Fonctions harmoniques

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FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1. Lien avec les fonctions holomorphes

Commençons par effectuer quelques rappels sur les fonctions harmoniques définies sur des ouverts deR2, qui satisfont par définitionu= 0où =@2 @x 2+@2 @y

2est l"opérateur

laplacien. Dans la théorie plus générale des fonctions sous-harmoniques satisfaisantu>

0et qui sera développée dans le chapitre suivant, le lecteur pourra reconnaître de nombreux

Dans le plan complexeC=R2muni des coordonnées réelles(x;y)=z=x+iy, soit un ouvert, pas nécessairement supposé connexe.

Définition 1.1.

Une fonction de classeC2à valeurs réelles :

u2C2 ;R est dite harmoniquelorsqu"elle est annulée par l"opérateur :=@2 @x 2+@2 @y

2de Laplace :

0@2u @x 2+@2u @y 2:

On notera :

Harm( l"espace des fonctionsC2harmoniques dans . Par anticipation, l"un des résultats cen- traux de la théorie établit que toute fonctionu2L1loc( )localement intégrable au sens de Lebesgue qui satisfaitu= 0au sens faible, à savoir : 0 =Z u('); pour toute fonction'2C1clisse à support compact voire même toute distributionu2 D 0( )satisfaisant cela est en fait une fonctionC1sur , après modification éventuelle sur un ensemble de mesure nulle. C"est pourquoi la régularitéC2des fonctionsuque l"on appelle harmoniquesdans la Définition initiale 1.1 n"est pas déterminante, seul compte l"opérateur. Dans le formalisme de la théorie des fonctions holomorphes, l"opérateur de Laplace

peut aussi s"écrire en termes des opérateurs de dérivée par rapport àzet par rapport à

z: @z :=1 2 @x i@ @y et@ z :=1 2 @x +i@ @y 1

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

comme suit : @x i@ @y @x +i@ @y = 4 @2 @z@ z

Proposition 1.2.

Les parties réelle et imaginaire de toute fonction holomorphef2O(

RefetImf

sont des fonction harmoniques.

Démonstration.

Rappelons que :

2Ref=f+

fet2iImf=f f: La fonction holomorphefet sa conjuguée antiholomorphe fsont localement dévelop- pables en série entière convergente, doncC1. Comme@ @z et@ z commutent, on trouve : 1 2 Ref=@ @z @f z z f @z = 0 + 0 = 0; par définition de l"holomorphie et de l"antiholomorphie. Pourf f, c"est00 = 0. Réciproquement, toute fonction harmonique est localement partie réelle (ou imaginaire) d"une fonction holomorphe.

Proposition 1.3.

Siu2Harm(

)est une fonction harmonique dans un ouvert C= R

2, alors au voisinage de tout point(x0;y0) =z02

, par exemple dans un disque ouvert D r(z0)de rayon assez petit pour qu"il soit contenu dans l"ouvert : D r(z0) il existe une fonction holomorphe : f2ODr(z0) telle que : uD r(z0)=Ref:

Démonstration.

Soit la1-forme différentielle :

!:=@u @y dx+@u @x dy: Le calcul (détaillé!) de sa différentielle extérieure : d!=d@u @y ^dx+d@u @x ^dy =@2u @x@y dx @2u @y

2dy^dx+@2u

2dx+@2u

@y@x dy ^dy @2u @y 2+@2u @x

2dx^dy

= 0; montre qu"elle est fermée par harmonicité deu. En appliquant alors le Lemme de Poincaré dans le disqueDr(z0)qui est étoilé enz0, cette forme estexacte, à savoir il existe une fonctionvde classeC1surDr(z0)telle que!=dv.

1.Lien avec les fonctions holomorphes3

En fait, la théorie standard des formes différentielles surR2fournit la formule agréable : v(z) =v(x;y) =Z z z 0!=Z z z 0@u @y dx+@u @x dy; dans laquelle l"intégration s"effectue le long de n"importe quel cheminC1par morceaux allant dez0à un pointz2Dr(z0) et la valeur obtenue ne dépend pas du chemin grâce

à la fermetured!= 0.

En replaçant(x;y)par(x+";y)puis par(x;y+"), on se convainc aisément, que les dérivées partielles de cette intégrale valent : @v @x =@u @y et@v @y =@u @x relations qui s"obtenaient d"ailleurs plus directement à partir de!=dvsans qu"on l"ait dit! Mais ces deux équations aux dérivées partielles ne sont autres que les

équations de

Cauchy-Riemann

montrant que la fonction : f:=u+iv est holomorphe dans Sous une hypothèse topologique naturelle, la réciproque globale est le :

Théorème 1.4.

Si le domaine

R2est simplement connexe, pour toute fonctionu2

Harm( ), il existe une fonction holomorphef2O( ), unique à une constante près, telle que : u=Ref:

Terminologie 1.5.

Une fonctionvtelle queu+ivest holomorphe est appelée une conjugué harmonique deu2Harm(

Démonstration.

À nouveau, soit la1-forme différentielle!=@u @y dx+@u @x dy, soitz02 un point de référence fixé, et soit la " primitive" : v(z) =Z z z 0!=Z z z 0@u @y dx+@u @x dy:

Puisque

est simplement connexe, tous les cheminsC1par morceaux allant dez0àzdans peuvent être déformés continûment l"un vers l"autre en demeurant dans . Il en découle que l"intégrale ne dépend pas du chemin. La fonctionvest alors définie globalement et uniquement en tout pointz2 . Le même argument que précécemment conclut alors que f:=u+ivsatisfait les équations de Cauchy-Riemann, donc est holomorphe. Pour ce qui est de l"unicité à une constante près, soitu=Ref=Regavecf;g2O(

Alors la fonctionh:=fgholomorphe dans

satisfaitReh0. Autrement dit : h(z) + h(z)0d"oùh0(z) + 00 en dérivant par rapport àzpuisque h(z) = h( z)est une fonction holomorphe de zet puisque z @z = 0(exercice), donchest une constante imaginaire pure.

Sans l"hypothèse que

est simplement connexe, la représentation des fonctions harmo- niques comme parties réelles de fonctions holomorphes n"est pas toujours vraie. Soit en effet le disque unité épointé : D =z2C: 04FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

La fonction :

u:=logjzj=1 2 logz z est harmonique dansD: 4 @2 @z@ z logz+log z = 0 + 0; mais la conjuguée harmonique (à une constante près) deune pourrait être (exercice) que : v= argz; laquelle est multivalente surD.

2. Propriétés fondamentales

Une première propriété fondamentale des fonctions harmoniques est leur régularité éle-

vée, beaucoup mieux queC2, encore mieux queC1, à savoir analytique réelle, notéeC!. Cette notationC!est classiquement utilisée pour les anneaux de fonctionsanalytiques réelles, elle prolonge la hiérarchie des fonctions continues puis différentiables : C

0C1C2 Ck C1C!;

la lettre!désignant, dans la théorie cantorienne des ensembles, le premier ordinalinfini.

Théorème 2.1.

Toute fonction harmoniqueu2Harm(

)est en faitC1dans , et même analytique réelle, au sens où elle est localement développable, au voisinage de tout point z

0= (x0;y0)2

, en série de Taylor : u(x;y) =1X k=01 X l=0@ k+lu @x k@yl(x0;y0)(xx0)k k!(yy0)l l! convergeant dans tout disque ouvertDr(z0) de rayonr6dist(z0;Cn

Démonstration.

Quand on prend la partie réelleu=Refd"une fonction holomorphe, on

conserve la lissité, et même la propriété d"être développable en série entière convergente.

Il découle d"ailleurs de ce qu"on sait pour les fonctions holomorphes que la convergence de la série de Taylor deuest alors valide dans le disque de rayon maximal possible : r max:=distz0;Cn =distz0; @ tel que le disque reste entièrement contenu dans Phénomène majeur, les fonctions harmoniques jouissent d"une remarquable propriété d"équilibre

Théorème 2.2.

[de la Moyenne]Étant donné une fonction harmoniqueu2Harm( )sur un ouvert

C, en tout pointz02

et pour tout rayon : r 2.Propriétés fondamentales5

Démonstration.

Rappelons tout d"abord la formule de la moyenne pour une fonction holo- morphef2O( ). Soitz02 et soit un rayon : r < :=distz0;Cn

Pour toutz2

D r(z0), on a le développement normalement convergent : f(z) =1X k=0f (k)(z0) k!zz0 k:

Assertion 2.3.

La formule de la moyenne est satisfaite par la fonction holomorphef2 O( f(z0) =1 2Z 2 0 fz0+reid:

Preuve.

En effet, en appliquant le développement en série entière qui précède à des points z=z0+reiavec06 <2, la convergence uniforme (car normale) permet d"intervertir sommation et intégration :quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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