Preuves pour démontrer l'inéga- lité entre moyennes

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Preuves pour démontrer l'inéga- lité entre moyennes

TD n°7ÉnoncésTD n°7 : moyennes arithmétique, géométrique, harmonique

Exercice 1

Soit (xk)16k6ndansR+?, tels quen

k=1x k= 1. Montrer quen k=1x k>n(cas d"égalité?). Indication : par récurrence surn. On pourra rapporcher le plus petit et le plus grand desxk. 2.

Soit (xk)16k6ndansR+?. Soity1,y2,···,ynun réarrangement quelconque dex1,x2,···,xn.

Montrer que

y1x 1+y2x

2+···+ynx

n>n.

Exercice 2

Soit(ak)16k6ndansR+?. On noteAn=1n

n k=1a k,Gn=? n? k=1a k?

1/netHn=n?

n? k=11a k? -1 On dit queAn(resp.Gn,Hn) est la moyenne arithmétique (resp. géométrique, harmonique) desak.

Prouver la double inégalité :An>Gn>Hn.

Indication : utiliser l"exercice précédent avec lesxk=akG n, ou avec lesxk=Gna k.

Exercice 3

On utilisera ici les résultats de l"exercice 2. 1. Ret rouverl"inég alitéde Bernoulli (1 +x)n>1 +nxpour toutx>0. 2. P ourtous réels strictemen tp ositifsa,b,c, montrer que2b+c+2c+a+2a+b>9a+b+c. 3.

P ourtout n>2, prouver l"encadrement :1>2n-1?

k=n1k >23 4.

P ourtout n>1, prouver que :n

k=11k >n? n⎷n+ 1-1?

Exercice 4

On utilisera ici les résultats de l"exercice 2. 1. Mon trerque p oura >0etb>0, et toutndeN?, on a :a(a+nb)n-16(a+ (n-1)b)n. 2. Soit (xk)16k6nune suite arithmétique à termes strictement positifs.

Montrer la double inégalité :

⎷x 1xn6? n? k=1x k?

1/n6x1+xn2

(pour la première inégalité, on procédera par récurrence surnet on se ramènera à la question 1).

3. En déduire, p ourtout en tiernaturel n, l"encadrement :⎷n6n⎷n!6n+ 12 4. Soit (xk)16k6ndes réels strictement positifs tels quen k=1x k61. Montrer quen k=11x k>n2. 5.

Soit (xk)16k6nune suite deR+?tels quen

k=1x k= 1. Montrer quen

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[PDF] Preuves pour démontrer l'inéga- lité entre moyennes

Moyennes géométriques arithmétiques harmoniques comparées