FONCTIONS AFFINES (Partie 2) - maths et tiques [PDF] telecharger livre de cuisine africaine gratuit pdf
[PDF] livre de cuisine pdf gratuit - download
[PDF] recette de cuisine africaine ? base de poisson pdf
[PDF] livre de recette poisson pdf
[PDF] livre de recette de cuisine africaine gratuit pdf
[PDF] recette de cuisine africaine senegalaise pdf
[PDF] recette de patisserie pdf
[PDF] rafiou darajati wadoudou
[PDF] arts visuels maison
[PDF] layastakhlifannahum secret
[PDF] fonction linéaire et affine exercices
[PDF] proche et moyen orient un foyer de conflits depuis
[PDF] fiche proche et moyen orient terminale s
[PDF] fiche revision moyen orient terminale s
[PDF] fonction linéaire cours
[PDF] livre de cuisine pdf gratuit - download
[PDF] recette de cuisine africaine ? base de poisson pdf
[PDF] livre de recette poisson pdf
[PDF] livre de recette de cuisine africaine gratuit pdf
[PDF] recette de cuisine africaine senegalaise pdf
[PDF] recette de patisserie pdf
[PDF] rafiou darajati wadoudou
[PDF] arts visuels maison
[PDF] layastakhlifannahum secret
[PDF] fonction linéaire et affine exercices
[PDF] proche et moyen orient un foyer de conflits depuis
[PDF] fiche proche et moyen orient terminale s
[PDF] fiche revision moyen orient terminale s
[PDF] fonction linéaire cours
Agrégation Interne
Exemples d"applications du théorème des accroissements finis et de l"inégalité des accroissements finis pour une fonction d"une ou plusieurs variables réelles. J. M. Arnaudies, H. Fraysse-Cours de Mathématiques. Analyse 2.Dunod (1991). J. F. Dantzer.Mathématiques pour l"agrégation. Analyse et probabilités.Vuibert (2016). X. Gourdon.Les Maths en tête. Analyse.Ellipses (2004).E. Leichtnam.
Exercices corrigés de Mathématiques, X et ENS. Analyse.Ellipses (2000). J. P. Ramis, A. Warusfel.Mathématiques tout en un pour la licence. Niveau L2.Dunod. (2007). J. P. Ramis, A. Warusfel.Mathématiques tout en un pour la licence. Niveau L3.Dunod. (2015). J. E. Rombaldi.Éléments d"analyse réelle.EDP Sciences (2004).J. E. Rombaldi.Exercices et problèmes corrigés pour l"agrégation de mathématiques.deboeck
supérieur (2018). F. Rouviere.Calcul différentiel.Cassini (1999). Exercice 1. Le théorème des accroissements finis et une généralisation de ce théo- rème sont utilisés pour obtenir des prolongements par continuité ou par dérivabilité Iest un intervalle réel non réduit à un point etf;gsont deux fonctions continues deIdans R: 1.On suppose queI= ]a;b[oùa < bsont deux réels et quefest dérivable de dérivée bornée.
Montrer quefse prolonge par continuité enaet enb: 2. On suppose quefest dérivable surIn fcg;oùc2I:Montrer que sif′a une limite à gauche [resp. une limite à droite, une limite]ℓenc;alorsfest dérivable à gauche [resp.dérivable à droite, dérivable] encavecf′g(c) =ℓ[resp.f′d(c) =ℓ; f′(c) =ℓ].
3. On suppose quefest dérivable et convexe. Montrer qu"elle est alors continûment dérivable (voir aussi la question5de l"exercice 4). 4. On suppose quef;gsont dérivables surIn fcg;oùc2I;avecg′(x)̸= 0pour tout x2Infcg:Montrer que silimx!cf ′(x) g ′(x)=ℓalorslimx!cf(x)f(c) g(x)g(c)=ℓ(règle de l"Hospital). La réciproque de ce résultat est-elle vraie? 5. Montrer que la fonctionfdéfinie parf(0) = 0etf(x) =e1 x2pourx̸= 0est indéfiniment
dérivable surRavecf(n)(0) = 0pour tout entier natureln: 6.Calculerlimx!1arccos(x)
p 1x2: Exercice 2. Le théorème des accroissements finis et une généralisation de ce théo- rème sont utilisés pour obtenir des limites à l"infini f;gsont deux fonctions dérivables deR+dansR: 1. On suppose queg′(x)̸= 0pour toutx2R+;limx!+1g(x) = +1etlimx!+1f ′(x) g ′(x)=ℓ:Montrer quelimx!+1f(x)
g(x)=ℓ:Dans le cas particulier oùg(x) =x;on alimx!+1f(x) x 1 2.On suppose quef(x)>0pour toutx2R+et quelimx!+1f
′(x) f(x)=ℓ:Montrer que lim x!+1f(x+ 1) f(x)=eℓ: 3. On suppose quef′est uniformément continue surR+et quelimx!+1f(x) =ℓ:Montrer que lim x!+1f′(x) = 0:Que dire pourf′continue? 4.On suppose quelimx!+1(f(x) +f′(x)) =ℓ:
(a) Dans le cas oùℓ= 0;on désigne pargla fonction définie surR+parg(x) =exf(x): En appliquant le théorème généralisé des accroissements finis au couple de fonctions (g;exp);montrer que pour tous réelsx > >0;il existe un réelcx;2];x[tel que : f(x) =exf() +(1ex)(f(cx;) +f′(cx;))En déduire quelimx!+1f(x) = 0:
(b) Pourℓquelconque, montrer quelimx!+1f(x) =ℓetlimx!+1f′(x) = 0: 5. Soitφ:R!Rune fonction continue telle quelimx!+1φ(x) =ℓetlimx!1φ(x) =ℓ′:Mon- trer que +1 1 (φ(t+ 1)φ(t))dt=ℓℓ′:Calculer∫ +1 1 (arctan(t+ 1)arctan(t))dt: +1 1 (arctan(t+ 1)arctan(t))dt= Exercice 3. Le théorème des accroissements finis peut être utilisé pour obtenir des résultats sur les fonctions Riemann-intégrables 1. Soienta < bdeux réels etf: [a;b]!Rune fonction dérivable de dérivéef′Riemann- intégrable sur[a;b]:Montrer que : b a f′(x)dx=f(b)f(a) 2.Soienta < bdeux réels etf;gdeux fonctions à valeurs réelles définies sur[a;b]dérivables
et de dérivées Riemann-intégrable sur[a;b]:Montrer que : b a f(x)g′(x)dx=f(b)g(b)f(a)g(a)∫ b a f′(x)g(x)dx 3. Soitf: [0;1]!Rune fonction dérivable de dérivéef′Riemann-intégrable sur [0;1]et(Sn)n2Nréelle définie parSn=n∑ k=0f(k n pour toutn2N:Montrer que lim n!+1(Sn+1Sn) =∫10f(x)dx:
2 Exercice 4. Le théorème des accroissements finis peut être utilisé pour montrerle théorème de Darboux qui nous dit qu"une fonction dérivée vérifie la propriété
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2