu? L(E). SoitP=d? k=0a kXk?K[X]. On définit un nouvel endomorphisme deEparP(u) =d? k=0a kuk. ?x?E, P(u)(x) =d? k=0a kuk(x) On dit queP(u)est un polynôme deu. On noteK[u]l"ensemble des polynômes deu.Exemple:Soitu? L(E)et soitP=X2-3X+ 5. Alors,
?x?E, P(u)(x) =u2(x)-3u(x) + 5u0(x) =u[u(x)]-3u(x) + 5x.SoitEunK-espace vectoriel. Soitu? L(E).1.1(u) =idE.
2.?(P,Q)?K[X]2,?λ?K,(λP+Q)(u) =λP(u) +Q(u).
3.(PQ)(u) =P(u)◦Q(u).Proposition27SoitEunK-espace vectoriel. Soitu? L(E).
Deux polynômes enucommutent. En particulier,ucommutent avec tout polynôme enu.Proposition28Definition 25
SoitEunK-espace vectoriel. Soitu? L(E). SoitP?K[X]. On dit quePest un polynôme annulateur deuou queuannulePlorsqueP(u) = 0L(E).Exemple :Soitf? L(E)tel quef2-3f+ 2idE= 0.
1.Donner un p olynômeann ulateurde f.
2. Mon trerque fest bijective et donner sa bijection réciproque.Remarque :Les polynômes annulateurs servent à déterminer des inverses ou des puissances d"endomorphismes.
Remarque :Toutes ces définitions s"étendent pour les matrices : polynômes de matrices, polynômes annula-
teurs, recherche de l"inverse,...4.2 Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme
Definition 26SoitEunK-espace vectoriel. Soitu? L(E). SoitFun sous-espace vectoriel deE. On dit queFest stable parulorsqueu(F)?F:?x?F, u(x)?F.Exemple :SoitEunK-espace vectoriel. Soitu? L(E). Montrer que Ker(u) et Im(u) sont stables paru.S. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018
11 Definition 27SoitEunK-espace vectoriel. Soitu? L(E). SoitFun sous-espace vectoriel deEstable paru. On appelle endomorphisme deFinduit parul"endomorphisme deFdéfini par˜u:?F→F
x?→u(x)Remarque :Il ne s"agit pas de la restriction deuàFcar l"espace d"arrivée est lui aussi modifié.SoitEunK-espace vectoriel. Soit(f,g)? L(E)2tel quef◦g=g◦f.
Les sous-espaces vectoriels Ker(f) et Im(f) sont stables parg.Les sous-espaces vectoriels Ker(g) et Im(g) sont stables parf.Proposition29Remarque :SoitEunK-espace vectoriel. Soitu? L(E). SoitP?K[X].
Alors, Ker(P(u))et Im(P(u))sont stables paru.
5 Rappels sur les matrices
5.1 L"espace vectorielMnp(K)
Definition 28Soientnetpdeux entiers naturels non nuls. On noteMn,p(K)l"ensemble des matrices de taillen×pà coefficients dansK.On noteMn(K)l"ensemble des matrices de taillen×nà coefficients dansK.L"ensembleMn,p(K)est unK-espace vectoriel de dimensionn×pdont la base canonique est formée par
les matrices élémentaires (Ei,ja tous ses coefficients nuls sauf un 1 en positioni,j.)Proposition30Definition 29
Soientn,petqtrois entiers naturels non nuls.
SoientA? Mn,p(K)etB? Mp,q(K)
On appelle produit deAparBla matrice notéeA×B( ouA.B)? Mnq(K)définie par ?i?[[1,n]],?j?[[1,q]],(A.B)ij=p? k=1a ikbkjS. Freyssinet Lycée l"Essouriau 2017-2018 12 1.Le pro duitmatriciel n"est p ascomm utatif.
2. On p euta voirA.B= 0avecA?= 0etB?= 0.Proposition315.2 L"espace vectorielMn(K) Binôme de NewtonSoit(A,B)? Mn(K)2tel queAetBcommutent :A×B=B×A. ?k?N,(A+B)k=k? l=0? k l? A l×Bk-l.Proposition32Matrices symétriques et antisymétriquesDefinition 30
Soitnun entier naturel non nul et soitA? Mn(K).
On dit queAest une matrice symétriquelorsqueAT=A. On dit queAest une matrice antisymétriquelorsqueAT=-A.On noteSn(K)l"ensemble des matrices symétriques etAn(K)l"ensemble des matrices antisymétriques de
M n(K).Squotesdbs_dbs13.pdfusesText_19